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    實(shí)數(shù)連續(xù)性的奧秘

    2015-05-30 10:48:04孟飛
    初中生學(xué)習(xí)·低 2015年6期
    關(guān)鍵詞:端點(diǎn)數(shù)軸連續(xù)性

    孟飛

    整數(shù)由小到大的變化是跳躍式的。從1跳到2,跨過(guò)了許多分?jǐn)?shù)。有理數(shù)從1變到2,中間似乎沒(méi)有跳躍,因?yàn)?與2之間的有理數(shù)是密密麻麻的,找不到一段空白。其實(shí)有理數(shù)從l變到2并非連續(xù)地變化,因?yàn)橹虚g跨過(guò)了許多無(wú)理數(shù),例如■。

    有理數(shù)再添上無(wú)理數(shù),湊成全體實(shí)數(shù)。我們說(shuō),實(shí)數(shù)是可以連續(xù)變化的。說(shuō)變量x從0變到1,是說(shuō)x要取遍0到1之間的一切實(shí)數(shù)。

    在直線上取定一個(gè)原點(diǎn),一個(gè)單位長(zhǎng)和一個(gè)方向,直線就成了數(shù)軸。數(shù)軸上的每個(gè)點(diǎn)代表一個(gè)實(shí)數(shù),每個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示。實(shí)數(shù)可以連續(xù)變化,就是說(shuō)點(diǎn)可以在數(shù)軸上連續(xù)地運(yùn)動(dòng)。

    如何精確說(shuō)明這里所說(shuō)的連續(xù)性的含義呢?

    設(shè)想用一把鋒利的刀猛砍數(shù)軸,把數(shù)軸砍成兩截。這一刀一定會(huì)砍在某個(gè)點(diǎn)上,即砍中了一個(gè)實(shí)數(shù)。如果能夠砍在一個(gè)縫隙上,數(shù)軸就不算連續(xù)的了。

    設(shè)數(shù)軸是從點(diǎn)A處被砍斷的。這個(gè)點(diǎn)A在哪半截?cái)?shù)軸上呢?答案是不在左半截上,就在右半截上。這是因?yàn)辄c(diǎn)不可分割,又不會(huì)消失,所以不會(huì)兩邊都有,也不會(huì)兩邊都沒(méi)有。

    從以上的假想中領(lǐng)會(huì)到所謂數(shù)軸的連續(xù)性,就是不管把它從什么地方分成兩半截,總有半截是帶端點(diǎn)的,而另外半截沒(méi)有端點(diǎn)。

    實(shí)數(shù)的連續(xù)性,也就可以照樣搬過(guò)來(lái):“把全體實(shí)數(shù)分成甲、乙兩個(gè)非空集合,如果甲集里任一個(gè)數(shù)x比乙集里的任一個(gè)數(shù)y都小,那么,或者甲集里有最大數(shù),或者乙集里有最小數(shù),二者必居其一,且僅居其一。這就叫作實(shí)數(shù)的連續(xù)性?!?/p>

    有理數(shù)系不滿足這個(gè)條件。如把全體負(fù)有理數(shù)和平方不超過(guò)2的非負(fù)有理數(shù)放在一起組成甲集,所有平方超過(guò)2的正有理數(shù)組成乙集,則甲集無(wú)最大數(shù),乙集也無(wú)最小數(shù)。若從甲乙兩集之間下手砍一刀,就砍在縫里了。在實(shí)數(shù)系中,這個(gè)縫就是用無(wú)理數(shù)■填起來(lái)的。

    這樣把有理數(shù)分成甲、乙兩部分,使乙中每個(gè)數(shù)比甲中每個(gè)數(shù)大,這種分法叫作有理數(shù)的一個(gè)戴德金分割,簡(jiǎn)稱分割。有理數(shù)的每個(gè)分割確定一個(gè)實(shí)數(shù)。有縫隙的分割確定一個(gè)無(wú)理數(shù),沒(méi)有縫隙的分割確定一個(gè)有理數(shù)。這樣建立實(shí)數(shù)系的方法是德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金(J.W.R. Dedekind,1831~1916年)提出來(lái)的。

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