實(shí)數(shù)連續(xù)性的奧秘

孟飛

整數(shù)由小到大的變化是跳躍式的。從1跳到2，跨過(guò)了許多分?jǐn)?shù)。有理數(shù)從1變到2，中間似乎沒(méi)有跳躍，因?yàn)?與2之間的有理數(shù)是密密麻麻的，找不到一段空白。其實(shí)有理數(shù)從l變到2并非連續(xù)地變化，因?yàn)橹虚g跨過(guò)了許多無(wú)理數(shù)，例如■。

有理數(shù)再添上無(wú)理數(shù)，湊成全體實(shí)數(shù)。我們說(shuō)，實(shí)數(shù)是可以連續(xù)變化的。說(shuō)變量x從0變到1，是說(shuō)x要取遍0到1之間的一切實(shí)數(shù)。

在直線上取定一個(gè)原點(diǎn)，一個(gè)單位長(zhǎng)和一個(gè)方向，直線就成了數(shù)軸。數(shù)軸上的每個(gè)點(diǎn)代表一個(gè)實(shí)數(shù)，每個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示。實(shí)數(shù)可以連續(xù)變化，就是說(shuō)點(diǎn)可以在數(shù)軸上連續(xù)地運(yùn)動(dòng)。

如何精確說(shuō)明這里所說(shuō)的連續(xù)性的含義呢？

設(shè)想用一把鋒利的刀猛砍數(shù)軸，把數(shù)軸砍成兩截。這一刀一定會(huì)砍在某個(gè)點(diǎn)上，即砍中了一個(gè)實(shí)數(shù)。如果能夠砍在一個(gè)縫隙上，數(shù)軸就不算連續(xù)的了。

設(shè)數(shù)軸是從點(diǎn)A處被砍斷的。這個(gè)點(diǎn)A在哪半截?cái)?shù)軸上呢？答案是不在左半截上，就在右半截上。這是因?yàn)辄c(diǎn)不可分割，又不會(huì)消失，所以不會(huì)兩邊都有，也不會(huì)兩邊都沒(méi)有。

從以上的假想中領(lǐng)會(huì)到所謂數(shù)軸的連續(xù)性，就是不管把它從什么地方分成兩半截，總有半截是帶端點(diǎn)的，而另外半截沒(méi)有端點(diǎn)。

實(shí)數(shù)的連續(xù)性，也就可以照樣搬過(guò)來(lái)：“把全體實(shí)數(shù)分成甲、乙兩個(gè)非空集合，如果甲集里任一個(gè)數(shù)x比乙集里的任一個(gè)數(shù)y都小，那么，或者甲集里有最大數(shù)，或者乙集里有最小數(shù)，二者必居其一，且僅居其一。這就叫作實(shí)數(shù)的連續(xù)性?！?/p>

有理數(shù)系不滿足這個(gè)條件。如把全體負(fù)有理數(shù)和平方不超過(guò)2的非負(fù)有理數(shù)放在一起組成甲集，所有平方超過(guò)2的正有理數(shù)組成乙集，則甲集無(wú)最大數(shù)，乙集也無(wú)最小數(shù)。若從甲乙兩集之間下手砍一刀，就砍在縫里了。在實(shí)數(shù)系中，這個(gè)縫就是用無(wú)理數(shù)■填起來(lái)的。

這樣把有理數(shù)分成甲、乙兩部分，使乙中每個(gè)數(shù)比甲中每個(gè)數(shù)大，這種分法叫作有理數(shù)的一個(gè)戴德金分割，簡(jiǎn)稱分割。有理數(shù)的每個(gè)分割確定一個(gè)實(shí)數(shù)。有縫隙的分割確定一個(gè)無(wú)理數(shù)，沒(méi)有縫隙的分割確定一個(gè)有理數(shù)。這樣建立實(shí)數(shù)系的方法是德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金（J.W.R. Dedekind，1831～1916年）提出來(lái)的。