由一個反例引發(fā)的對數(shù)學(xué)命題教學(xué)的思考

于從賢

在講“充要條件”時我遇到這樣一道題目：已知平面內(nèi)任一點(diǎn)O滿足 =x +y （x， y∈R），則“x+y=1”是“點(diǎn)P在直線AB上”的（ ）

A. 必要不充分條件

B. 充分不必要條件

C. 充要條件

D. 既不充分也不必要條件

當(dāng)時的答案解析是這樣：根據(jù)平面向量基本定理知： =x +y （x， y∈R）且x+y=1等價于P在直線AB上，故選C。但在講解時有位同學(xué)舉出這樣一個反例：

若O，A，B，P四點(diǎn)共線，如圖：

由 =x +y 可知x+y有可能大于1，不能選C。假設(shè)共線的四個點(diǎn)O，A，B，P都在x軸上，不妨把O，A，B，P四個點(diǎn)的坐標(biāo)分別設(shè)為（0， 0），（1， 0），（2， 0），（100， 0），由 =x +y ，可以得到x+2y=100，很明顯，這是一個不定方程，解有無數(shù)組，x+y的值有無數(shù)情況。

難道點(diǎn)O不能在直線AB上嗎？于是，我進(jìn)行了一次推導(dǎo)：

A， B ，P三點(diǎn)共線？圳 =？姿

而 = - ， = -

故 - =？姿（ - ）

即 =（1-？姿） +？姿

令（1-？姿）=x，？姿=y， 則x+y=1.

整個推導(dǎo)過程好像確實跟點(diǎn)O是否在直線AB上沒關(guān)系？那到底是哪里出了問題？

進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：①當(dāng)O在直線AB外時， ， 不共線，可以構(gòu)成一組基底，根據(jù)平面向量基本定理可知實數(shù)對m， n唯一存在；②當(dāng)O在直線AB上時， ， 共線，不能構(gòu)成基底，則實數(shù)對m， n可能不唯一，前面的推導(dǎo)過程的問題出現(xiàn)在第二步上，如果O在直線AB外， ， 不共線，則 能被 ， 唯一線性表示，同理 能被 ， 唯一線性表示，則最終x+y=1毫無問題；但如果O在直線AB上， ， 共線，則 被 ， 線性表示的結(jié)果不唯一，同理 被 ， 線性表示的結(jié)果也不是唯一的，所以x+y的值就不一定是1，所以原題目的正確答案應(yīng)該選B.

一道看似簡單而熟悉的題目，因為學(xué)生的一個反例，促使我重新對平面向量基本定理和共線定理進(jìn)行了深入的探究。這次探究也引起了我的思考：定理是數(shù)學(xué)中重要的命題，命題（公式、定理）教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的重要基本課型，如何才能讓我們的命題教學(xué)達(dá)到更好的效果呢？

縱觀命題教學(xué)，我們可以發(fā)現(xiàn)，教師對命題教學(xué)的確很重視，但這種重視主要是在命題的結(jié)論和應(yīng)用上，教學(xué)往往是“公式（或定理）加例題”，“一背二套三運(yùn)用”，而對命題的形成過程、內(nèi)涵及推導(dǎo)過程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法等不夠重視。這種重結(jié)論輕條件，重結(jié)果輕過程、輕方法的總結(jié)，使得學(xué)生對公式、定理的學(xué)習(xí)只是停留在表面上，只會機(jī)械地套公式、用定理，極容易出現(xiàn)錯誤，更不會靈活運(yùn)用。久而久之，學(xué)生對公式、定理不清，數(shù)學(xué)運(yùn)用能力和思維能力下降。下面，我結(jié)合自身的教學(xué)實踐及教學(xué)中的經(jīng)典案例，談?wù)劽}教學(xué)中教師應(yīng)該重視的幾個方面。

一、命題教學(xué)應(yīng)重視命題的形成過程

數(shù)學(xué)中的公式、定理本身就是一道經(jīng)典的數(shù)學(xué)題目，有必要對其形成進(jìn)行推導(dǎo)和論證。如果只是重視公式、定理的解題運(yùn)用，而忽視其形成過程中的推導(dǎo)和證明，從某種程度來說是舍本逐末。在教學(xué)中，教師應(yīng)通過各種有效的教學(xué)手段，揭示公式、定理的來龍去脈，展示公式、定理的推導(dǎo)過程，這不僅有助于學(xué)生清楚公式、定理的形成過程，而且還能幫助學(xué)生記清公式、定理，靈活運(yùn)用公式、定理解題。

案例1：設(shè)當(dāng)x=？茲時，函數(shù) f（x） =3sinx+4cosx取得最小值，則cos？茲=

這道題學(xué)生都很熟悉，一般都知道函數(shù)最小值為-5，但問題是取最小值時角的余弦值是多少，很多學(xué)生都不會求。究其原因，主要是學(xué)生對公式asin？琢+bcos？琢= sin（？琢+？漬）（？漬為輔助角）的形成過程不清楚。很多老師在將形如asin？琢+bcos？琢的三角函數(shù)式化歸為一個角的某三角函數(shù)教學(xué)時，大都是直接告訴學(xué)生提取 ，化為 sin（？琢+？漬），然后叫學(xué)生記住，會套用就行了。但為什么要提取 ，怎樣化為 sin（？琢+？漬），學(xué)生不清楚，所以遇到這道題時，很多學(xué)生不會做。如果在教學(xué)時，教師讓學(xué)生觀察asin？琢+bcos？琢的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對比兩角和與差的正、余弦公式，可知只要將a，b的位置變成一個角的正、余弦值即可，但a2+b2的值可能不等于1，為了解決這一問題，可設(shè)a=kcos？漬，b=ksin？漬，此時k= ，因此asin？琢+bcos？琢=k（sin？琢 cos？漬+cos？琢 sin？漬）= sin（？琢+？漬），其中cos？漬= ，sin？漬= 。對這個公式的形成過程學(xué)生清楚了，解這道題就比較容易了，f（x）=3sinx+4cosx=5（sinx· +cosx· ）=5sin（x+？漬），其中cos？漬= ，sin？漬= ，當(dāng)x=？茲時，函數(shù)f（x）取得最小值，即有？茲+？漬=- +2k？仔（k∈Z），因此cos？茲=cos（- +2k？仔-？漬）=-sin？漬=- 。

通過案例1，我們可以發(fā)現(xiàn)，僅僅記住公式在解題中還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。讓學(xué)生記住某個公式、某個定理，并非數(shù)學(xué)命題教學(xué)的最終目的，而掌握公式、定理的形成過程，也是數(shù)學(xué)命題教學(xué)的目的之一。

二、命題教學(xué)應(yīng)重視命題的適用條件

數(shù)學(xué)中的公式、定理是由條件和結(jié)論組成的命題，結(jié)論是在一定條件下才能成立，運(yùn)用公式、定理，必須要有使公式、定理的結(jié)論成立的條件。命題教學(xué)中，教師要讓學(xué)生分清公式、定理的條件和結(jié)論，弄清公式、定理的條件和結(jié)論間的關(guān)系，強(qiáng)調(diào)公式、定理適用的范圍和成立的條件。

案例2. 已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a7=a6+2a5，若存在兩項am，an，使得 =2 a1，則 + 的最小值為

這道題給出的答案解析過程是：設(shè)公比為q（q>0），由a7=a6+2a5可得q=2。由 =2 a1得a1qm-1·a1qn-1=8a12，即有m+n=5，則 + =（ + ）· = （ + +5）≥ （2 +5）= ，當(dāng)且僅當(dāng) = ，即n=2m= 時等號成立，所以 + 的最小值為 。

學(xué)生的解答思路是：由 =2 a1可得m+n=5，又m+n≥2 ，所以5≥2 ，即有 ≥ ，因此 + ≥2 = ≥ ，即 + 的最小值為 。

同一道題，不同的答案，哪一個對呢？事實上，兩個答案都是錯的。第一種解題思路是對的，但在運(yùn)用基本不等式求最小值時，取等號的條件“n=2m= ”是取不到的，原因是m，n是正整數(shù)，所以答案是錯誤的；第二種學(xué)生的答案也是錯的，兩次運(yùn)用基本不等式，既沒注意每次取等號的條件，也沒注意兩次取等號的條件“m=n”與“4m=n”不能同時取得。這兩種解法在運(yùn)用基本不等式時，都是因為沒有考慮取等號的條件而出錯。

為什么會出現(xiàn)案例2這種錯誤呢？主要原因是在運(yùn)用公式、定理解題時，條件意識不強(qiáng)，沒注意結(jié)論成立的充分性。比如，教師在講解例題時，平時因為題目一般給了可以運(yùn)用公式、定理的條件，在板書時常會出現(xiàn)不寫條件，直接運(yùn)用寫結(jié)論這種解題不規(guī)范錯誤，這樣就給學(xué)生造成一種條件可有可無的錯覺，而當(dāng)題目沒有給公式、定理適用的條件時，學(xué)生機(jī)械地套公式、定理解題，就很容易出錯。因此，教師在公式、定理教學(xué)時，要重視公式、定理的適用條件，做好運(yùn)用公式、定理解題示范，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用公式、定理解題時要考慮結(jié)論成立時的條件的好習(xí)慣。

三、命題教學(xué)應(yīng)重視命題的內(nèi)、外在雙重特征

數(shù)學(xué)中的公式、定理揭示了數(shù)學(xué)知識的基本規(guī)律，具有一定的形式符號化的抽象性和概括性的特征，從形式上看都比較簡潔，但內(nèi)涵豐富。教師在命題教學(xué)中，既要從形式上分析公式、定理的特征，還要挖掘公式、定理中隱藏的內(nèi)在特征。

案例3：已知等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，且 = ，求 的值。

部分學(xué)生在解答這道題時，知道是利用等差數(shù)列的性質(zhì)，由a1+a13=2a7，b1+b13=2b7，得 = = = ，但也有不少學(xué)生這樣解：因為 = ，所以可設(shè)Sn=（7n+2）k，Tn=（n+3）k，所以a7=S7-S6=7k，b7=T7-T6=k，所以 =7，出現(xiàn)這種錯誤解法的原因，主要對等差數(shù)列前n項和公式的形式和內(nèi)涵不清楚，等差數(shù)列前n項和公式有兩個，第一個公式Sn= 是運(yùn)用倒序相加法，利用等差數(shù)列的性質(zhì)推導(dǎo)出來，所以在解題時經(jīng)常和等差數(shù)列的性質(zhì)聯(lián)系在一起使用，所以該題最優(yōu)解法是利用等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項和公式Sn= 求值；等差數(shù)列前n項和第二個公式是在第一個公式的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的，即Sn=na1+ d，等價變形為Sn= n2+（a1- ）n，可以看出是一個關(guān)于n的常數(shù)項為0的二次函數(shù)。這樣，錯誤解法中雖然可以由 = 設(shè)Sn=（7n+2）k，Tn=（n+3）k，保證 = 成立，但因為等差數(shù)列前n項和Sn不是關(guān)于n的一次函數(shù)，而是關(guān)于n的二次函數(shù)，這樣由 = 就不能得到Sn=（7n+2）k，Tn=（n+3）k。如果我們設(shè)Sn=nk（7n+2），Tn=nk（n+3），就可以得到正確結(jié)果。

在案例3中，學(xué)生對等差數(shù)列前n項和公式的形式特征不清楚，不知道等差數(shù)列前n項和實質(zhì)上是一個關(guān)于n的二次函數(shù)，而選擇了錯誤的求解方法。在命題教學(xué)中，教師要和學(xué)生一起分析公式、定理形式特征和內(nèi)在特征，讓學(xué)生對公式、定理有個清楚的認(rèn)識和理解，這樣學(xué)生才會正確地運(yùn)用公式、定理。

四、命題教學(xué)應(yīng)重視命題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法

數(shù)學(xué)中的命題是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的核心內(nèi)容，不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和運(yùn)用的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)推理和論證的重要依據(jù)，其自身的推理和論證也是提煉數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要載體。在命題教學(xué)中，教師在推導(dǎo)公式、定理后，沒有和學(xué)生一起分析歸納推導(dǎo)、論證過程中運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想和方法，導(dǎo)致學(xué)生不會運(yùn)用公式、定理推導(dǎo)過程所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法解題，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力也就難以提高?！笆谌艘贼~，不如授人以漁”，在命題教學(xué)中，教師不僅要重視公式、定理的推導(dǎo)、論證過程，還要分析和歸納推導(dǎo)、論證過程中運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想和解題方法。

案例4：已知函數(shù)f（x）=x+sin？仔x-3，則f（ ）+f（ ）+ f（ ）+…+f（ ）的值為

. （答案：-8058）

很多學(xué)生在面對這道題時，不知如何下手。事實上，觀察該求和式子特征，可以發(fā)現(xiàn)首末兩項等距離的兩項之和等于首末兩項之和，這正是等差數(shù)列前n項和中具備的特征，因此，可以運(yùn)用等差數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)過程中運(yùn)用的倒序相加法來解該題。事實上，很多重要的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，在教材中沒有專門表述，但它們卻大量地隱含于公式、定理等表層知識的背后，貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程。因此，教師在教學(xué)過程中，應(yīng)善于化隱為顯，精心挖掘，適時提煉，恰如其分地滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)思想和方法。

總之，數(shù)學(xué)命題教學(xué)中，教師要重視命題的形成過程，強(qiáng)調(diào)命題的適用條件和內(nèi)、外在雙重特征，重視歸納命題形成過程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，把學(xué)過的命題系統(tǒng)化，形成結(jié)構(gòu)緊密的知識體系。

【參考文獻(xiàn)】

1. 李果明. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)建模[M]. 南寧：廣西教育出版社，2003.

2. 麥曦. 中學(xué)數(shù)學(xué)課型與教學(xué)模式研究[M]. 廣州：新世紀(jì)出版社，2002.

（作者單位：廣州市培正中學(xué)）

責(zé)任編輯 黃佳銳