注意創(chuàng)新，注重“雙基”

許世敬

【摘要】 高考數(shù)學(xué)立體幾何占有一定的比重，在整個高中知識體系中也具有一定的地位. 筆者從一道三明市質(zhì)檢題中，總結(jié)了幾點(diǎn)思考，摸索出高考立體幾何命題的幾個熱門趨勢. 此外筆者發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生注重“雙基”的掌握，注意創(chuàng)新能力的培養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 立體幾何；創(chuàng)新；雙基；知識點(diǎn)的交匯；存在性問題

立體幾何作為高中數(shù)學(xué)幾大主干知識之一，是各省高考數(shù)學(xué)必考的一塊內(nèi)容，在整個高中數(shù)學(xué)體系中具有一定的地位. 近年來，隨著高考改革的不斷深入與創(chuàng)新，立體幾何的試題漸漸不再像以往那樣簡單地闡述，也不再局限于立體幾何內(nèi)部. 別具一格的立體幾何題，要求學(xué)生對所學(xué)的內(nèi)容要融會貫通，既要注意創(chuàng)新，又要注重“雙基”.

下面，由一道立體幾何題引發(fā)了幾點(diǎn)思考. （福建省三明市普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查（數(shù)學(xué)理）第19題）

某設(shè)計部門承接一產(chǎn)品包裝盒的設(shè)計（如圖所示），客戶除了要求AB，BE邊的長分別為20 cm和30 cm外，還特別要求包裝盒必須滿足：① 平面ADE⊥平面ADC；② 平面ADE與平面ABC所成的二面角不小于60°；③ 包裝盒的體積盡可能大.

若設(shè)計出的樣品滿足：∠ACB與∠ACD均為直角且AB長20 cm，矩形DCBE的一邊長為30 cm，請你判斷該包裝盒的設(shè)計是否符合客戶的要求？說明理由.

思考一：敢于創(chuàng)新，作出新的嘗試

這道質(zhì)檢題對立體幾何題的出題方式做了大膽的創(chuàng)新. 第一，題目以應(yīng)用題的方式出現(xiàn)，大部分學(xué)生首次接觸，望“題”興嘆. 不管是初中還是高中的學(xué)生，應(yīng)用題都是學(xué)生心目中難以磨滅的“痛”. 應(yīng)用題一般信息量大、審題難、理解難、分析難、計算難等，這些都導(dǎo)致學(xué)生面對應(yīng)用題時，容易對題目產(chǎn)生“繳械投降”的心理. 本道題一反常態(tài)，聯(lián)系生活以應(yīng)用題的形式來考查，這一新的改變給學(xué)生審題帶來了挑戰(zhàn)，讓學(xué)生認(rèn)識到立體幾何的靈活性，這打破了學(xué)生對立體幾何的思維定式. 此題無法直接運(yùn)用平時的解題思路和模式，它需要學(xué)生真正理解幾何中垂直平行的證明和角度距離的計算. 第二，本題提問的方式獨(dú)具匠心，引導(dǎo)學(xué)生先作出判斷進(jìn)而證明，滿足的條件即是要證明的三步. 這樣的提問方式，充分展示了應(yīng)用題的特點(diǎn)——審題難. 考試結(jié)束后，大部分學(xué)生表示，無法理解題意，要求做什么都不清楚. 其實(shí)，認(rèn)真分析之后可以發(fā)現(xiàn)，本題應(yīng)用了語文中的倒裝，題目的結(jié)論實(shí)際上是已知，而已知才是要證明的結(jié)論.

此題應(yīng)該引發(fā)學(xué)生對立體幾何出題方式的重視，學(xué)生必須克服應(yīng)用題這個難關(guān). 立體幾何的應(yīng)用題化是一個新的發(fā)展趨勢，它同樣能收到應(yīng)有的考查效果. 在很多省市這種相同的類型習(xí)題相繼出現(xiàn).

思考二：掌握“雙基”，萬變不離其宗

這道質(zhì)檢題雖然有著應(yīng)用題的“外表”，但實(shí)際考查的只是立體幾何的基本知識和基本方法. 高考中，在立體幾何這部分，一般圍繞證明和計算展開. 證明包括線線、線面、面面的垂直和平行的證明，這要求學(xué)生熟練掌握課本中的定理和性質(zhì)，本題中的第一步就是證明面面垂直. 而計算則包括異面直線、線面、面面所成的角以及距離和體積的計算，此題的第二、三步就是分別計算二面角和體積. 對于計算，理科學(xué)生可借助向量法直接運(yùn)算，而文科必須經(jīng)歷“尋找、證明、計算”三步來解決. 但不管何種方法，這都屬于立體幾何的主干內(nèi)容，是可以預(yù)測的必考內(nèi)容. 因此，在平時的教學(xué)過程中，夯實(shí)“雙基”才是重中之重. 只有把主干知識、主要方法徹底理解掌握，那么無論題目如何變化，你都將得心應(yīng)手.

思考三：融會貫通，理清知識的交匯

近年來，考查知識點(diǎn)之間的交匯也是高考命題的一個趨勢. 本道質(zhì)檢題中的第三步求體積的最大值，涉及基本不等式或者求導(dǎo)，這就不再局限于立體幾何的知識，而是借助幾何考查其他知識的重要內(nèi)容和方法，體現(xiàn)綜合考查的功能. 這就意味著在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要善于引導(dǎo)學(xué)生有效地把握知識間的縱橫聯(lián)系和綜合創(chuàng)新應(yīng)用，對所學(xué)內(nèi)容融會貫通，形成有序的網(wǎng)絡(luò)化知識體系，以開闊視野，形成能力，全面提高數(shù)學(xué)素養(yǎng). 像這樣以立體幾何為背景，考查解析幾何、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角、數(shù)列、概率等主干內(nèi)容，在各地的高考命題中呈現(xiàn)顯著趨勢，提高了知識技能應(yīng)用的綜合性和解題的靈活性.

（2014年福建理科模擬卷）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是 （ ）.

A. 直線 B. 圓 C. 雙曲線 D. 拋物線

此題考查的是立體幾何與解析幾何的交匯知識.

思考四：化動為靜，解決存在性問題

存在性問題也是高考立體幾何中一道亮麗的風(fēng)景線，本道題中問是否符合客戶要求，即是否存在的意思. 一般這個類型可以直接從正面入手，也可以從結(jié)論假設(shè)出發(fā)進(jìn)行求解. 在本題中BC邊是未知的、是變化的、是動的，但是我們解題時以一個參數(shù)暫時固定下來，轉(zhuǎn)化為靜，然后推導(dǎo)論證，在滿足題意的情況下解決了動態(tài)的參數(shù). 立體幾何存在性是近幾年高考熱點(diǎn)之一，這種類型有利于考查學(xué)生歸納、判斷等各方面的能力，也有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng). 因此，在教學(xué)中必須注重培養(yǎng)學(xué)生化動為靜的思維方法，引導(dǎo)學(xué)生觀察動中有靜，解決動中求靜.

新課程下的高考立體幾何題雖然千變?nèi)f化，但實(shí)際上還是緊緊圍繞著其核心內(nèi)容與主要思維方法. 從上述的題目中，我們隱隱約約看到了立體幾何的幾個熱門趨勢，平時應(yīng)加以注意. 在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師作為主導(dǎo)，學(xué)生作為主體，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)過程，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力. 在注重“雙基”的同時，引導(dǎo)其注意創(chuàng)新，全面提高領(lǐng)會立體幾何的水平. 從而，讓學(xué)生在高考的這部分內(nèi)容中，立于不敗之地.