平面向量與三角知識(shí)的“交匯”

張琦

近幾年新課標(biāo)高考對(duì)平面向量知識(shí)的命題，既充分體現(xiàn)自身知識(shí)結(jié)構(gòu)體系命題形式的多樣化，又保持與其他知識(shí)交匯的命題思路，充分彰顯平面向量知識(shí)的交匯價(jià)值。

一、平面向量與三角函數(shù)性質(zhì)的“交匯”

例1 設(shè)函數(shù)，其中向量，的圖像經(jīng)過點(diǎn)。

（l）求實(shí)數(shù)m的值。

（2）求函數(shù).f（x）的最小值及此時(shí)x值的集合。

解：（1）由可得。

（2）由（1）得，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為。

由，可知（k∈Z），可得此時(shí)x值的集合為

評(píng)析：本題以平面向量為載體，巧妙地將平面向量的數(shù)量積與三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合起來，體現(xiàn)了平面向量知識(shí)的交匯價(jià)值。

二、平面向量與三角變換的“交匯”

例2 已知向量m=（cosθ，sinθ）和，且，求的值。

解：由，可得。

又，所以

因?yàn)?，所?/p>

所以

評(píng)析：本題結(jié)合三角函數(shù)求值的有關(guān)知識(shí)，考查向量模的定義與向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算。

三、平面向量與解三角形的“交匯”

例3 已知向量m=（l，1），向量n與向量m的夾角為，且m·n=-1。

（l）求向量n。

（2）若向量n與向量q=（1，0）的夾角為，向量，其中A，C為△ABC的內(nèi)角，且A，B，C依次成等差數(shù)列，試求|n+p|的取值范圍。

解：（l）設(shè)n=（x，y）。利用m·n=-l，可求得n=（-l，0）或n=（0，-l）。

（2）由n與q=（1，o）的夾角為，即得n⊥q.可知n=（0，-1）。由A，B，C成等差數(shù)列，可得。

由cosC），可得

因?yàn)椋?1≤

所以，即。所以

評(píng)析：本題側(cè)重考查三角形知識(shí)。題中涉及數(shù)列知識(shí)，有興趣的同學(xué)不妨探究一下。