用分類討論法解決含參導數(shù)問題

徐銳

利用導數(shù)解決函數(shù)的單調性和極值問題，經(jīng)常需要進行分類討論，所以導數(shù)與分類討論結下了不解之緣，要想獲得高分，必須占領這塊“陣地”.我們在遇到含有參數(shù)的導數(shù)問題時往往得分率不高，主要原因就是不會分類討論.

下面我們從一道簡單例題的解答入手，看看遇到參數(shù)時應該如何進行分類討論求解.

例 ?若函數(shù)[f（x）=x+2x+lnx]，求函數(shù)[f（x）]的極值點.

解析 ?因為[f（x）=x+2x+lnx（x>0）]，

所以[f（x）=1-2x2+1x=x2+x-2x2（x>0）].

令[f（x）=0]得[x=-2]（舍）或[x=1.]

列表如下：

[[x]＼&（0，1）＼&1＼&（1，+∞）＼&[f（x）]＼&—＼&0＼&+＼&[f（x）]＼&↘＼&極小值＼&↗＼&]

由上表知，[x=1]是函數(shù)[f（x）]的極小值點.

變式1 ?若函數(shù)[f（x）=x+ax+lnx]，試討論函數(shù)[f（x）]的極值存在情況.

解析 ?[f（x）=1-ax2+1x=x2+x-ax2（x>0），]

令[f（x）=0]，即[x2+x-a=0]， [Δ=1+4a]（注意這里方程根的個數(shù)需要討論）.

（1）當[Δ≤0]，即[a≤-14]時，[f（x）≥0]，[f（x）]在（0，+∞）上單調遞增，無極值.

（2）當[Δ>0]，即[a>-14]時，解[x2+x-a=0]得，

[x1=-1-1+4a2<0]或[x2=-1+1+4a2.]

①若[a>0]，則[x2>0.]

列表如下：

[[x]＼&（0，[x2]）＼&[x2]＼&（[x2]，+∞）＼&[f（x）]＼&—＼&0＼&+＼&[f（x）]＼&↘＼&極小值＼&↗＼&]

由上表知，[x=x2]時函數(shù)[f（x）]取到極小值，即[a>0]函數(shù)[f（x）]存在極小值.

②若[-14

綜上所述，當[a>0]時，函數(shù)[f（x）]存在極值;當[a≤0]時，函數(shù)[f（x）]不存在極值.

變式2 ?若函數(shù)[f（x）=ax+2x+lnx]，求函數(shù)[f（x）]的單調區(qū)間.

解析 ?[f（x）=a-2x2+1x=ax2+x-2x2（x>0）].

令[f（x）]=0，即[h（x）=ax2+x-2=0]（注意這里方程的類型需要討論）.

（1）當[a=0]時，作出[h（x）=x-2]的圖象可知，

①[x∈（0，2）， h（x）<0]，即[f（x）<0]，所以[f（x）]在（0，2）上單調遞減.

②[x∈（2，+∞）， h（x）>0]，即[f（x）>0]，所以[f（x）]在（2，+∞）上單調遞增.

（2）當[a<0]時，因為[x=-12a>0， h（0）=-2<0]，

①若[Δ≤0]，即[a≤-18]時，在[（0，+∞）]上[h（x）<0]，即[f（x）<0]，所以[f（x）]在（0，+∞）上單調遞減.

②若[Δ>0]，即[-18

[x1=-1+1+8aa]或[x2=-1-1+8a2a.]

列表如下：

[[x]＼&（0，[x1]）＼&[x1]＼&（[x1]，[x2]）＼&[x2]＼&（[x2]，+∞）＼&[f（x）]＼&—＼&0＼&+＼&0＼&—＼&[f（x）]＼&↘＼&極小值＼&↗＼&極大值＼&↘＼&]

由上表知，[f（x）]的減區(qū)間為[（0，-1+1+8a2）]，[（-1-1+8a2a，+∞）]，[f（x）]的增區(qū)間為（[-1+1+8a2]，[-1-1+8a2]）.

（3）當[a>0]時，因為[x=-12a<0， h（0）=-2<0]，所以[h（x）=0]有一正一負兩根，解得[x1=-1-1+8a2<0]或[x2=-1+1+8a2>0].

列表如下：

[[x]＼&（0，[x2]）＼&[x2]＼&（[x2]，+∞）＼&[f（x）]＼&—＼&0＼&+＼&[f（x）]＼&↘＼&極小值＼&↗＼&]

由上表知，[f（x）]的減區(qū)間為[（0，-1+1+8a2）]，增區(qū)間為[（-1+1+8a2，+∞）].

綜上所述，[a<0]時，[f（x）]的減區(qū)間為[（0，-1+1+8a2）]，[（-1-1+8a2，+∞）]，[f（x）]的增區(qū)間為[（-1+1+8a2，-1-1+8a2]. [a=0]時，[f（x）]的遞減區(qū)間為（0，2），遞增區(qū)間為（2，+∞）. [a>0]時，[f（x）]的遞減區(qū)間為[（0，-1+1+8a2）]，增區(qū)間為[（-1+1+8a2，+∞）].

變式3 ?若函數(shù)[f（x）=ax-1x-（a+1）lnx]，求[f（x）]在區(qū)間[2，3]上的最小值.

解析 [f（x）=a+1x2-a+1x=ax2-（a+1）x+1x2（x>0），]

設[p（x）=ax2-（a+1）x+1]，（注意這里方程的類型需要討論）

（1）當[a=0]時，作出[p（x）=-x+1]的圖象可知，

[x∈（0，1）， p（x）>0，]即[f（x）>0]，所以[f（x）]在（0，1）上單調遞增.

[x∈（1，+∞）， p（x）<0]，即[f（x）<0]，所以[f（x）]在（1，+∞）上單調遞減.

（2）當[a<0]時，解[p（x）=0]得，[x=1]或[x=1a.]

因為[a<0]，作出[p（x）=ax2-（a+1）x+1]的圖象可知，

[x∈（0，1）， p（x）>0]，即[f（x）>0]，所以[f（x）]在（0，1）上單調遞增.

[x∈（1，+∞）， p（x）<0]，即[f（x）<0]，所以[f（x）]在（1，+∞）上單調遞減.

所以[f（x）]在[2，3]上單調遞減，

所以[fmin（x）=f（3）=3a-13-（a+1）ln3].

（3）當[a>0]時，（注意這里兩根與定義域需要討論）

若[0<1a≤2]，即[a≥12]時，[x∈[2，3]]， [p（x）>0]，即[f（x）>0]，

所以[f（x）]遞增，所以[fmin（x）=f（2）=2a-12-（a+1）ln2.]

若[2<1a<3]，即[13

[x∈（2，1a）]，[p（x）<0]，即[f（x）<0]，所以[f（x）]遞減.

[x∈（1a，3）]，[p（x）>0]，即[f（x）>0]，所以[f（x）]遞增.

所以[fmin（x）=f（1a）=1-a+（a+1）lna.]

若[1a≥3]，即[0

所以[f（x）]遞減，所以[fmin（x）=f（3）=3a-13-（a+1）ln3.]

綜上所述，[fmin（x）=3a-13-（a+1）ln3（a≤13），1-a+（a+1）lna（13

小結 ?在利用導數(shù)求函數(shù)極值、最值及單調區(qū)間等問題時，若函數(shù)中含有參數(shù)，我們需對參數(shù)進行討論.

①若導函數(shù)的二次項系數(shù)為參數(shù)，需對二次項系數(shù)為正、負、零進行分類討論;

②若需考慮判別式Δ，需對Δ>0，Δ=0，Δ<0進行分類討論;

③在求最值或單調區(qū)間時，由[f（x）=0]解出的根， 需與給定區(qū)間內(nèi)的兩個根比較大小進行分類討論.

分類討論的思想方法就是當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出第一類的結論，最后綜合各類結果得到整個問題的解答，其實質是“化整為零，各個擊破，再積零為整”.在分類討論時，要注意：①分類對象確定，標準統(tǒng)一;②不重復，不遺漏;③分層次，不越級討論.