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    體會(huì)數(shù)學(xué)模型思想

    2015-05-30 10:48:04劉雪婷童莉
    關(guān)鍵詞:騾子雞兔同籠驢子

    劉雪婷 童莉

    一看到“模型”這個(gè)詞,你首先想到的是什么?汽車模型?飛機(jī)模型?這些都是依照實(shí)物的形狀和結(jié)構(gòu)按比例制成的物品,那么什么是數(shù)學(xué)模型?數(shù)學(xué)模型思想是如何體現(xiàn)的?本文以二元一次方程組為例,帶領(lǐng)大家認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型,體會(huì)數(shù)學(xué)模型思想.

    一、接觸數(shù)學(xué)模型——“雞兔同籠”問題

    “雞兔同籠”問題(如圖1)是一個(gè)經(jīng)典名題,在許多教材中都出現(xiàn)過,對于我們七年級的學(xué)生而言,解答這一問題,可以讓我們從已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā),利用二元一次方程組列式簡單、易于理解的特點(diǎn),經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋和應(yīng)用的過程,體會(huì)數(shù)學(xué)模型思想,提高舉一反i的應(yīng)用能力.

    我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中介紹過“雞兔同籠”問題:今有雉兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雉兔各幾何,意思是:有若干只雞和兔在同一個(gè)籠子里,從上面數(shù)有35個(gè)頭,從下面數(shù)有94只腳,籠子中的雞和兔各有多少只?

    據(jù)說在日本也有類似的問題,如“龜鶴同游”問題:龜鶴同游,共有40個(gè)頭,112只腳,龜和鶴各有多少只?類似的問題還有很多,如“人狗同行”問題等.

    觀察圖2,再經(jīng)過比較不難發(fā)現(xiàn),這類問題有著相似的特征,即雞、鶴、人都有2只腳,兔、龜、狗都有4只腳,這就給我們這樣的啟示:應(yīng)當(dāng)存在一種通用的解題方法,對于上述三個(gè)問題及與之類似的問題都是適用的.

    基于以上分析,請大家看看我們在不同階段是如何解決“雞兔同籠”問題的,這一方面能讓我們了解什么是數(shù)學(xué)模型,另一方面也能讓我們體會(huì)到用哪種數(shù)學(xué)模型解決問題更簡單,更容易理解.

    1.算術(shù)解法.

    分析模型:腳的總數(shù)÷2—頭的總數(shù)=兔只數(shù),頭的總數(shù)一兔只數(shù)=雞只數(shù).

    建立模型:列出算式,得94÷2-35=_____ ,35-____= ___.

    解答模型:雞有23只,兔有12只.

    驗(yàn)證模型:23只雞和12只兔恰好有35個(gè)頭,每只雞有2只腳,每只兔有4只腳,23只雞和12只兔恰好有94只腳,故結(jié)果正確.

    2.利用一元一次方程求解的方法,

    分析模型:雞的腳數(shù)+兔的腳數(shù)=腳的總數(shù),雞的腳數(shù)=2x雞的頭數(shù),兔的腳數(shù)=4x兔的頭數(shù)=4x(頭的總數(shù)一雞的頭數(shù)).

    建立模型:列一元一次方程(將文字語言抽象為數(shù)學(xué)符號(hào)).

    設(shè)雞有x只,則兔有(35-x)只.

    從而可得2x+4(35-x)=94.

    解答模型:解一元一次方程,得x=23.

    故35-x=12.

    所以雞有23只,兔有12只,

    驗(yàn)證模型:同算術(shù)解法.

    3.利用二元一次方程組求解的方法.

    分析模型:雞的頭數(shù)+兔的頭數(shù)=頭的總數(shù),雞的腳數(shù)+兔的腳數(shù)=腳的總數(shù).

    建立模型:列二元一次方程組(將文字語言抽象為數(shù)學(xué)符號(hào)).

    二、剖析數(shù)學(xué)模型思想——本質(zhì)與作用

    根據(jù)以上解題過程可以發(fā)現(xiàn),其實(shí)無論用哪種方法求解“雞兔同籠”問題,都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型思想,都經(jīng)歷了分析模型、建立模型、解答模型、驗(yàn)證模型這四個(gè)步驟.所謂數(shù)學(xué)模型,就是利用數(shù)學(xué)語言將實(shí)際問題中的主要關(guān)系、主要特征近似或概括地表示出來,從而得到的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)模型思想體現(xiàn)在從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題,用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,最后求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義.

    從前面“雞兔同籠”問題的解答中我們會(huì)發(fā)現(xiàn),對于同一個(gè)問題,解決問題的數(shù)學(xué)模型可以有多種,而我們一般會(huì)選擇最簡單的一種,在前面的幾種解題方法中,算術(shù)解法看起來簡單,但理解起來不是很容易;一元一次方程解起來比較簡單,但為了弄清未知數(shù)之間的關(guān)系,列式的時(shí)候需要費(fèi)點(diǎn)腦筋:而二元一次方程組則比較直觀,列式也簡單,特別是對于一些數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜的問題,借助二元一次方程組模型可以很快弄清題中的數(shù)量關(guān)系,解答起來既簡單又準(zhǔn)確.

    三、體會(huì)數(shù)學(xué)模型思想——“驢騾伏貨:問題

    為了進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型并學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型思想,我們再來探討一個(gè)“驢騾馱貨”問題,這是《希臘文選》中的一個(gè)問題.

    驢子和騾子馱著貨物并排走在路上,驢子不停地埋怨自己馱的貨物太重.騾子對它說:“你發(fā)什么牢騷?我馱的貨物比你馱的貨物更重.倘若你給我1袋貨物,我所馱貨物的袋數(shù)將是你所馱貨物的袋數(shù)的2倍:而如果我給你1袋貨物,咱倆馱的貨物才剛好一樣多.”驢子和騾子各馱幾袋貨物?

    鑒于“雞兔同籠”問題已經(jīng)為我們打下了基礎(chǔ),下面我們就直接運(yùn)用數(shù)學(xué)模型思想解決這個(gè)問題.

    分析模型:由騾子的話可以知道,騾子所馱貨物的袋數(shù)+1=2x(驢子所馱貨物的袋數(shù)一1),騾子所馱貨物的袋數(shù)-1=驢子所馱貨物的袋數(shù)+1.

    所以驢子馱5袋貨物,騾子馱7袋貨物,

    驗(yàn)證模型:若驢子給騾子1袋貨物,則驢子所馱貨物為4袋,騾子所馱貨物為8袋,騾子所馱貨物的袋數(shù)是驢子所馱貨物的袋數(shù)的2倍;若騾子給驢子1袋貨物,則驢子和騾子所馱貨物均為6袋,剛好一樣多.故結(jié)果正確,

    對于這個(gè)問題,如果列一元一次方程求解,則不易弄清數(shù)量關(guān)系,而用二元一次方程組求解就很簡單,也很容易理解.

    通過以上分析,大家應(yīng)該對數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)模型思想有了初步的了解.并且發(fā)現(xiàn)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)量關(guān)系的重要模型.如果我們在頭腦中形成了數(shù)學(xué)模型思想,那么解題就會(huì)變得更加容易.

    今后我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)要注意培養(yǎng)數(shù)學(xué)模型思想,要能夠舉一反三,觸類旁通.只有這樣,我們在解題時(shí)才能做到游刃有余.

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