關(guān)于數(shù)學(xué)問(wèn)題教學(xué)的若干思考

邵紅剛

【摘要】好的數(shù)學(xué)問(wèn)題的特征；一是能激活學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，二是能推廣、擴(kuò)充、引申，三是有多種解決的辦法。促進(jìn)學(xué)生思維能力提升的有效抓手是多角度探究數(shù)學(xué)問(wèn)題、整合數(shù)學(xué)問(wèn)題。其常用的方法有按學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)根據(jù)知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系設(shè)計(jì)“問(wèn)題鏈”、實(shí)施變式求異提問(wèn)導(dǎo)學(xué)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)問(wèn)題 問(wèn)題鏈 課堂教學(xué)

數(shù)學(xué)問(wèn)題是指“以數(shù)學(xué)為內(nèi)容，或者雖不以數(shù)學(xué)為內(nèi)容，但必須運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、理論或方法才能解決的問(wèn)題”1。面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題，當(dāng)我們通過(guò)對(duì)它進(jìn)行深化、推廣、引申、綜合，從而發(fā)現(xiàn)矛盾和缺陷（問(wèn)題所在），探索到新的發(fā)展規(guī)律（需要論證的問(wèn)題），或找到了問(wèn)題與問(wèn)題之間的新的聯(lián)系時(shí)，這就是形成“問(wèn)題鏈”的開(kāi)始.通過(guò)這種過(guò)程的不斷深化和逐次推進(jìn)而找到的，具有內(nèi)在聯(lián)系的若干問(wèn)題，就形成了“問(wèn)題鏈”。

一、好的數(shù)學(xué)“問(wèn)題”的特征

對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，如何引發(fā)學(xué)生積極思維、主動(dòng)學(xué)習(xí)和鉆研，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”？筆者以為關(guān)鍵在于問(wèn)題的設(shè)置。通過(guò)教師有效地設(shè)置問(wèn)題，將教學(xué)各環(huán)節(jié)，知識(shí)各部分連接起來(lái)，讓學(xué)生通過(guò)問(wèn)題解決進(jìn)行學(xué)習(xí)，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要途徑。數(shù)學(xué)問(wèn)題的設(shè)置是“用問(wèn)題包裝課堂”的基礎(chǔ)。要使教學(xué)取得良好成效，必須將問(wèn)題設(shè)計(jì)好?？傮w來(lái)說(shuō)，“好問(wèn)題”的特征包括：?jiǎn)栴}的條件、結(jié)論、所描述的對(duì)象，給解題者提供廣闊的思維空間，使他們有機(jī)會(huì)經(jīng)理有意義的教學(xué)活動(dòng)，如觀察、猜測(cè)、檢驗(yàn)、修正、證明、推廣等，而且在活動(dòng)中需要使用基本的、重要的餓數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法等。從教學(xué)實(shí)踐看，好的問(wèn)題對(duì)學(xué)生思維的展開(kāi)、引起學(xué)生認(rèn)知上的沖突進(jìn)而促進(jìn)他更深入進(jìn)行思考，有著重要的推動(dòng)作用。

（一）能激活原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)

問(wèn)題的解決過(guò)程應(yīng)包含已經(jīng)學(xué)過(guò)的某些知識(shí)或所要討論的有關(guān)概念和技巧，能使學(xué)生更主動(dòng)、更廣泛、更深入地激活自己的原有經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)積極的分析，形成新的理解、新的認(rèn)識(shí)。好問(wèn)題的啟發(fā)性不僅指問(wèn)題的解答中包含著重要的數(shù)學(xué)原理，對(duì)于這些問(wèn)題或者能啟發(fā)學(xué)生尋找應(yīng)該能夠識(shí)別的模式，或者通過(guò)基本技巧的某種運(yùn)用很快能得到解決，能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)基本知識(shí)和技能的掌握，有利于學(xué)生掌握有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法。

（二）能進(jìn)行推廣、擴(kuò)充、引申

好問(wèn)題的可發(fā)展空間意思是說(shuō)問(wèn)題并不一定在找到解答時(shí)就結(jié)束，所尋求的解答可能暗示著對(duì)原問(wèn)題的各部分做種種變化后，由此可以引出新的問(wèn)題和進(jìn)一步的結(jié)論。問(wèn)題的發(fā)展性可以把問(wèn)題延伸、拓廣、擴(kuò)充到一般情形或其他特殊情形，給學(xué)生一個(gè)充分自由思考、充分展現(xiàn)自己思維的空間。因此，問(wèn)題的設(shè)計(jì)要注重代表性，要能夠聯(lián)系，推廣，學(xué)生在這種不斷擴(kuò)充、改變條件就能引發(fā)新的結(jié)論的訓(xùn)練中，就能促進(jìn)思維的靈活性，學(xué)會(huì)舉一反三，提高轉(zhuǎn)化的能力。

（三）有許多種解決的辦法

一題多解，就是對(duì)一個(gè)問(wèn)題從不同角度加以思考，探求出不同的解決方案。它有幾個(gè)方面的作用 ：一是開(kāi)拓學(xué)生的解題思路、激發(fā)探索興趣；二是能激發(fā)學(xué)生主動(dòng)尋找解題捷徑，培養(yǎng)求簡(jiǎn)意識(shí)；三是創(chuàng)新解題模式，提高創(chuàng)新能力。一題多解是被當(dāng)下教學(xué)實(shí)踐證明對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)和解題能力有重要作用的訓(xùn)練模式。因此 ，問(wèn)題的設(shè)計(jì)要考慮它的可變性，盡可能挖掘從不同的角度去尋找解決問(wèn)題的途徑，以此促進(jìn)學(xué)生思維能力的提高。

二、利用“問(wèn)題鏈”教學(xué)的具體案例

教學(xué)中注重適當(dāng)?shù)卦O(shè)置問(wèn)題，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)去分析、鑒別、類(lèi)比、抽象概括，尊重學(xué)生的個(gè)人感受和獨(dú)特見(jiàn)解，這對(duì)促進(jìn)學(xué)生思維活動(dòng)的豐富性、多變性和復(fù)雜性，激發(fā)思維的能動(dòng)性都有著特殊的作用。

（一）根據(jù)學(xué)生實(shí)際與教學(xué)要求設(shè)計(jì)“問(wèn)題鏈”

數(shù)學(xué)的概念、法則、定理等都具有嚴(yán)密的內(nèi)在體系 ，一些看似相近的知識(shí)卻有著明顯的不同之處。而學(xué)生的學(xué)習(xí)具有一定的遷移性，他會(huì)將原有的一些思維習(xí)慣帶入新問(wèn)題的學(xué)習(xí)之中，影響對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)。針對(duì)這些問(wèn)題合理設(shè)置“問(wèn)題鏈”，破除學(xué)生思維中狹窄、零碎、片面的定勢(shì)，激發(fā)和活躍思維，促進(jìn)其在新的思考平臺(tái)中去正確認(rèn)識(shí)問(wèn)題。

針對(duì)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)設(shè)置“問(wèn)題鏈”。從教學(xué)角度來(lái)說(shuō)，每節(jié)課都有一個(gè)中心內(nèi)容，即教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn) ，問(wèn)題的設(shè)計(jì)應(yīng)圍繞其展開(kāi)：抓住教學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容層層設(shè)置問(wèn)題，由淺入深，由易到難；抓住教學(xué)的難點(diǎn)設(shè)問(wèn)，淺中見(jiàn)深，化難為易。掌握了重點(diǎn)，突破了難點(diǎn)，數(shù)學(xué)思想與方法就會(huì)逐步形成并內(nèi)化為學(xué)生個(gè)體的知識(shí)體系。

如在雙曲線概念的教學(xué)中，當(dāng)?shù)贸鲭p曲線定義：“平面內(nèi)到兩定點(diǎn) 的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于 ）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線”之后，筆者設(shè)計(jì)了如下的問(wèn)題串：

（1）將定義中的“小于”改為“等于”或“大于”，其點(diǎn)的軌跡又是什么呢？

（2）將“絕對(duì)值”三個(gè)字去掉，其結(jié)果又如何呢？

（3）令定義中的常數(shù)為0，其余不變，其點(diǎn)的軌跡又是什么呢？

（4）將括號(hào)中的小于 去掉后，如何討論點(diǎn)的軌跡？

此問(wèn)題以“雙曲線的概念”為背景，通過(guò)設(shè)問(wèn)，步步深入，形成問(wèn)題鏈，在“變”中開(kāi)闊學(xué)生的視野，拓寬學(xué)生的思維空問(wèn)，將靜態(tài)的數(shù)學(xué)與動(dòng)態(tài)的變化結(jié)合起來(lái)，這樣學(xué)生不僅學(xué)得輕松，掌握了知識(shí)，也培養(yǎng)了學(xué)生探索知識(shí)、發(fā)現(xiàn)知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)的綜合創(chuàng)新能力。

（二）選擇能優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的“問(wèn)題鏈”

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程是不斷地建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，又不斷地打破原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程。數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目的在于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用定理、公式與法則的能力，培養(yǎng)學(xué)生善于洞察每一個(gè)研究對(duì)象的實(shí)質(zhì)并揭示這些對(duì)象之間的相互關(guān)系的能力，讓學(xué)生思維的靈活性和深刻性得到極大地發(fā)展。

推廣是事物發(fā)展所遵循的規(guī)律之一。當(dāng)我們從研究一個(gè)對(duì)象過(guò)渡到研究包含該對(duì)象的一個(gè)集合，或從研究一個(gè)較小的集合過(guò)渡到研究一個(gè)包含該集合的一個(gè)更大的集合時(shí)，就是推廣，當(dāng)我們對(duì)命題從層次和形式上作推廣時(shí)，可以得到一些層次不同或形式相似的命題，它反映了數(shù)學(xué)對(duì)象之間的縱向或橫向間的聯(lián)系，可以拓廣命題的外延表現(xiàn)形式并加深對(duì)命題內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)。概念、體系、命題和方法的各個(gè)方面，都可以運(yùn)用推廣來(lái)進(jìn)行教學(xué)。概念的學(xué)習(xí)分為上位學(xué)習(xí)、下位學(xué)習(xí)和并列學(xué)習(xí)3種方式.在上位學(xué)習(xí)中，我們可以運(yùn)用推廣的觀點(diǎn)來(lái)教學(xué)。

教學(xué)案例【1】等差中項(xiàng)的性質(zhì)及其推廣

教學(xué)案例【2】錯(cuò)位排列問(wèn)題及其推廣

（1）編號(hào)為1、2、3、4的四位學(xué)生分別坐編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)座位，所有學(xué)生均不對(duì)號(hào)入座的不同坐法有多少種？

（2）甲、乙、丙等五人排周一至周五的值班，每人值一天，其中甲不排周一，乙不排周二，共有多少種不同的安排方法？

（3）甲、乙、丙等五人排周一至周五的值班，每人值一天，其中甲不排周一，乙不排周二，丙不排周三有多少種不同的安排方法？

（4）編號(hào)為l、2、3、4、5的五位學(xué)生分別坐編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)座位，所有學(xué)生均不對(duì)號(hào)入座的不同坐法有多少種？

（1）、（2）是學(xué)生熟悉的，學(xué)生很快就能給出答案。3）提示學(xué)生用分類(lèi)討論或間接法，在教師的幫助下也不難解決。給出本題組的目的不僅僅是解決這幾個(gè)問(wèn)題，而是要揭示兩類(lèi)看似不同的問(wèn)題間的聯(lián)系，整合學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生對(duì)這兩類(lèi)問(wèn)題的認(rèn)知有質(zhì)的飛躍。

數(shù)學(xué)課堂是不斷提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，好的問(wèn)題是開(kāi)啟智慧之源。教師要找準(zhǔn)學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、思維基礎(chǔ)，讓新的問(wèn)題與學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生同化與順應(yīng)，這樣的問(wèn)題才能激活學(xué)生原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，喚醒學(xué)生的運(yùn)用意識(shí)。這對(duì)教師提出了很高的要求，所以教師要博覽群書(shū)，潛心研究教材，對(duì)教材的把握做到得心應(yīng)手，對(duì)各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系爛熟于心，這樣才能設(shè)計(jì)出富有挑戰(zhàn)性、啟發(fā)性的問(wèn)題，才能在課堂上揮灑自如、運(yùn)籌帷幄。

【參考文獻(xiàn)】

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