數(shù)學(xué)在生活中的一些應(yīng)用

羅先文

【摘要】數(shù)學(xué)來源于具體生活實(shí)踐， 數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān)，有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是為了指導(dǎo)實(shí)踐，我們需要解決實(shí)際問題，首先就要具有把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，并學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度分析問題和解決生活中的實(shí)際問題.數(shù)學(xué)在各學(xué)科領(lǐng)域中的應(yīng)用已得到廣泛認(rèn)可.例如：在管理，農(nóng)業(yè)，工業(yè)，金融，教育等方面，數(shù)學(xué)都起到了不可替代的作用.下面就談?wù)剶?shù)學(xué)的在生活中的一些應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】管理 農(nóng)業(yè) 工業(yè) 教育 金融

0引言

數(shù)學(xué)是一門實(shí)用性很強(qiáng)的學(xué)科，數(shù)學(xué)起源于計(jì)數(shù)、丈量土地等實(shí)際的生產(chǎn)活動(dòng)，因此一開始就是實(shí)用的.它的特點(diǎn)是為解決具體問題而提供算法或解法的.17世紀(jì)牛噸根據(jù)力學(xué)上的需要發(fā)明微積分后，很長(zhǎng)的時(shí)間中，很多數(shù)學(xué)家同時(shí)也是力學(xué)家、物理學(xué)家，對(duì)他們來說，理論和實(shí)踐是密不可分的.以后數(shù)學(xué)研究越來越深入，分科越來越細(xì)，如大學(xué)數(shù)學(xué)中的計(jì)算數(shù)學(xué)、微分方程、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等學(xué)科.數(shù)學(xué)的應(yīng)用已拓展到幾乎每個(gè)領(lǐng)域和應(yīng)用部門，而且在其中起著不可替代的重要作用.

1 數(shù)學(xué)在管理中的應(yīng)用

1.1 一元微積分在管理中的應(yīng)用

1.1.1 價(jià)格需求彈性系數(shù)

在生活中，商品價(jià)格主要取決于商品的價(jià)值，市場(chǎng)上的競(jìng)爭(zhēng)，對(duì)產(chǎn)品的需求這三個(gè)因素，一般說，價(jià)格水平對(duì)需求升降有影響，價(jià)低則需求上升，價(jià)高則需求下降，需求升降率與價(jià)格變動(dòng)率之比稱為價(jià)格需求系數(shù)，用 表示， 值計(jì)算如下：

= Q/Q/ P/P

式中：Q---需求量 Q---需求的變動(dòng)量 P---原價(jià)格 P---價(jià)格的變動(dòng)量

Q/Q---需求升降率 P/P---價(jià)格變動(dòng)率

1.1.2 經(jīng)濟(jì)批量法

這是一種在工業(yè)成批生產(chǎn)中，根據(jù)費(fèi)用來確定合理批量的方法，批量大小對(duì)費(fèi)用的影響，主要有兩個(gè)因素：設(shè)備調(diào)整費(fèi)用和保管費(fèi)用.批量越大，設(shè)備調(diào)整費(fèi)用越少，分?jǐn)傇诿總€(gè)產(chǎn)品的調(diào)整費(fèi)用越少，但保管費(fèi)用越多，反之亦然.求經(jīng)濟(jì)的批量的原理就是用數(shù)學(xué)的方法求得這兩項(xiàng)費(fèi)用和的最小的批量.

年設(shè)備調(diào)整費(fèi)用為：年設(shè)備費(fèi)用

式中：A表示年調(diào)整費(fèi)用，N表示年產(chǎn)量，Q表示批量.

庫存保管費(fèi)用為：年庫存保管費(fèi)用

式中：C為單位產(chǎn)品的平均保管費(fèi)用

總費(fèi)用

這個(gè)公式就是計(jì)算經(jīng)濟(jì)批量的公式.

例1 某廠生產(chǎn)商品，其年銷售量為100萬件，每批生產(chǎn)設(shè)備調(diào)整費(fèi)用為1000元，而每件的庫存費(fèi)用為0.05元，問每次生產(chǎn)多大批量為最優(yōu)？

所以應(yīng)該每批生產(chǎn)20萬件為最優(yōu).

1.1.3 函數(shù)的最值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

最值問題是各學(xué)科中應(yīng)用的基礎(chǔ).例如，求資源最省、效益最高、路程做短等最值問題，這些問題都可以歸結(jié)為函數(shù)的最值問題.在數(shù)學(xué)分析中，最值的常用求法是先求原函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，然后，令一階導(dǎo)數(shù)為零，得到可能的極值點(diǎn)，再對(duì)原函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)，把可能的極值點(diǎn)代入二階導(dǎo)函數(shù)，來判斷該點(diǎn)是否為最值.在理論中，最值問題要結(jié)合自變量及函數(shù)的取值區(qū)間來考慮，在實(shí)際應(yīng)用中，最值是存在的且一般是唯一的，否則原問題無解.

例2 企業(yè)分次訂購全年需要的原材料2400噸，每次訂貨到后，先存入倉庫，然后陸續(xù)出庫投入生產(chǎn).若每次定貨要支付費(fèi)用60元，每噸原材料一年的庫存費(fèi)為3元，每次定貨多少，才能使全年企業(yè)在存貨上所花的費(fèi)用最??？

解 ：設(shè)每次定貨T噸，所以全年定貨的批數(shù)為2400/T，定貨費(fèi)用為因平均庫存量為 ，所以存費(fèi)為 ，因此庫存總費(fèi)用為

又因?yàn)?/p>

所以

故L（x， y）在（120，80）處取得利益函數(shù)的極大值L（120，80）=320（元）.又因?yàn)轳v點(diǎn)只有一個(gè)，所以 為利益最大值.

1.2 數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)管理中的一些應(yīng)用

在生活中，有許多問題都可以直接或間接的利用數(shù)學(xué)期望來解決.數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的數(shù)字特征之一，它代表了隨機(jī)變量總體取值的平均水平.以下通過具體的實(shí)例來說明數(shù)學(xué)期望在生活中的一些應(yīng)用.

1.2.1 保險(xiǎn)公司獲利問題

例4 一年中一個(gè)家庭萬元被盜的概率是 ，保險(xiǎn)公司開辦一年期萬元以上家庭財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn).參加者需要繳納保險(xiǎn)費(fèi)100元，若在一年內(nèi)，萬元以上財(cái)產(chǎn)被盜，保險(xiǎn)公司賠償a元 試問a如何確定，才能使保險(xiǎn)公司獲利？

解：只需考察保險(xiǎn)公司對(duì)任一參加保險(xiǎn)家庭的獲利情況.設(shè)

根據(jù)題意，

=100-

解得

1.2.2數(shù)學(xué)期望在天氣預(yù)報(bào)中的應(yīng)用舉例

例5 某商場(chǎng)要根據(jù)天氣預(yù)報(bào)來決定節(jié)日是在商場(chǎng)內(nèi)還是商場(chǎng)外開展促銷活動(dòng).統(tǒng)計(jì)資料表明，每年國慶商場(chǎng)內(nèi)舉行促銷活動(dòng)可獲得經(jīng)濟(jì)效益2萬元，商場(chǎng)外舉行促銷如果不遇到有雨天氣可獲得經(jīng)濟(jì)效益10萬元，如果促銷活動(dòng)中遇到有雨則帶來經(jīng)濟(jì)損失4萬元.9月30日氣象臺(tái)預(yù)報(bào)國慶有雨的概率是 ，商場(chǎng)應(yīng)該選擇哪種促銷方式？

解：設(shè)若在商場(chǎng)外舉行促銷活動(dòng)該商場(chǎng)所獲得的經(jīng)濟(jì)效益為 ， 所有可能的取值為10 、-4，則 的分布列為

E

即在商場(chǎng)外舉行促銷活動(dòng)可期望獲利 萬元，又因?yàn)樵谏虉?chǎng)內(nèi)舉行促銷活動(dòng)可獲得經(jīng)濟(jì)效益2萬元，故商場(chǎng)應(yīng)選擇在商場(chǎng)外舉行促銷活動(dòng).

1.2.3 進(jìn)貨問題

例6 設(shè)某種商品每周的需求 是取從區(qū)間 上均勻分布的隨機(jī)變量，經(jīng)銷商進(jìn)貨量為區(qū)間 中的某一整數(shù)，商品每銷售一單位商品可獲利5000元，若供大于求，則削價(jià)處理，每處理一單位商品虧損100元.若供不應(yīng)求，則可從外部調(diào)劑供應(yīng).此時(shí)一單位商品獲利300元.為使商品所獲利期望不少于9280元，試確定進(jìn)貨量.

解： 設(shè)進(jìn)貨量為a，則利潤為

期望利潤為

依題意有：

所以利潤期望值不少于9280元的最少進(jìn)貨量為21單位.

1.2.4大數(shù)定律與中心極限定理的一些應(yīng)用

下面以彩票為例，闡明大數(shù)定理與中心極限定律的實(shí)際應(yīng)用.

大數(shù)定理是近代保險(xiǎn)業(yè)得以建立的基礎(chǔ).根據(jù)大數(shù)定律和中心極限定理，我們知道承保的危險(xiǎn)單位越多，損失概率的偏差越小，反之亦然.因此，保險(xiǎn)人運(yùn)用大數(shù)法則就可以比較精確的預(yù)測(cè)危險(xiǎn)，合理的擬訂保險(xiǎn)費(fèi)率.下面以一道具體的有關(guān)保險(xiǎn)業(yè)的事例來闡述大數(shù)定律和中心極限定理在保險(xiǎn)業(yè)中的重要作用和具體應(yīng)用.

例7 已知在某人壽保險(xiǎn)公司里有10000個(gè)同一年齡段的人參加保險(xiǎn)，在同一年里這些人死亡率為0.1%，參加保險(xiǎn)的人在一年的頭一天交付保險(xiǎn)費(fèi)10元，死亡時(shí)家屬可以從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元的撫恤金.求保險(xiǎn)公司一年中獲利不少于40000元的概率；保險(xiǎn)公司虧本的概率是多少？

解：設(shè)一年中死亡的人數(shù)為x人，死亡率為p=0.0001，把考慮10000人在同一年是否死亡看成10000重貝努里實(shí)驗(yàn).

保險(xiǎn)公司每年收入為10000 元，付出20000x元

由此可見，我們應(yīng)用大數(shù)定律和中心極限定理的知識(shí)可以準(zhǔn)確計(jì)算出保險(xiǎn)公司的破產(chǎn)率，并為采取措施降低保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)提供了重要的理論依據(jù).在現(xiàn)實(shí)生活中，學(xué)會(huì)使用大數(shù)定律和中心極限定理對(duì)我們的學(xué)習(xí)和生活帶來很多幫助.

2 數(shù)學(xué)在農(nóng)業(yè)科學(xué)中的一些應(yīng)用

2.1 微積分在農(nóng)業(yè)中的應(yīng)用

例 1 某發(fā)酵過程中的酵母細(xì)胞數(shù)n與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是 ，證明其相對(duì)生長(zhǎng)率（RGR）是一個(gè)常數(shù).

可見，其相對(duì)生長(zhǎng)率為一常數(shù).

酵母細(xì)胞的生長(zhǎng)規(guī)律 是假設(shè)細(xì)胞在一個(gè)空間和營養(yǎng)供應(yīng)都無限制的環(huán)境中進(jìn)行的，因此，生長(zhǎng)率正比于種群大小，即 ，但實(shí)際中，環(huán)境營養(yǎng)供應(yīng)通常不是無限制的，所以，相對(duì)生長(zhǎng)率將隨著種群大小的增加而降低，于是有如下關(guān)系： RGR=r-kn（k為常數(shù)）

例2 某地觀測(cè)得夏季綠肥生長(zhǎng)量為求從t=20到t=30天綠肥的生長(zhǎng)量.（已知N =15.5公斤，k=0.074）

解：生長(zhǎng)量函數(shù)是其變化率的原函數(shù)，因此

故從20天到30天間綠肥生長(zhǎng)量為 .

2.2 概率在農(nóng)業(yè)中的應(yīng)用

概率是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律性的數(shù)學(xué)分支，概率在農(nóng)業(yè)中的應(yīng)用十分廣泛，它貫穿于農(nóng)作物生長(zhǎng)的全過程，從一開始的發(fā)芽與否到生長(zhǎng)的株高與天數(shù)的關(guān)系及最后估量果實(shí)產(chǎn)量，還是有生長(zhǎng)過程中患病與治病等生長(zhǎng)規(guī)律都可用概率解決.

例3 某地小麥易患銹病，當(dāng)任一種銹病流行時(shí)，小麥即被危害，現(xiàn)測(cè)得該地條銹病流行的概率為 ， 葉銹病流行的概率為 兩種銹病同時(shí)流行的概率為 求小麥被銹病危害的概率為多大.

解：設(shè)A、B分別為小麥條、葉銹病流行的事件，則A+B表示小麥被銹病危害事件，根據(jù)加法公式有：

故小麥被銹病危害的概率為 .

例4 高桿糯稻與矮桿糯稻雜交，在 代出現(xiàn)矮桿糯稻的概率為 ，出現(xiàn)矮桿非糯稻的概率為 ，問：（1） 代種20株得到矮桿糯稻2株或2株以上的概率是多少？（2）為了使所種的 代中起碼要有一株矮桿糯稻的把握為99%，至少要種 多少株？

解：（1）沒有矮桿糯稻的概率為：

有1株矮桿糯稻的概率為

有2株或2株以上矮桿糯稻的概率為

（2）起碼有一株矮桿糯稻為99%的把握，就有

即：

所以

即：（1）概率是 .

（2）至少要種72株.

2.3 最小二乘法在農(nóng)業(yè)中的應(yīng)用

例5 某地為了從綿羊的胸圍做估計(jì)測(cè)定它的體重，隨機(jī)地抽取了10頭綿羊的胸圍與體重得數(shù)據(jù)，資料如下表：

試建立體重Y關(guān)于胸圍的經(jīng)驗(yàn)公式

解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，如下：

從圖可見， 關(guān)于x是有直線變化的趨勢(shì)，所以可以利用直線型經(jīng)驗(yàn)公式： =a+bx表示它們內(nèi)在的規(guī)律，用最小二乘法解題，計(jì)算結(jié)果如下表：

把表中各數(shù)值代如公式

由

這樣，對(duì)于這個(gè)地區(qū)的其它綿羊只要測(cè)量出胸圍，通過上式就可計(jì)算出它的體重，因此給實(shí)際工作帶來了很大方便.

3 數(shù)學(xué)在工業(yè)中的一些應(yīng)用

3.1 小概率事件在統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用

統(tǒng)計(jì)推理的基礎(chǔ)是小概率原理，而不是邏輯推理.在顯著性假設(shè)檢驗(yàn)理論中，一般把小概率 稱為顯著性水平.假設(shè)檢驗(yàn)是在給定顯著性水平下，判斷某一假設(shè)的正確性.從邏輯上講是一種含有否定意義的結(jié)論形式，這個(gè)推斷結(jié)論是有 可能性錯(cuò)誤的結(jié)論，它不但表現(xiàn)了概率統(tǒng)計(jì)的特點(diǎn)，而且表現(xiàn)了可能與不可能的辨證關(guān)系.

由此看出，X的值幾乎以概率1落在 區(qū)間內(nèi)，也就是說，X的值以很小的概率落在 外.

此結(jié)論在實(shí)際生活中有重要應(yīng)用.如：某生產(chǎn)線中袋裝鹽的質(zhì)量X服從均值為1000g，標(biāo)準(zhǔn)差為20g的正態(tài)分布，即X～N（1000，20 ），現(xiàn)對(duì)袋裝鹽的質(zhì)量進(jìn)行抽查，發(fā)現(xiàn)有一袋鹽的質(zhì)量為1080g，問：是否有理由懷疑生產(chǎn)線存在故障？

由正態(tài)分布的 袋裝鹽質(zhì)量應(yīng)以概率1落在 即（940，1060）之內(nèi)，現(xiàn)在被抽取的這袋鹽為1080g，落在此區(qū)間的外部，即小概率事件竟在一次實(shí)驗(yàn)中就發(fā)生了，所以我們有理由懷疑該生產(chǎn)線發(fā)生了故障，需要檢修.

例2 某廠有一批產(chǎn)品，共有200件，經(jīng)檢驗(yàn)合格才能出廠.按國家標(biāo)準(zhǔn)，次品率不能超過 ，今從中任取5件，發(fā)現(xiàn)這5件產(chǎn)品中含有次品.問這批產(chǎn)品是否能出廠？

解： 設(shè)這批產(chǎn)品的次品率為p，問題準(zhǔn)化為：如何根據(jù)抽樣的結(jié)果來

判斷不等式 是否成立？

要檢驗(yàn)的假設(shè)是“ ”.首先，假定 成立，此時(shí)，200件中最多有2件次品，從中任取5件，令A(yù)“沒有取到次品”，由古典概率模型知

從而，任取5件，出現(xiàn)次品的概率=1—P（A）

以上結(jié)果說明，如果 則平均在100回抽樣中，事件 最多出現(xiàn)5回，也就是說，在一次抽樣中，將很少遇到 發(fā)生.由小概率事件原理知，小概率事件在一次實(shí)驗(yàn)中實(shí)際上是不可能發(fā)生的，如果在一次實(shí)驗(yàn)中竟然發(fā)生了，那么就認(rèn)為這是一種反?，F(xiàn)象.然而現(xiàn)在的事實(shí)是，在一次具體的抽樣中， 竟然發(fā)生了，這是“不合常理”的.為什么會(huì)出現(xiàn)這種不合情理的情況呢？其根源在于我們假定了 ，因此“ ”的假設(shè)是不能接受的.這只能說明該產(chǎn)品的次品率不止 ，故判斷不能出廠.

小概率事件原理的應(yīng)用是非常廣泛的，它是概率論的精髓，是統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展、存在的基礎(chǔ)，它使得人們?cè)诿鎸?duì)大量數(shù)據(jù)而需要做出分析與判斷時(shí)，能夠依據(jù)具體情況的推理做出決策，從而使統(tǒng)計(jì)推理判斷具備了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論依據(jù).

4 數(shù)學(xué)在金融領(lǐng)域的一些應(yīng)用

在投資環(huán)境日趨復(fù)雜的現(xiàn)代社會(huì)，幾乎所有的投資都是在風(fēng)險(xiǎn)和不確定情況下進(jìn)行的，一般地說，投資者都討厭風(fēng)險(xiǎn)并力求回避風(fēng)險(xiǎn).但是還是有人進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)性投資，這是為什么呢？這是因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)能給人們帶來超過預(yù)期的報(bào)酬，這種報(bào)酬就稱為“風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬”.風(fēng)險(xiǎn)程度越高投資者要求獲取的報(bào)酬也越高.因此在投資行為發(fā)生前，就必須對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和報(bào)酬進(jìn)行有效分析，以弄清不同風(fēng)險(xiǎn)條件下的投資報(bào)酬之間的關(guān)系，從而，在諸多投資者機(jī)會(huì)中選擇出最有價(jià)值的項(xiàng)目進(jìn)行投資.風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬的分析在很大程度上依賴于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)原理的應(yīng)用.

下面就以實(shí)例論述概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)原理在投資“風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬”分析中的應(yīng)用.

4.1 計(jì)算期望報(bào)酬

期望報(bào)酬是各種可能的報(bào)酬率按其概率進(jìn)行加權(quán)平均得到的報(bào)酬率，它是反映集中趨勢(shì)的一種量度.期望報(bào)酬率可按下列公式計(jì)算：

其中： ——期望報(bào)酬率， ——第i種可能結(jié)果的報(bào)酬率， ——第i種可能結(jié)果的概率，n——可能結(jié)果的個(gè)數(shù)

例如：甲公司有兩個(gè)投資機(jī)會(huì)，A投資機(jī)會(huì)是一個(gè)高科技項(xiàng)目，該領(lǐng)域競(jìng)爭(zhēng)激烈，如果經(jīng)濟(jì)發(fā)展迅速并且該項(xiàng)目搞得好，取得較大市場(chǎng)占有率，利潤會(huì)很大，否則利潤很小甚至虧本.B項(xiàng)目是一個(gè)老產(chǎn)品，并且是生活必須品，銷售前景可準(zhǔn)確預(yù)測(cè).假設(shè)未來的經(jīng)濟(jì)情況只有三種，繁榮、正常、衰退，有關(guān)概率分布和預(yù)期報(bào)酬率見下表：

下面，根據(jù)上述期望報(bào)酬概率公式分別計(jì)算A、B項(xiàng)目的期望報(bào)酬率：

兩個(gè)項(xiàng)目的期望報(bào)酬都是20%，那么應(yīng)該如何確定它們的風(fēng)險(xiǎn)程度呢？ 相比之下可以發(fā)現(xiàn)A方案的報(bào)酬非常分散，而B項(xiàng)目的報(bào)酬比較集中，一般可以認(rèn)為B方案的投資風(fēng)險(xiǎn)要比A方案小，這可用標(biāo)準(zhǔn)差來衡量.

4.2 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差

標(biāo)準(zhǔn)差是各種可能的報(bào)酬率偏離期望報(bào)酬率的綜合差異，是反映離散程度的一種量度，標(biāo)準(zhǔn)差可按下列公式計(jì)算：

其中： ——期望報(bào)酬的標(biāo)準(zhǔn)差， ——期望報(bào)酬率， ——第 種可能的結(jié)果

——第 種可能的概率，n——可能結(jié)果的個(gè)數(shù)

將上述A項(xiàng)目和B項(xiàng)目的資料代入上述公式得到兩個(gè)項(xiàng)目的標(biāo)準(zhǔn)差：

標(biāo)準(zhǔn)差越小，說明離散程度越小，風(fēng)險(xiǎn)也就越小.根據(jù)這種測(cè)量方法，A項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)大于B項(xiàng)目.

5. 數(shù)學(xué)在教育中的應(yīng)用

隨著時(shí)代的發(fā)展，各校都在致力于探索適合本校的質(zhì)量管理體系，加強(qiáng)質(zhì)量管理，以質(zhì)量求生存，以質(zhì)量求發(fā)展.學(xué)生的考試成績(jī)是教學(xué)質(zhì)量的主要來源，對(duì)其定量和定性的分析，有助于學(xué)校掌握教學(xué)情況，建立適合本校的質(zhì)量管理體系和機(jī)制，而對(duì)學(xué)生成績(jī)的評(píng)定是教學(xué)過程中的一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié)，其中我們應(yīng)如何把握試卷命題難度呢？眾所周知，正態(tài)分布是最常見、應(yīng)用最廣的一種分布，按照數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本原理，經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析（樣本數(shù) 30）93%的考試成績(jī)分布狀況在直觀上表現(xiàn)為“中間多，兩頭少，左右對(duì)稱”的特點(diǎn)，因此被測(cè)對(duì)象的學(xué)習(xí)或某種能力的指標(biāo)和某種能力指標(biāo)的測(cè)驗(yàn)結(jié)果 可近似地用正態(tài)分布（ ， ）來描述.通過樣本對(duì)總體的某些特征（如均值或方差）推理判斷，已成為教育研究中的一種較為常見的方法.用統(tǒng)計(jì)學(xué)原理確定學(xué)生成績(jī)的平均分及正態(tài)分布曲線，并將成為對(duì)試卷分析評(píng)價(jià)的基礎(chǔ).

保證考試質(zhì)量是教學(xué)活動(dòng)中不容忽視的重要組成部分.如何提高考試質(zhì)量，不僅應(yīng)在考試前對(duì)試卷質(zhì)量進(jìn)行分析，更應(yīng)結(jié)合試后成績(jī)分析作出最終評(píng)價(jià).用學(xué)生的考試成績(jī)可以定量對(duì)命題質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)與分析.分析學(xué)生考試成績(jī)的直方圖，其分布大致可以分為5種情形：（1）單峰且對(duì)稱，單峰大體對(duì)稱.（2）單峰但峰值偏向左移.（3）單峰但峰值偏右.（4）雙峰或多峰.（5）大體上可以一個(gè)平臺(tái)型為代表等等.如果把這5種情形的直方圖外廓線描出，則大致為如圖幾種情形的曲線.

根據(jù)教育學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論，一次難度適中信度的考試，學(xué)生的成績(jī)應(yīng)該接近正態(tài)分布.也就是說，當(dāng)學(xué)生的成績(jī)接近正態(tài)分布時(shí)，則說明此次考試基本達(dá)到了教學(xué)要求.判斷成績(jī)是否接近正態(tài)分布，最直觀且最有效的方法是將成績(jī)分布曲線與均值和方差相同的正態(tài)分布曲線加以比較.當(dāng)然，學(xué)生成績(jī)呈現(xiàn)正態(tài)分布是理想化狀態(tài).考試成績(jī)完全呈正態(tài)分布有一定的困難，也不現(xiàn)實(shí).但我們要以正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)，加以對(duì)比，找出不足.

利用教育統(tǒng)計(jì)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于難度適中、客觀有效的考試成績(jī)一般都符合正態(tài)分布.因此，我們有理由使用各種高級(jí)統(tǒng)計(jì)方法處理考試分?jǐn)?shù)，以挖掘更多的教育信息.考試成績(jī)是考生水平的反映，同時(shí)考試成績(jī)分布是否正態(tài)分布反映了命題質(zhì)量.根據(jù)正態(tài)分布曲線呈現(xiàn)的形態(tài)，可以進(jìn)行考題相對(duì)難度分析.

平均成績(jī)的差異引起曲線的水平位置變化.平均成績(jī)?cè)降?，如低?5分說明考試試卷難度越大，而偏高在90分以上說明試卷難度太小.若學(xué)生成績(jī)分布屬（1）的情形，則表明試卷的質(zhì)量是比較好的.這里又有兩種情形：在標(biāo)準(zhǔn)差不變的情況下隨著平均分?jǐn)?shù)的增加曲線向右移說明考生答題逐漸輕松；相反，隨著考生平均分?jǐn)?shù)的減小說明考題逐漸變難，學(xué)生成績(jī)逐漸降低.在學(xué)生和教師工作正常情況下，題目越容易曲線越向右移，在平均分不變的情況下，標(biāo)準(zhǔn)差較小，成績(jī)分布較集中.正態(tài)分布曲線呈陡峭型說明試卷區(qū)分度太小，表示中等難度試題所占比重太大，標(biāo)準(zhǔn)差較大，成績(jī)分布較平坦，試卷區(qū)分度太大，則表明中等難度試題偏少.若學(xué)生成績(jī)分布屬（2）的情形，即負(fù)偏態(tài)分布說明難度較大的試題比例偏高，表明試卷題目偏難；若顯學(xué)生成績(jī)屬（3）的情形，即正態(tài)分布說明難度較小的試題比例偏重，則表明試卷題目容易.若學(xué)生成績(jī)分布屬（4）或（5）等所示的情形，則表明試卷的命題質(zhì)量不好，隨意性較強(qiáng)，這樣的試卷成績(jī)不能很好地測(cè)量出學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)掌握情況.

正態(tài)分布應(yīng)用的結(jié)論：考題相對(duì)難度是指考題從整體上講相對(duì)考生其難易程度的合理性.用學(xué)生成績(jī)的平均分?jǐn)?shù)衡量考題相對(duì)難度應(yīng)是合理、可行的.對(duì)于高校結(jié)業(yè)類型的考試，經(jīng)統(tǒng)計(jì)平均分?jǐn)?shù)在77分附近時(shí)，考題相對(duì)難度是合適的.經(jīng)過確定恰當(dāng)?shù)钠x度等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)試題難度相對(duì)學(xué)生①考題合理.②考題稍偏易或稍偏難.③考題較易或較難.④考題較易或較難.⑤考題難度不合理的5個(gè)等級(jí)指標(biāo)判斷.

綜上所述，考試成績(jī)符合正態(tài)分布是說明考題命題合理的條件，也是衡量考試質(zhì)量的一個(gè)客觀標(biāo)準(zhǔn).所以根據(jù)正態(tài)分布曲線呈現(xiàn)的狀態(tài)，可以評(píng)價(jià)試卷的難易程度，為評(píng)價(jià)試卷命題質(zhì)量提供數(shù)據(jù)資料，進(jìn)而調(diào)整教學(xué)進(jìn)度，改進(jìn)教學(xué)方法.

因此，我們要運(yùn)用數(shù)學(xué)方法加強(qiáng)對(duì)教學(xué)的管理，完善教育體系.

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