數(shù)形融合 梯度深化 創(chuàng)新方法 思想升華

劉英英

【摘要】函數(shù)、方程、不等式是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，它蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法.通過(guò)對(duì)“三個(gè)一次”“三個(gè)二次”的對(duì)比分析，構(gòu)建知識(shí)體系，關(guān)注內(nèi)在聯(lián)系，遷移創(chuàng)造，數(shù)形結(jié)合，梯度深化.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；方程；不等式；數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)思想

千變?nèi)f化的現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)藏著各種各樣的客觀規(guī)律，這些規(guī)律可以用“數(shù)”（函數(shù)、方程、不等式）來(lái)描述，也可以借助“形”來(lái)呈現(xiàn).函數(shù)、方程、不等式是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，它蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法.函數(shù)、不等式、方程它們是動(dòng)與靜的關(guān)系，是變量與常量的關(guān)系，靜是點(diǎn)，動(dòng)是線，常量是變量的瞬間.在變化中，在規(guī)律中，在動(dòng)靜之中函數(shù)、方程、不等式既各自獨(dú)立又相互聯(lián)系，共同組成了“數(shù)與代數(shù)”的核心內(nèi)容.

一、依課標(biāo)，現(xiàn)體系，乍現(xiàn)數(shù)形結(jié)合

（一）課程標(biāo)準(zhǔn)（7～9年級(jí)）學(xué)段目標(biāo)

1.知識(shí)技能：體驗(yàn)從具體情景中抽象出數(shù)學(xué)符號(hào)的過(guò)程，掌握方程、不等式、函數(shù)進(jìn)行表述的方法；

2.數(shù)學(xué)思考：通過(guò)用方程、不等式、函數(shù)表述數(shù)量關(guān)系的過(guò)程，體會(huì)模型思想，建立符號(hào)意識(shí)；

3.問(wèn)題解決：經(jīng)歷從不同角度尋求分析問(wèn)題和解決問(wèn)題方法的過(guò)程，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，掌握分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一些基本方法；

4.情感態(tài)度：在運(yùn)用數(shù)學(xué)表述和解決問(wèn)題的過(guò)程中，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)具有抽象、嚴(yán)謹(jǐn)和應(yīng)用廣泛的特點(diǎn)，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值.

（二）北師大版教材對(duì)于“方程、不等式、函數(shù)”內(nèi)容的編排如下

通過(guò)7～9年級(jí)學(xué)習(xí)目標(biāo)和課程內(nèi)容編排可以看出：教材內(nèi)容螺旋上升，逐步深化，同一類問(wèn)題從不同角度理解分析，實(shí)現(xiàn)了從“四基”到“四力”（四基：基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想方法、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，四力：提出問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力），實(shí)現(xiàn)了從初步感知→ 聯(lián)系實(shí)際→ 梯度深化→ 尋求關(guān)聯(lián)→構(gòu)建體系→探尋本質(zhì).在學(xué)習(xí)遞進(jìn)中，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)呈階梯式層次結(jié)構(gòu)：二、借一次，分層次，初論以數(shù)解形

案例1 一次函數(shù)y=2x+5，當(dāng)x取何值y>0，y=0，y<0？（北師大版八年級(jí)下冊(cè)課本習(xí)題）學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)和一元一次不等式，能夠用“數(shù)”和“形”兩種方式來(lái)解決，通過(guò)列表、描點(diǎn)、連線畫(huà)出函數(shù)圖像，體會(huì)靜態(tài)點(diǎn)、動(dòng)態(tài)線（點(diǎn)動(dòng)成線），線是點(diǎn)的集合的思想，方程與函數(shù)的動(dòng)靜變化躍然紙上.

通過(guò)三個(gè)一次的對(duì)比使學(xué)生經(jīng)歷了“從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般，從具體到抽象”的遞進(jìn)過(guò)程，體會(huì)分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想和方法，體驗(yàn)到回歸“基本概念、基本性質(zhì)、基本算理”的解題通法.

三、用二次，漸深化，再論以形助數(shù)

案例2 在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中，課本僅涉及了二次函數(shù)與一元二次方程之間的轉(zhuǎn)化，學(xué)生雖沒(méi)有接觸過(guò)一元二次不等式，但能否類比“三個(gè)一次”的問(wèn)題，“以形助數(shù)、以數(shù)驗(yàn)形”豐富解決問(wèn)題的策略，發(fā)展思維深度，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的通法.

1.基本題型

二次函數(shù)：y=x2-2x-3 當(dāng)x取何值y>0 y=0 y<0

數(shù)：一元二次方程

因式分解法——有理數(shù)乘法法則、因式分解.

對(duì)比兩種解法，入手點(diǎn)雖有不同但殊途同歸，都達(dá)到了降次轉(zhuǎn)化的目的，兩種解法類比一元二次方程的解法去解一元二次不等式，達(dá)到了方法的正向遷移，兩種解法提取的知識(shí)儲(chǔ)備略有差異，但都回歸到了基本法則、基本概念、基本性質(zhì)通法.

2.特殊到一般

3.歸納總結(jié)，抽象概括

在構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系時(shí)，首先要關(guān)注問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，把握知識(shí)的梯度和整體的規(guī)律，優(yōu)化組織架構(gòu)，探尋問(wèn)題本質(zhì)，將零碎的知識(shí)有機(jī)融合.

四、攬全局，尋通法，數(shù)學(xué)思想漸升華

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，思想有角度、有深度、有生命，知識(shí)可以用文字陳述并掌握.而深邃的思想則要通過(guò)數(shù)學(xué)符號(hào)化的過(guò)程來(lái)獲得.數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含

于數(shù)學(xué)內(nèi)容中，坐標(biāo)系蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合、方程函數(shù)蘊(yùn)含模型思想、函數(shù)圖像蘊(yùn)含運(yùn)動(dòng)變化思想、方程不等式蘊(yùn)含化歸思想.

在三個(gè)一次與三個(gè)二次的對(duì)比歸納中，在數(shù)形共同分析、解決問(wèn)題的過(guò)程中，對(duì)比優(yōu)勢(shì)，體會(huì)“數(shù)”“形”二者之間的互補(bǔ)作用，突出特殊的轉(zhuǎn)化作用，從整體上認(rèn)識(shí)函數(shù)的本質(zhì)屬性，“數(shù)形遷移、動(dòng)靜轉(zhuǎn)換”.在運(yùn)用“配方法”“因式分解法”解一元二次不等式中，通過(guò)降次化繁為簡(jiǎn)、化生為熟、化未知為已知，新舊知識(shí)在此“血脈相承”.

通過(guò)將教材不同層級(jí)的內(nèi)容——“三個(gè)一次”與“三個(gè)二次”的類比、抽象、深化，加強(qiáng)同類知識(shí)之間的橫向與縱向的聯(lián)系.從函數(shù)的角度對(duì)方程和不等式重新進(jìn)行分析，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注函數(shù)的本質(zhì)，滲透“運(yùn)動(dòng)變化和聯(lián)系對(duì)應(yīng)”，將“”

三個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象融為一體，統(tǒng)一認(rèn)識(shí)，“見(jiàn)樹(shù)木更見(jiàn)森林”，在更高的起點(diǎn)上對(duì)函數(shù)、方程、不等式進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，從而達(dá)到知識(shí)的融會(huì)貫通.在構(gòu)建知識(shí)體系的過(guò)程中，滲透函數(shù)的統(tǒng)率作用，幫助學(xué)生逐步形成認(rèn)識(shí)、分析問(wèn)題時(shí)“先從特殊對(duì)象切入，再拓展推廣到一般”的策略，提高多角度、靈活分析和解決問(wèn)題的能力.

通過(guò)“三個(gè)一次”“三個(gè)二次”的對(duì)比，構(gòu)建知識(shí)體系，關(guān)注內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)類比解決一元二次不等式的新問(wèn)題，學(xué)生調(diào)動(dòng)知識(shí)儲(chǔ)備去感悟通則，解題通法由此生成.學(xué)生在遷移創(chuàng)造的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)了元認(rèn)知，既體現(xiàn)了其形成的有形過(guò)程，又經(jīng)歷了無(wú)形的數(shù)學(xué)創(chuàng)造性文化的熏陶過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，知識(shí)的種子生根、發(fā)芽，數(shù)學(xué)知識(shí)在融合中創(chuàng)新，數(shù)學(xué)方法在創(chuàng)新中發(fā)展，數(shù)學(xué)思想在發(fā)展中升華.

【參考文獻(xiàn)】

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