體會(huì)數(shù)學(xué)模型思想

劉雪婷 童莉

一看到“模型”這個(gè)詞，你首先想到的是什么？汽車模型？飛機(jī)模型？這些都是依照實(shí)物的形狀和結(jié)構(gòu)按比例制成的物品，那么什么是數(shù)學(xué)模型？數(shù)學(xué)模型思想是如何體現(xiàn)的？本文以二元一次方程組為例，帶領(lǐng)大家認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型，體會(huì)數(shù)學(xué)模型思想.

一、接觸數(shù)學(xué)模型——“雞兔同籠”問題

“雞兔同籠”問題（如圖1）是一個(gè)經(jīng)典名題，在許多教材中都出現(xiàn)過，對于我們七年級的學(xué)生而言，解答這一問題，可以讓我們從已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，利用二元一次方程組列式簡單、易于理解的特點(diǎn)，經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋和應(yīng)用的過程，體會(huì)數(shù)學(xué)模型思想，提高舉一反i的應(yīng)用能力.

我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中介紹過“雞兔同籠”問題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何，意思是：有若干只雞和兔在同一個(gè)籠子里，從上面數(shù)有35個(gè)頭，從下面數(shù)有94只腳，籠子中的雞和兔各有多少只？

據(jù)說在日本也有類似的問題，如“龜鶴同游”問題：龜鶴同游，共有40個(gè)頭，112只腳，龜和鶴各有多少只？類似的問題還有很多，如“人狗同行”問題等.

觀察圖2，再經(jīng)過比較不難發(fā)現(xiàn)，這類問題有著相似的特征，即雞、鶴、人都有2只腳，兔、龜、狗都有4只腳，這就給我們這樣的啟示：應(yīng)當(dāng)存在一種通用的解題方法，對于上述三個(gè)問題及與之類似的問題都是適用的.

基于以上分析，請大家看看我們在不同階段是如何解決“雞兔同籠”問題的，這一方面能讓我們了解什么是數(shù)學(xué)模型，另一方面也能讓我們體會(huì)到用哪種數(shù)學(xué)模型解決問題更簡單，更容易理解.

1.算術(shù)解法.

分析模型：腳的總數(shù)÷2—頭的總數(shù)=兔只數(shù)，頭的總數(shù)一兔只數(shù)=雞只數(shù).

建立模型：列出算式，得94÷2-35=_____ ，35-____= ___.

解答模型：雞有23只，兔有12只.

驗(yàn)證模型：23只雞和12只兔恰好有35個(gè)頭，每只雞有2只腳，每只兔有4只腳，23只雞和12只兔恰好有94只腳，故結(jié)果正確.

2.利用一元一次方程求解的方法，

分析模型：雞的腳數(shù)+兔的腳數(shù)=腳的總數(shù)，雞的腳數(shù)=2x雞的頭數(shù)，兔的腳數(shù)=4x兔的頭數(shù)=4x（頭的總數(shù)一雞的頭數(shù)）.

建立模型：列一元一次方程（將文字語言抽象為數(shù)學(xué)符號(hào)）.

設(shè)雞有x只，則兔有（35-x）只.

從而可得2x+4（35-x）=94.

解答模型：解一元一次方程，得x=23.

故35-x=12.

所以雞有23只，兔有12只，

驗(yàn)證模型：同算術(shù)解法.

3.利用二元一次方程組求解的方法.

分析模型：雞的頭數(shù)+兔的頭數(shù)=頭的總數(shù)，雞的腳數(shù)+兔的腳數(shù)=腳的總數(shù).

建立模型：列二元一次方程組（將文字語言抽象為數(shù)學(xué)符號(hào)）.

二、剖析數(shù)學(xué)模型思想——本質(zhì)與作用

根據(jù)以上解題過程可以發(fā)現(xiàn)，其實(shí)無論用哪種方法求解“雞兔同籠”問題，都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型思想，都經(jīng)歷了分析模型、建立模型、解答模型、驗(yàn)證模型這四個(gè)步驟.所謂數(shù)學(xué)模型，就是利用數(shù)學(xué)語言將實(shí)際問題中的主要關(guān)系、主要特征近似或概括地表示出來，從而得到的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)模型思想體現(xiàn)在從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，最后求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義.

從前面“雞兔同籠”問題的解答中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，對于同一個(gè)問題，解決問題的數(shù)學(xué)模型可以有多種，而我們一般會(huì)選擇最簡單的一種，在前面的幾種解題方法中，算術(shù)解法看起來簡單，但理解起來不是很容易；一元一次方程解起來比較簡單，但為了弄清未知數(shù)之間的關(guān)系，列式的時(shí)候需要費(fèi)點(diǎn)腦筋：而二元一次方程組則比較直觀，列式也簡單，特別是對于一些數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜的問題，借助二元一次方程組模型可以很快弄清題中的數(shù)量關(guān)系，解答起來既簡單又準(zhǔn)確.

三、體會(huì)數(shù)學(xué)模型思想——“驢騾伏貨：問題

為了進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型并學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型思想，我們再來探討一個(gè)“驢騾馱貨”問題，這是《希臘文選》中的一個(gè)問題.

驢子和騾子馱著貨物并排走在路上，驢子不停地埋怨自己馱的貨物太重.騾子對它說：“你發(fā)什么牢騷？我馱的貨物比你馱的貨物更重.倘若你給我1袋貨物，我所馱貨物的袋數(shù)將是你所馱貨物的袋數(shù)的2倍：而如果我給你1袋貨物，咱倆馱的貨物才剛好一樣多.”驢子和騾子各馱幾袋貨物？

鑒于“雞兔同籠”問題已經(jīng)為我們打下了基礎(chǔ)，下面我們就直接運(yùn)用數(shù)學(xué)模型思想解決這個(gè)問題.

分析模型：由騾子的話可以知道，騾子所馱貨物的袋數(shù)+1=2x（驢子所馱貨物的袋數(shù)一1），騾子所馱貨物的袋數(shù)-1=驢子所馱貨物的袋數(shù)+1.

所以驢子馱5袋貨物，騾子馱7袋貨物，

驗(yàn)證模型：若驢子給騾子1袋貨物，則驢子所馱貨物為4袋，騾子所馱貨物為8袋，騾子所馱貨物的袋數(shù)是驢子所馱貨物的袋數(shù)的2倍；若騾子給驢子1袋貨物，則驢子和騾子所馱貨物均為6袋，剛好一樣多.故結(jié)果正確，

對于這個(gè)問題，如果列一元一次方程求解，則不易弄清數(shù)量關(guān)系，而用二元一次方程組求解就很簡單，也很容易理解.

通過以上分析，大家應(yīng)該對數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)模型思想有了初步的了解.并且發(fā)現(xiàn)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)量關(guān)系的重要模型.如果我們在頭腦中形成了數(shù)學(xué)模型思想，那么解題就會(huì)變得更加容易.

今后我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)要注意培養(yǎng)數(shù)學(xué)模型思想，要能夠舉一反三，觸類旁通.只有這樣，我們在解題時(shí)才能做到游刃有余.