智取填空題

李家洪

填空題是將一個(gè)數(shù)學(xué)真命題寫成其中缺少一些語(yǔ)句的不完整形式，要求考生在指定的空位上，將缺少的語(yǔ)句填寫清楚、準(zhǔn)確.它是一個(gè)不完整的陳述句形式，填寫的可以是一個(gè)詞語(yǔ)、數(shù)字、符號(hào)、數(shù)學(xué)語(yǔ)句等.

特點(diǎn) 解選擇題的有關(guān)策略、方法有時(shí)也適合于填空題.填空題不需過(guò)程，不設(shè)中間分值，更易失分，因而在解答過(guò)程中應(yīng)力求準(zhǔn)確無(wú)誤.填空題雖題小，但跨度大，覆蓋面廣，形式靈活.

類型 根據(jù)填空時(shí)所填寫的內(nèi)容，可以將填空題分成兩種類型. 一是定量型，要求填寫數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關(guān)系，如：方程的解、不等式的解集、函數(shù)的定義域、值域、最大值或最小值、線段長(zhǎng)度、角度大小等.由于填空題和選擇題相比，缺少選擇的信息，所以高考題中多數(shù)是以定量型問(wèn)題出現(xiàn).二是定性型，要求填寫的是具有某種性質(zhì)的對(duì)象或者給定的數(shù)學(xué)對(duì)象的某種性質(zhì)，如：給定二次曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率等.近幾年出現(xiàn)了定性型的具有多重選擇性的填空題.

原則 解答填空題時(shí)，由于不反映過(guò)程，只要求結(jié)果，故對(duì)正確性的要求比解答題更高、更嚴(yán)格.解答填空題提出的基本要求是“正確、合理、迅速”.為此在解填空題時(shí)要做到：快——運(yùn)算要快，力戒小題大做；穩(wěn)——變形要穩(wěn)，不可操之過(guò)急；全——答案要全，力避殘缺不齊；活——解題要活，不要生搬硬套；細(xì)——審題要細(xì)，不能粗心大意.

特殊化求解法

當(dāng)答案是定值且用的特殊值是題意的某種情況時(shí)，那么我們用特例求解就能起到好的效果.特殊化求解就是用特殊值（特殊圖形、特殊位置）代替題設(shè)中的普遍條件，得出一般的結(jié)論.常用的特例有特殊數(shù)值、特殊角、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊位置等.

例1 （2015年湖北七市州統(tǒng)考卷）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波拉契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…，其中從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列[an]稱為“斐波拉契數(shù)列”，那么[a21+a22+a23+???+a22015a2015]是斐波拉契數(shù)列中的第 項(xiàng).

解析 此題初看無(wú)從下手，但分析后發(fā)現(xiàn)：[a21a1]=1，[a21+a22a2]=2，[a21+a22+a23a3]=3，[a21+a22+a23+a24a4]=5，…，再根據(jù)變化規(guī)律由特殊到一般可推出[a21+a22+a23+???+a22015a2015]為第2016項(xiàng).

數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法就是利用圖象或數(shù)學(xué)結(jié)果的幾何意義，將數(shù)的問(wèn)題（如解方程、解不等式、求最值、求取值范圍等）與某些圖形結(jié)合起來(lái)，利用幾何直觀性，再輔以計(jì)算，求出正確答案的方法.每年高考均有很多填空題（也有選擇題、解答題）都可以用數(shù)形結(jié)合思想解決，既簡(jiǎn)捷又迅速.

例2 （2014年高考江蘇卷）已知[f（x）]是定義在[R]上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)[x∈[0，3）]時(shí)，[f（x）=x2-2x+12.]若函數(shù)[y=f（x）-a]在區(qū)間[[-3，4]]上有10個(gè)零點(diǎn)（互不相同），則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是 . [1 2 3 4 5][-3 -2 -1][4

3

2

1][-1]

解析 [f（x）]是定義在[R]上且周期為3的函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)[y=f（x）]與[y=a]的圖象，即可由圖象知[a∈（0，12）].

構(gòu)造法

根據(jù)題設(shè)條件與結(jié)論的特殊性，構(gòu)造出一些熟悉的數(shù)學(xué)模型，并借助于它認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題.

例3 已知在[△ABC]中，[a=10]，[c-b=8]，則[tanB2tanC2]= .

解析 由條件△ABC中，a=10，c-b=8，可聯(lián)想構(gòu)造雙曲線. 以BC所在直線為軸，BC中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，可得點(diǎn)[A（x，y）]在雙曲線[x216-y29=1]的右支上，作△ABC的內(nèi)切圓，三個(gè)切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，則BD+DC=10，BD-DC=AB-AC=8，則BD=9，DC=1，[tanB2tanC2=][ODBD?CDOD=CDBD=19.]

開放型填空題

開放型填空題主要有兩種類型，一是多選型填空題，二是新定義型填空題.多選型填空題是指給出若干個(gè)命題或結(jié)論，要求從中選出所有滿足題意的命題或結(jié)論.試題具有結(jié)論不惟一，且某些答案有迷惑性、以偏概全、考查概念及考查某種特殊情況等特點(diǎn).在解決不成立問(wèn)題時(shí)常采用舉反例的方法.新定義型填空題是指定義新情景，給出一定容量的新信息，要求考生依據(jù)新信息進(jìn)行解題，此類問(wèn)題多涉及給出新定義的運(yùn)算、新的背景知識(shí)、新的理論體系，要求考生有較強(qiáng)的分析轉(zhuǎn)化能力.

例4 （2014年高考安徽卷）已知兩個(gè)不相等的非零向量[a，b]，兩組向量[x1，x2，x3，x4，x5]和[y1，y2，y3，y4，y5]均由2個(gè)[a]和3個(gè)[b]排列而成.記[S=x1?y1+x2?y2+x3?y3+x4?y4+x5?y5]，[Smin]表示[S]所有可能取值中的最小值.則下列命題正確的是 （寫出所有正確命題的編號(hào)）.

①[S]有5個(gè)不同的值

②若[a⊥b]，則[Smin]與[a]無(wú)關(guān)

③若[a∥b]，則[Smin]與[b]無(wú)關(guān)

④若[|b|>4|a|]，則[Smin>0]

⑤若[|b|=2|a|，Smin=8|a|2]，則[a]與[b]的夾角為[π4]

[解析S有三種結(jié)果：S1=a·a+a·a+b·b+b·b+b·b，S2=a·a+a·b+b·a+b·b+b·b，]

[S3=a·b+a·b+b·a+b·a+b·b.]

[故（1）錯(cuò)誤.又S1-S2=S2-S3，]

[a2+（b）2a·b≥a2+b2-2a?b=（a-b）2≥0，∴S中的最小值為S3，若a⊥b，則Smin=S3=（b）2，與a無(wú)關(guān)，故（2）正確.若ab，則Smin=S3=a·b+（b）2與b有關(guān)，故（3）錯(cuò)誤.若b>4a，則Smin=S3=a·b+（b）2=4a?bcosθ+（b）2>-4a?b+（b）2>-b2+b2=0，故（4）正確.若b=2a，則Smin=S3=a·b+（b）2=8a2cosθ+4a2=8a2，2cosθ=1，∴θ=π3，故（5）錯(cuò)誤.所以正確編號(hào)為（2）（4）.]

例5 將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)[Crn]都換成[1（n+1）Crn]，就得到一個(gè)如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，成為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可看出[1（n+1）Crn+1（n+1）Cxn=1nCrn-1]，其中[x=] .令[an=13+112+130+160+…+1nC2n-1+1（n+1）C2n]（[n≥2]），則比較大小： [an] [12]（填“>”“<”或“=”）.

[11]

[12] [12]

[13] [16] [13]

[14] [112] [112] [14]

[15] [120] [130] [120] [15]

…

解析 第一空通過(guò)觀察可得[x=r+1].

第二空的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)[n≥2]時(shí)，

[1（n+1）?C2n=2（n-1）?n?（n+1）=1（n-1）n-1n（n+1）]，

疊加可求得[an=12-1n（n+1）<12].