算術(shù)思維的基本形式

劉偉

凝聚是算術(shù)思維的基本形式，思維的分析相對于具體知識內(nèi)容的教學(xué)而言并非某種外加的成分，而是有著重要的指導(dǎo)意義。

具體地說，這正是現(xiàn)代關(guān)于數(shù)學(xué)思維研究的一項重要成果，即指明了所謂的“凝聚”，也即由“過程”向“對象”的轉(zhuǎn)化構(gòu)成了算術(shù)以及代數(shù)思維的基本形式，這也就是說，在數(shù)學(xué)特別是算術(shù)和代數(shù)中有不少概念在最初是作為一個過程得到引進(jìn)的，但最終卻又轉(zhuǎn)化成了一個對象──對此我們不僅可以具體地研究它們的性質(zhì)，也可以此為直接對象去施行進(jìn)一步的運算。

例如，加減法在最初都是作為一種過程得到引進(jìn)的，即代表了這樣的“輸入—輸出”過程：由兩個加數(shù)（被減數(shù)與減數(shù)）我們就可求得相應(yīng)的和（差）;然而，隨著學(xué)習(xí)的深入，這些運算又逐漸獲得了新的意義：它們已不再僅僅被看成一個過程，而且也被認(rèn)為是一個特定的數(shù)學(xué)對象，我們可具體地去指明它們所具有的各種性質(zhì)，如交換律、結(jié)合律等，從而，就其心理表征而言，就已經(jīng)歷了一個“凝聚”的過程，即由一個包含多個步驟的運作過程凝聚成了單一的數(shù)學(xué)對象。再如，有很多教師認(rèn)為，分?jǐn)?shù)應(yīng)當(dāng)定義為“兩個整數(shù)相除的值”而不是“兩個整數(shù)的比”，這事實上也可被看成包括了由過程向?qū)ο蟮霓D(zhuǎn)變，這就是說，就分?jǐn)?shù)的掌握而言我們不應(yīng)停留于整數(shù)的除法這樣一種運算，而應(yīng)將其直接看成一種數(shù)，我們可以此為對象去實施加減乘除等運算。

對于所說的“凝聚”可進(jìn)一步分析如下：

第一，“凝聚”事實上可被看成“自反性抽象”的典型例子，而后者則又可以說集中地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的高度抽象性，即“是把已發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中抽象出來的東西射或反射到一個新的層面上，并對此進(jìn)行重新建構(gòu)”。這正如著名哲學(xué)家、心理學(xué)家皮亞杰所指出的：“全部數(shù)學(xué)都可以按照結(jié)構(gòu)的建構(gòu)來考慮，而這種建構(gòu)始終是完全開放的……當(dāng)數(shù)學(xué)實體從一個水平轉(zhuǎn)移到另一個水平時，它們的功能會不斷地改變;對這類‘實體進(jìn)行的運演，反過來，又成為理論研究的對象，這個過程在一直重復(fù)下去，直到我們達(dá)到了一種結(jié)構(gòu)為止，這種結(jié)構(gòu)或者正在形成‘更強(qiáng)的結(jié)構(gòu)，或者在由‘更強(qiáng)的結(jié)構(gòu)來予以結(jié)構(gòu)化?！崩?，由加法到乘法以及由乘法到乘方的發(fā)展顯然也可被看成更高水平上的不斷“建構(gòu)”。

第二，以色列著名數(shù)學(xué)教育家斯法德（A.Sfard）指出，“凝聚”主要包括以下三個階段：（1）內(nèi)化;（2）壓縮;（3）客體化。其中，“內(nèi)化”和“壓縮”可視為必要的準(zhǔn)備。前者是指用思維去把握原先的視覺性程序，后者則是指將相應(yīng)的過程壓縮成更小的單元，從而就可從整體上對所說的過程作出描述或進(jìn)行反思──我們在此不僅不需要實際地去實施相關(guān)的運作，還可從更高的抽象水平對整個過程的性質(zhì)作出分析;另外，相對于前兩個階段而言，“客體化”則代表了質(zhì)的變化，即用一種新的視角去看一件熟悉的事物：原先的過程現(xiàn)在變成了一個靜止的對象。容易看出，上述的分析對于我們改進(jìn)教學(xué)也具有重要的指導(dǎo)意義。例如，所說的“內(nèi)化”就清楚地表明了這樣一點：我們既應(yīng)積極提倡學(xué)生的動手實踐，但又不應(yīng)停留于“實際操作”，而應(yīng)十分重視“活動的內(nèi)化”，因為，不然的話，就不可能形成任何真正的數(shù)學(xué)思維。另外，在不少學(xué)者看來，以上的分析在一定程度上表明了“熟能生巧”這一傳統(tǒng)做法的合理性。

第三，由“過程”向“對象”的過渡不應(yīng)被看成一種單向的運動;恰恰相反，這兩者應(yīng)被看成同一概念心理表征的不同側(cè)面，我們應(yīng)善于依據(jù)不同的情景與需要在這兩者之間作出必要的轉(zhuǎn)換，包括由“過程”轉(zhuǎn)向“對象”，以及由“對象”重新回到“過程”。

例如，在求解代數(shù)方程時，我們顯然應(yīng)將相應(yīng)的表達(dá)式，如（x+3）2=1，看成單一的對象，而非具體的計算過程，不然的話，就會出現(xiàn)（x+3）2=1=x2+6x+9=1=…這樣的錯誤;然而，一旦求得了方程的解，如x=-2和-4，作為一種檢驗，我們又必須將其代入原來的表達(dá)式進(jìn)行檢驗，而這時所采取的則就是一種“過程”的觀點。

正因為在“過程”和“對象”之間存在所說的相互依賴、互相轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系，因此，一些學(xué)者提出，我們應(yīng)把相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念看成一種“過程—對象對偶體”procept，這是由“過程”（process）和（作為對象的）“概念”（concept）這兩個詞組合而成的。，即應(yīng)當(dāng)認(rèn)為其同時具有“過程”與“對象”這樣兩個方面的性質(zhì)。再者，我們又應(yīng)很好地去把握相應(yīng)的思維過程（可稱為“過程—對象性思維”〔proceptual thinking〕）的以下特征：（1）“對偶性”，是指在“過程”與相應(yīng)的“對象”之間所存在的相互依存、互相轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系;（2）“含糊性”，這集中地體現(xiàn)于相應(yīng)的符號表達(dá)式：它既可以代表所說的運作過程，也可以代表經(jīng)由凝聚所生成的特定數(shù)學(xué)對象;（3）靈活性，是指我們應(yīng)根據(jù)情境的需要自由地將符號看成過程或概念。特殊地，數(shù)學(xué)中常常會用幾種不同的符號去表征同一個對象，從而，在這樣的意義上，上述的“靈活性”就獲得了更為廣泛的意義：這不僅是指“過程”與“對象”之間的轉(zhuǎn)化，而且也是指不同的“過程—對象對偶體”之間的轉(zhuǎn)化。例如，5不僅是3與2的和，也是1與4的和、7與2的差、1與5的積，等等。

綜上可見，在算術(shù)的教學(xué)中我們應(yīng)自覺地應(yīng)用和體現(xiàn)“凝聚”這樣一種思維方式。