淺談函數(shù)解析式的求解策略

王金

[摘要]函數(shù)解析式的求解方法是一種比較抽象的解題方法，提供幾種求解函數(shù)解析式的常用方法，供大家參考.

[關(guān)鍵詞]函數(shù)解析式求解策略

[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2015）140038

函數(shù)解析式是研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)，其解析式的求法也綜合了代數(shù)、三角函數(shù)、幾何的相關(guān)知識(shí)以及相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法.本文僅對(duì)函數(shù)解析式的求法加以概括和歸納.

一、換元法

【例1】對(duì)所有實(shí)數(shù)x，滿足條件：f（2x-3）=4x2 -2x+3，求f（x）的解析式.

解： 令 t=2x-3，則 x=t+32.

所以f（t）=4（t+32）2-2（t+32）+3=t2+5t+9，

即 f（t）=t2 +5t+9，

所以 f（x）=x2 +5x+9.

小結(jié)：能從換元后的函數(shù)方程中解出x的函數(shù)解析式問題常用此法.

二、配湊法

【例2】若f（x+1x）=x3+1x3，求f（x）.

解：∵f（x+1x）=x3+1x3=

（x+1x）（x2+1x2-1）=

（x+1x）[（x+1x）2-3]

，

∴f（x）=x（x2-3）=x3-3x.

小結(jié)：不能從換元后的函數(shù)方程中解出x的函數(shù)解析式問題常用此法.

三、待定系數(shù)法

【例3】已知f （x）是二次函數(shù)，且f（x+1）+f（x-1）=2x2-4x+4，則f （x）=.

小值點(diǎn)，

∴f（43）=

8×43+16

1+43-1+169

=40

，當(dāng)x=ba=43時(shí)，結(jié)合已知求得a=10，b=403.

方法三：聯(lián)想幾何意義，構(gòu)造三角函數(shù)求最值

將1a+2b=14

轉(zhuǎn)化為4a+8b=1，聯(lián)想到直線截距式方程xa+yb=1.

問題轉(zhuǎn)化為：過定點(diǎn)P（4，8）的直線l分別交x，y軸的正半軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△ABO周長的最小值.

解：設(shè)直線l的傾斜角的補(bǔ)角為θ，0<θ<π2，過P作y軸的垂線，垂足為D，過P作x軸的垂線，垂足為C，如右圖.

如圖可知，PB=4cosθ，BD=4tanθ，

PA=8sinθ，AC=8tanθ.

則△ABO周長

l=a+b+a2+b2

=12+4cosθ+

4tanθ+8sinθ+8tanθ

=12+4cosθ+

4sinθcosθ+

8sinθ+

8cosθsinθ

=12+8（1+cosθ）sinθ+

4（1+sinθ）cosθ=

=12+8×2cos2θ22sinθ2cosθ2+

4（sinθ2+cosθ2）2

cos2θ2-sin2θ2

=

12+8·cosθ2sinθ2+

4（sinθ2+cosθ2）cosθ2-sinθ2

=12+8tanθ2+

4（tanθ2+1）1-tanθ2

.

令tanθ2=x（0

則l（x）=12+8x+4（x+1）1-x.

∴l(xiāng)′（x）=-8x2+8（x-1）2.

令l′（x）=0，則-8x2+8（x-1）2=0

，解得x=12.

易求l（12）=40，所以△ABO周長的最小值為40.

即a+b+a2+b2的最小值為40.

方法四：聯(lián)想幾何意義，利用幾何性質(zhì)求最值

（利用方法三中的假設(shè)）如圖2⊙M是的旁切圓，由圓的切線長性質(zhì)知，BE=BD，AE=AC，所以的周長為OC+OD=2OC（四邊形OCMD為正方形），OC為旁切圓的半徑，因此，要使的周長最小，就要使的旁切圓的直徑最小.又當(dāng)僅當(dāng)點(diǎn)（4，8）是直線AB與⊙M相切的切點(diǎn)時(shí)，旁切圓的半徑最小.設(shè)⊙M的圓心為（m，m）， 則半徑為m， ⊙M的方程為（x-m）2+（y-m）2=m2，將（4，8）代入方程得：（4 -m）2+（8 -m）2=m2 ，解方程得m=20. 所以周長的最小值為40. 即的最小值為40.

綜上所述，最值問題作為高中數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)和熱點(diǎn)問題之一，我們只要把握了思維方向，就能從不同角度分析問題，尋求到解決問題的方法.

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