學(xué)習(xí)“邏輯聯(lián)結(jié)詞”問題例談

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摘要]學(xué)習(xí)邏輯聯(lián)結(jié)詞對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和推理能力很有幫助.在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深刻理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義及學(xué)習(xí)邏輯聯(lián)結(jié)詞時所需要注意的事項(xiàng).

[關(guān)鍵詞]簡易邏輯 邏輯聯(lián)結(jié)詞命題

[中圖分類號]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A[文章編號]16746058（2015）140016

簡易邏輯是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，它對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和推理能力很有幫助.以集合或邏輯關(guān)系為背景的應(yīng)用性問題，構(gòu)思巧妙，解法靈活，解答這類問題，要深刻理解原始概念.

一、深刻理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或” “且” “非”的含義

簡易邏輯中的“或” “且” “非”的邏輯意義與日常用語中的“或” “且” “非”有很大區(qū)別，它的本質(zhì)與集合中的“并” “交” “補(bǔ)”有著驚人的相似，我們可以用集合的觀點(diǎn)理解它，不能僅憑自己的經(jīng)驗(yàn)來判斷和處理簡易邏輯中與“或” “且” “非”有關(guān)的問題.

第一，簡易邏輯中的“或”是具有“選擇性”的邏輯聯(lián)結(jié)詞，與日常用語中的“或”意義不完全相同.日常用語中的“或”是兩個任選一個，不能都選，有“不可兼有”之意，而簡易邏輯中的“或”可以兩個都選，但不是必須都選，而是兩者中至少選一個，即有“可以兼有”之意，但并不意味著“一定兼有”.例如，“今天天晴或下雨”，日常用語中指天晴或下雨，二者必具其一;而按數(shù)學(xué)中的簡易邏輯意義來理解，則天晴和下雨有可能同時發(fā)生.

對邏輯中“或”的理解，可聯(lián)想到集合中的“并集”這個概念，即可視為集合中的“并”.對于復(fù)合命題“p或q”，在真值表中“p”與“q”“一真則真、同假才假”.

第二，簡易邏輯中的“且”是具有“兼有性”的邏輯聯(lián)結(jié)詞，就是日常用語中的“和”“與”.例如，命題：“3和9都是奇數(shù)”，它表示“3是奇數(shù)”且“9是奇數(shù)”是一個真命題.又如，“空氣既無顏色又無氣味”，它表示“空氣無顏色”且“空氣無氣味”是一個真命題.日常用語中和數(shù)學(xué)邏輯中理解意義一致.

對邏輯中“且”的理解，可聯(lián)想到集合中的“交集”這個概念，即可視為集合中的“交”.對于復(fù)合命題“p且q”，在真值表中“p”與“q”“一假則假、同真才真”.

第三，簡易邏輯中的“非”是具有“否定性”的邏輯聯(lián)結(jié)詞，就是日常用語中的“否定”.例如，命題：“3不是偶數(shù)”，它表示“3是偶數(shù)”的否定形式.

對邏輯中“非”的理解，可聯(lián)想到集合中的“補(bǔ)集”這個概念，相當(dāng)于集合在全集中的補(bǔ)集.正面敘述的詞語與否定詞語所分別確定的集合的交集為空集，并集為全集.對于復(fù)合命題“非p”，在真值表中“p”與“非p”真假性恰好相反.例如，命題：“甲、乙都對”，從日常用語上說其否定是“甲、乙都不對” ，而從簡易邏輯的意義上說其否定是“甲、乙不都對”，包括三種可能：“甲對，乙不對” “甲不對，乙對” “ 甲不對，乙不對”.

二、學(xué)習(xí)邏輯聯(lián)結(jié)詞三注意

1.注意真值表的作用

【例1】判斷下列命題是簡單命題還是復(fù)合命題.

（1）方程x2-3x+2=0的兩根是1或2;

（2）不等式x2-x-6<0的解是x>-2且x<3.

錯解以上兩個命題都是復(fù)合命題，其中（1）是“或”命題，（2）是“且”命題.

剖析容易看出（1）（2）都是真命題.若將（1）看成“或”命題，便會得出與真值表相矛盾的結(jié)論.因?yàn)椤胺匠蘹2-3x+2=0的根是1”“方程x2-3x+2=0的根是2”都是假命題.同樣若將（2）看做是“且”命題，也得出與真值表相矛盾的結(jié)論.因?yàn)椤皒2-x-6<0的解是x>-2”“x2-x-6<0的解是x<3”都是假命題.所以以上兩個命題都是簡單命題.

2. 注意邏輯聯(lián)結(jié)詞的位置

【例2】已知命題p：方程x2-3x+2=0的根是1，命題q：方程x2-3x+2=0的根是2，寫出“p或q”.

錯解p或q：方程x2-3x+2=0的根是1或2.

剖析上述解法似乎順理成章，學(xué)生很容易就想到這樣作答，可是上題中的p，q都是假命題，所以“p或q”也應(yīng)是假命題，而上述解答中寫出的p或q命題卻是真命題，該如何解釋呢？

由教材中復(fù)合命題的定義，可知復(fù)合命題“p或q”與“p且q ”是用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與“且”去聯(lián)結(jié)兩個命題p與q，而不是用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與“且”去聯(lián)結(jié)兩個命題的條件或結(jié)論，上述解法錯誤的原因是用“或”聯(lián)結(jié)兩個命題的結(jié)論.正確答案是p或q：方程x2-3x+2=0的根是1或方程x2-3x+2=0的根是2.

3. 注意命題中“是”的真正含義

【例3】 已知命題p：方程x2-1=0的根是1，寫出“非p”.

錯解┐p：方程x2-1=0的根不是1.

剖析顯然上題中命題p與非p都是假命題，與真值表相矛盾.該如何解釋呢？

命題p之所以不真，主要是因?yàn)槊}的結(jié)論不唯一，方程x2-1=0的根不一定是1，也可能是-1，因此命題中的“是”實(shí)際上起到了“都是”的作用.事實(shí)上，命題p應(yīng)為：方程x2-1=0的根都是1，┐p應(yīng)為：方程x2-1=0的根不都是1.

綜上可知，邏輯聯(lián)結(jié)詞是簡易邏輯的基礎(chǔ)和關(guān)鍵，我們在對其進(jìn)行應(yīng)用時，應(yīng)善于利用復(fù)合命題的真值表進(jìn)行理性的分析和思考，洞察問題的本質(zhì)，從反面入手或?qū)栴}加以轉(zhuǎn)化.