張琦 高慧明
三角恒等變換問題在歷年高考和自主招生試題中屢見不鮮,主要考查考生的邏輯推理和運算求解能力。下面著重分析各類試題中有關三角恒等變換的問題,主要剖析命題的切人點以及圍繞三角恒等變換的解題方法和思路。
一、化切為弦,關注通法
通過化切為弦、正余互化等途徑來減少或統(tǒng)一所需變換的式子中函數(shù)的種類,這就是變換函數(shù)名法。它實質(zhì)上是化歸的思想,通過化歸與轉(zhuǎn)化有利于問題的解決或發(fā)現(xiàn)解題途徑。
評析:本題是一道標準的“化切為弦”問題。本題還有一種變換方法如下:
二、正難則反,公式逆用
按照常規(guī)的解題思路,大家習慣公式的正用,而不習慣“倒著想,反著用”。如果說公式的正用是拆分的過程,那么公式的逆用則是合并的過程。從思維上來講,公式的逆用,體現(xiàn)了逆向思維,是一個配湊的過程,更體現(xiàn)了構造的思想,因此要求更高。
公式逆用中,考題常涉及輔助角公式。在用輔助角公式時經(jīng)常會涉及三角函數(shù)中的二倍角公式、兩角和與差的正余弦公式。
評析:本題屬于常規(guī)問題。第(1)問需要注意三角公式的化簡,而第(2)問則需要注意三角函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題。
三、抓住整體,重點突破
我們已經(jīng)構建了三角恒等變換的公式網(wǎng)絡,出于公式的簡潔性要求,更是H{于角之間相互明了關系的表示,公式里的已知角αa,β寫成了單角的形式,但這并不意味著具體問題中的角一定就是這樣的形式,還要從整體著眼,關注整體間的關系。
四、樹立目標,提高效率
解三角恒等變換問題,除要熟悉公式網(wǎng)絡以外,還要有強烈的目標意識,在日標的引領下,將已知條件進行轉(zhuǎn)化,逐步推進,直至導出結(jié)論。
評析:初次接觸本題,大多數(shù)考生都會感到無從下手,因為這里的角包含有θ,2θ,4θ,6θ。要想把角都化簡為θ,明顯工作量太大,畢竟涉及6倍角??梢园涯繕硕ㄎ粸?θ,這樣4θ是2θ的二倍角,60是2θ的三倍角,θ是2θ的半角,因此操作起來必然事半功倍。
五、適當推廣,提高能力
現(xiàn)在很多考生都要參加學校組織的自主招生考試,自主招生試題比普通高考試題的i葉;題形式更靈活,知識面更廣、更深,對考生的能力要求更高。
評析:要求cos(x+y)的值,根據(jù)已知條件.只需要平方處理即可;要求sin (x-y)的值,只需要和差化積公式處理即可。