愛因斯坦的升降機

方在慶

摘要 廣義相對論是人類歷史上最偉大的智力成就。本文基于相關(guān)的歷史資料，按時間發(fā)展線索，試圖厘清有關(guān)廣義相對論歷史起源的一些混淆。愛因斯坦豐富的想象力以及天才的物理直覺是其取勝的關(guān)鍵。沒有任何人能撼動愛因斯坦作為廣義相對論理論的奠基者地位，但如果沒有格羅斯曼在數(shù)學方面的引導，諾德斯特勒姆等人在引力理論方面的挑戰(zhàn)與競爭，尤其是他與希爾伯特在理論形成的最后沖刺階段的相互角力，廣義相對論的最終形成還要等待一些時日。

關(guān)鍵詞 愛因斯坦 廣義相對論 思想實驗 升降機 等效原理 格羅斯曼 希爾伯特

2015年是愛因斯坦（Albert Einstein，1879-1955）廣義相對論誕生100周年。世界各地幾乎每月都有包括學術(shù)研討會、公開演講和新書發(fā)布會在內(nèi)的各種紀念活動，最后的高潮是11月30日至12月5日在廣義相對論的誕生地德國首都柏林舉辦的《廣義相對論一百年》（A Century of General Relativity）紀念研討會。中國的慶?；顒右膊簧伲热?，中國科學院卡弗里理論物理研究所在2015年5月4日至8日就在北京舉辦了《引力與宇宙學國際會議暨第四屆伽利略-徐光啟大會》（The International Conference on Gravitation and Cosmology/The FourthGalileo-Xu Guangqi Meeting），來自世界各地的學者，就與廣義相對論有關(guān)的各種議題進行了深入地討論。

2015年也是國際光年（The International Year of Light）。150年前，麥克斯韋（James C.Maxwell，1831-1879）向英國皇家學會提交了包含其著名方程式在內(nèi)的一篇長文，將電磁和光統(tǒng)一起來，電磁理論正式誕生。100年前，愛因斯坦將引力納入相對論框架，同時繼承并超越了牛頓（Isaac Newton，1643-1727）和麥克斯韋?？茖W理論在這種繼承與超越的過程中不斷前行。

廣義相對論被認為是人類認識大自然的最偉大的智力成就。著名物理學家，愛因斯坦的摯友馬克斯·玻恩（Max Born，1882-1970）曾說過，廣義相對論“把哲學的深奧、物理學的直觀和數(shù)學的技藝令人驚嘆地結(jié)合在一起?！睈垡蛩固故侨绾螌⑦@三者結(jié)合在一起的，更讓人著魔。自愛因斯坦廣義相對論誕生后，有關(guān)其起源的歷史研究就沒有停止過。愛因斯坦本人在多篇文章和訪談中談到這一話題，更增加了這一論題的復雜性。但正如1933年6月10日愛因斯坦在牛津大學所做的斯賓塞講座（The Herbert Spencer Lecture）中所說：“如果你們想從理論物理學家那里發(fā)現(xiàn)他們所用方法的任何東西，我勸你們就得嚴格遵守這樣一條原則：不要聽他們的言論，而要注意他們的行動?！闭腔谶@一宗旨，本文基于相關(guān)的歷史資料，按時間發(fā)展線索，選擇其中的三個方面，試圖厘清其中的一些混淆，還原愛因斯坦通往廣義相對論的曲折艱辛而又激動人心之路。愛因斯坦豐富的想象力以及天才的物理直覺是其取勝的關(guān)鍵。沒有任何人能撼動愛因斯坦作為廣義相對論理論的奠基者地位，但如果沒有格羅斯曼（Marcel Grossmann，1878-1936）在數(shù)學方面的引導，諾德斯特勒姆（GunnarNordstrom，188l-1923）等人在引力理論方面的挑戰(zhàn)與競爭，尤其是他與希爾伯特（David Hilbert，1862-1943）在理論形成的最后沖刺階段的相互角力，廣義相對論的最終形成還要等待一些時日。

一升降機實驗與等效原理

在愛因斯坦的一生中，“思想實驗”（Gedankenexperiment）或“想象實驗”起到非常重要的作用。談到愛因斯坦的相對論，不得不提他的兩大著名“想象實驗”：“騎在光束上前行”（ride on a beam of light）的思想實驗和“升降機實驗”。

愛因斯坦16歲時感到迷惑的“騎在光束上前行”的想象實驗，在狹義相對論建立的過程中起到了很重要的作用。26歲時他終于解決了這一問題。狹義相對論建立在兩條基本假定（assumptions）之上：相對性原理和光速不變原理。相對性原理來自伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）對哥白尼地動說的證明。物理定律在一切慣性參考系中具有相同的形式，任何力學實驗都不能區(qū)分靜止和勻速運動的慣性參考系。這成為經(jīng)典力學的一個基本原理，又稱伽利略相對性原理。愛因斯坦將之推廣到包括電磁學在內(nèi)整個物理學領(lǐng)域，指出：任何力學和電磁學實驗現(xiàn)象都不能區(qū)分慣性參考系的絕對運動，包括靜止或者勻速運動。第二條假設(shè)——光速不變原理——是愛因斯坦的獨創(chuàng)。無論在何種慣性參照系中觀察，光在真空中的傳播速度相對于該觀測者都是一個常數(shù)，不隨光源和觀測者所在參考系的相對運動而改變。從這兩個假定出發(fā)，他推導出一些結(jié)論，如果一個物體以接近光速運動，就會有時間變慢、長度收縮和質(zhì)量增加的現(xiàn)象。最為人知的結(jié)論就是E=mc²。在牛頓那里，無論時間、長度和質(zhì)量都是絕對不變的量。19世紀發(fā)現(xiàn)的能量守恒定律也暗含，能量在所有物理和化學過程中都不變，但按照愛因斯坦的質(zhì)能公式，質(zhì)量與能量是可以轉(zhuǎn)化的。這樣一來，愛因斯坦的狹義相對論就徹底改變了白牛頓以來的關(guān)于時間、空間、質(zhì)量和能量的看法。而追蹤溯源，導致這一切的來自于一個16歲少年的“想象實驗”。

與狹義相對論相似，廣義相對論也從兩條基本假定開始：一、廣義相對性原理。物理定律在一切參考系中都具有相同的形式。狹義相對性原理雖然把伽利略相對性原理推廣到了整個物理領(lǐng)域，但并不能包括非慣性參考系。愛因斯坦把相對性原理推廣到一切參考系。二、等效原理。引力場中一切物體都具有相同的加速度，慣性質(zhì)量等同于引力質(zhì)量。

在廣義相對論的建立過程中，“想象實驗”起到了同樣重要的作用。沒有升降機的想象實驗，就沒有等效原理的誕生，也就沒有廣義相對論。

愛因斯坦生動描述過讓他“大吃一驚”的領(lǐng)悟過程：“我正坐在伯爾尼專利局一張椅子上，忽然一種思想打動了我：假如一個人自由落下，他不會感覺到自己的重量。我不禁大吃一驚，這個簡單的思想實例，給我以深刻的印象，他把我引向到引力論，我繼續(xù)沿著我的思路發(fā)展下去，下跌者在加速，他所感覺和判斷的東西發(fā)生在加速度參照系中，我決定把相對論擴展到加速度參照系統(tǒng)中去；我覺得這樣做就能同時解決地心引力問題，下跌者不可能感覺到自己的重量，因為在他的參照系中，有一個新的引力場，取消了地球引力場，在這個加速參照系中，我們需要一個新的引力場。”正是這一被他稱為“我一生中最快樂的思想”（der Glücklichste Gedankemeines Lebens），讓他開啟了長達八年之久的廣義相對論之旅。

后人用“愛因斯坦的升降機”（Einstein's elevator）實驗來形象地解釋慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量相等。設(shè)想一臺封閉的升降機正在沒有重力的外太空加速向上運動，那么升降機內(nèi)部的人所感受到的向下的力乃是起因于慣性質(zhì)量。而如果封閉的升降機靜止于引力場中，那么升降機內(nèi)部的人所感受到的向下的力乃是起因于引力質(zhì)量。而慣性質(zhì)量總是等于引力質(zhì)量?！坝蛇@種相當性得知，不可能用實驗去發(fā)現(xiàn)一個坐標系究竟是在加速的，還是在沿直線勻速運動著，而所觀察到的結(jié)果則是由引力場所引起的。……一旦引力引了進來，它就粉碎了慣性系這個概念?！?/p>

加速度與引力是一回事，這就是所謂的等效原理。在一個封閉的房間里，沒法做一個實驗來判斷，你到底是在有引力的情況下處于靜止，還是在沒有引力的情況下做加速運動。其直接后果便是：引力場時間節(jié)奏要變慢，光線會發(fā)生偏折?！霸谔柛浇?jīng)過的一條光線，將受到0.83弧秒的偏轉(zhuǎn)。既然在日全蝕中位于太陽附近那一部分天空中的各恒星會變成可見的，那就有可能把理論的這一推論和經(jīng)驗進行比較。……非常希望的是，天文學家們能夠過問此處所提的問題，即使這里所提的這些想法顯得不夠可靠乃至有些大膽。因為，除了任何理論之外，我們必須問問自己：引力場對光的傳播的一種影響到底能不能用目前已有的儀器來加以探測。”

愛因斯坦急于通過實驗來驗證自己的理論。1913年10月14日，愛因斯坦給發(fā)現(xiàn)太陽黑子磁場的美國著名天文學家，威爾遜天文臺臺長海耳（George E.Hale，1868-1938）寫信，請求通過天文觀測來驗證自己的假設(shè)：“一個簡單的理論上的考慮，就能表明光線在引力場中會發(fā)生偏轉(zhuǎn)的假設(shè)是有道理的?！虼?，如果能知道在最靠近太陽的地方——在那里，白天（無日食）應用最大倍率的望遠鏡仍能看見明亮的恒星，那是有最大意義的事情了。……我想請您告訴我，憑您在這方面的豐富經(jīng)驗，用現(xiàn)有的手段，您認為能獲得什么樣的成果？”

愛因斯坦當然知道日全食是最佳的觀測時刻，但他不能等。事實上，愛因斯坦早就與德國年輕的天文學家弗羅因德利希（Erwin Freundlich，1885-1964）討論過白天觀察恒星的可能性。1913年11月8日，海耳給愛因斯坦回信，說他“擔心在充分的日光之下不可能測定這種效應，……”因為“靠近太陽的天空，即使在良好的觀察條件下，其亮度仍大為增加。”“現(xiàn)在我很難說在什么距離上，明亮的恒星可以被觀察到，只有等觀測之后才能決定。”另外，觀測時間的限制、氣候條件、測量儀器的精度等因素都會影響觀測結(jié)果?！跋喾?，利用日食的方法看來很有希望，因為這種方法排除了所有上述困難，而且使用照相術(shù)可以測定大量恒星。所以我強烈傾向于推薦這一計劃。”

當1914年8月21日的日全蝕來臨時，第一次世界大戰(zhàn)已經(jīng)開打了快一個月。弗羅因德利希被俄軍所俘，裝備被沒收，觀測當然也無法進行。這也許是件幸事。因為愛因斯坦正確預測值是1911年的兩倍。愛因斯坦之所以急于驗證，是有他的考慮的。當他得知弗羅因德利希想通過其他觀測來驗證自己的理論時，他說：“我完全清楚，通過實驗來解答這個問題并非是件容易的事。因為太陽大氣層的折射有可能會有影響。不過有一點可以肯定，如果偏轉(zhuǎn)不存在，那么這個理論的這些假設(shè)就是錯的。必須記住，這些假設(shè)盡管似乎是合理的，但他們畢竟是十分大膽的假設(shè)。……大自然并不認為讓我們能更容易地發(fā)現(xiàn)她的規(guī)律，是她份內(nèi)的事。”

二 從物理直覺到數(shù)學表達式

從1907年開始廣義相對論之旅，到1915年最終完成，愛因斯坦走了一條相當不平坦的道路。一直到1911年，愛因斯坦并沒有將所有的時間都花在引力問題和對相對性原理的推廣上。到了1911年6月，他又回到引力問題。1912年2月和1912年3月，他接連提交了兩篇關(guān)于引力的文章：《光速和引力場的靜力學》和《靜引力場理論》。在第二篇文章投稿后，又附上一篇“投稿后追記”，提出了“時間彎曲而空間平直的模型”。還提出了“光速在引力場中不是常數(shù)”，“等效原理只對無限小的場成立”，“引力場能量密度帶來的引力場是非線性的”等觀點。

大概在1912年夏，愛因斯坦認識到推廣的相對論的數(shù)學問題與高斯曲面幾何之間的類似性，這一類似性使得愛因斯坦得出結(jié)論，即引力場不能用標量勢描述，必須用10分量的度規(guī)張量來描述。這是邁向廣義相對論的極重要的一步。而在這一點，他的摯友埃倫費斯特（Paul Ehrenfest，1880-1933）在1909年提出的所謂“埃倫費斯特悖論”（Ehrenfest Paradox）對他是非常有啟發(fā)的。1912年8月愛因斯坦從布拉格回到母校蘇黎世聯(lián)邦工業(yè)大學任教。之后他經(jīng)常向自己的大學同學，聯(lián)邦工業(yè)大學的數(shù)學教授格羅斯曼請教。大學期間，格羅斯曼是一位循規(guī)蹈矩的好學生，以工整的聽課筆記著稱，正是通過復習格羅斯曼的聽課筆記，愛因斯坦通過了多門功課的考試。大學畢業(yè)后，愛因斯坦找不到固定工作，在格羅斯曼父親的幫忙下，才在伯爾尼的瑞士聯(lián)邦專利局找到一份三級專利技術(shù)員的工作。格羅斯曼可謂愛因斯坦生命中的貴人。愛因斯坦在自己的博士論文的扉頁上寫著“獻給我的朋友格羅斯曼博士”。

在愛因斯坦回到蘇黎世后不久，愛因斯坦對自己的研究工作曾有過短暫的懷疑。這與他在數(shù)學上遇到的問題有關(guān)。在數(shù)學方面，他急需格羅斯曼的幫助。“格羅斯曼，你一定要幫我，不然我就瘋了！”（Grossmann，Du must mir helfen，sonst werd'ich verrückt?。┩ㄟ^格羅斯曼的指導，愛因斯坦開始學習張量理論，以及由克里斯托夫（Elwin B.Christoffel，1829-1900）發(fā)起，里奇（Gregorio Ricci-Curbastro，1853-1925）和列維-契維塔（Tullio Levi-Civita，1873-1941）完善的絕對微分學（absolute differential calculus）。他們二人于1913年合作發(fā)表的第一篇論文《廣義相對論和引力理論綱要》（Entwurfeiner verallgemeinerten Relativit？tstheorie und einer Theorie der Gravitation），被認為是廣義相對論發(fā)展史上兩篇有重要影響的論文之一。這篇論文的數(shù)學部分由格羅斯曼執(zhí)筆，物理部分由愛因斯坦執(zhí)筆。正是在這篇被后世稱為“綱要理論”（Entwurf Theorie）的論文中，愛因斯坦在他的新思想與相適應的數(shù)學方法的結(jié)合上做了第一次嘗試。1912年10月29日，在給索末菲（Arnold Sommerfeld，1868-1951）的信中，他說，“我現(xiàn)在正專門研究引力問題。而且相信，我能夠在這里的一位數(shù)學家朋友幫助下克服困難。有一點可以肯定：即在我一生中，從沒有對一件事花過那么大的氣力，對數(shù)學我產(chǎn)生了巨大的敬意。以我愚昧之見，直到現(xiàn)在，我還認為研究數(shù)學中更為奧妙的部分，純粹是一種奢華。與這個問題相比較，原來的相對論那不過是兒戲而已?！?/p>

“綱要理論”與兩年多后愛因斯坦發(fā)表的最終定稿在一些重要特征上是相同的：引力場由度規(guī)張量表示，引力對其他物理過程的影響由廣義協(xié)變方程表示。但“綱要理論”有明顯的不盡如人意之處。他們并未如愿以償?shù)卣业揭粋€廣義協(xié)變理論，甚至不能確信他們的方程是否允許采用轉(zhuǎn)動參照系，因之難以確立轉(zhuǎn)動系與靜止系間的等價性。它得出的結(jié)果與水星近日點進動的觀測值不符，他想致力于從經(jīng)驗上檢驗自己理論的努力又沒有成功。

根據(jù)保存下來的“蘇黎世日記”，愛因斯坦經(jīng)常在堅持物理理念與數(shù)學處理手法之間徘徊。愛因斯坦為了堅持守恒定律限制了坐標系的選擇；為了維護因果性，放棄了廣義協(xié)變性的要求。盡管前途未卜，他還是充滿信心：“大自然只把獅子的尾巴顯露給了我們。但我確信無疑，獅子是個龐然大物，尚不能立即全部顯露在我們眼前。我們見到的就像叮在獅子身上的虱子所見到的一樣?！?/p>

1914年春天，當愛因斯坦從蘇黎世來到柏林之后，他與格羅斯曼的合作就結(jié)束了?！熬V要理論”的一些缺陷甚至讓他對自己的理論喪失信心。不過，無論從哪方面講，兩人的合作為廣義相對論的最終完成奠定了基礎(chǔ)。愛因斯坦又花了近兩年的艱苦努力，才克服上述困難。在這期間，他與德國物理學家亞伯拉罕（Max Abraham，1875-1922）、米（GustavMie，1869-1957）以及芬蘭物理學家諾德斯特勒姆等人就引力問題展開了討論。

1912年諾德斯特勒姆發(fā)表的引力理論是一個狹義相對論的標量引力。1913年6月底諾德斯特勒姆訪問蘇黎世時，愛因斯坦與他進行了討論，之后，諾德斯特勒姆對自己的理論進行了修訂。在維也納召開的德意志自然科學家學會第85屆年會上，愛因斯坦討論了諾德斯特勒姆修訂過的理論，并在會后與米和諾德斯特勒姆等人進行了激烈的辯論。他認識到，諾德斯特勒姆的理論可能是除“綱要理論”之外較為可信的理論。他反對這個理論的主要理由是該理論不能像“綱要理論”那樣可以解釋周圍質(zhì)量的引力效應以及物體的慣性間的關(guān)系。但是對于這兩個理論孰優(yōu)孰劣，他認為從當時的經(jīng)驗數(shù)據(jù)上是很難判斷的?！熬烤故堑谝环N還是第二種方案實質(zhì)上與自然符合，應由日蝕過程中出現(xiàn)在離太陽很近的星體的照片來決定。我們希望1914年的日蝕將給出這一重要判決?！比魏螘r候愛因斯坦都沒有忘記經(jīng)驗證據(jù)的作用。

在引力理論方面，諾德斯特勒姆與愛因斯坦之間是一種友好的競爭關(guān)系，在某種程度上，也可以說成是合作關(guān)系，他們視對方為友好伙伴，而非對手。諾德斯特勒姆公開稱贊愛因斯坦的工作，并兩次提名愛因斯坦應因其相對論而獲諾貝爾獎。目前，諾德斯特勒姆的標量理論主要用做學習廣義相對論的一種教學手段。

1914年5月，愛因斯坦與洛倫茲（Hendrik A.Lorentz，1853-1928）以前的學生，荷蘭青年物理學家?？耍ˋdriaan Fokker，1887-1972）合作發(fā)表了一篇嚴格遵守廣義協(xié)變性要求的引力理論的簡短論文，發(fā)現(xiàn)從絕對微分運算和廣義協(xié)變性的要求出發(fā)，可以證明諾德斯特勒姆的理論只是愛因斯坦一格羅斯曼理論的一個特例，其標志是光速不變這一附加條件；愛因斯坦一格羅斯曼理論包含著光的彎曲，而諾德斯特勒姆的理論沒有光的彎曲。

1915年10月與11月，愛因斯坦集中精力探索新的引力場方程。先后于11月4日、11日、18日和25日，每周一次，一連四周向普魯士科學院遞交了4篇論文。終于得到了場方程，并對水星近日點進動給出了滿意的解釋。此時，已經(jīng)充分完善了的廣義相對論令以前的對手黯然失色。1916年，諾德斯特勒姆將其注意力投向了廣義相對論。一年之后，“綱要理論”最嚴厲的批評者之一米也拋棄了自己的理論，開始研究愛因斯坦的理論了，愛因斯坦的廣義相對論大獲全勝。

由于在早期忽略或輕視了數(shù)學的作用，盡管有天才的物理直覺，愛因斯坦行走起來也步履艱難，踉踉蹌蹌，幸虧有朋友相助，以及競爭對手的壓力，才最后達成目標。關(guān)于數(shù)學，愛因斯坦有著與其他物理學家不一樣的看法。他在《自述》中說，“我在一定程度上忽視了數(shù)學，其原因不僅在于我對自然科學的興趣超過對數(shù)學的興趣，而且還在于下述奇特的經(jīng)驗。我看到數(shù)學分成許多專門領(lǐng)域，每一個領(lǐng)域都能費去我們所能有的短暫的一生。因此，我覺得自己的處境像布里丹的驢子一樣，它不能決定究竟該吃哪一捆干草。這顯然是由于我在數(shù)學領(lǐng)域里的直覺能力不夠強，以致不能把真正帶有根本性的最重要的東西同其余那些多少是可有可無的廣博知識可靠地區(qū)分開來。此外，我對自然知識的興趣，無疑地也比較強；而且作為一個學生，我還不清楚，在物理學中，通向更深入的基本知識的道路是同最精密的數(shù)學方法聯(lián)系著的。只是在幾年獨立的科學研究工作以后，我才逐漸地明白了這一點?！?/p>

寫這段話時，愛因斯坦已是67歲的老人了。這也是他對物理與數(shù)學關(guān)系的一個總結(jié)，但我們不能由此責備愛因斯坦，最天才的人也有自己的弱項。公允地說，沒有數(shù)學工具，還有朋友相助，但沒有天才的物理直覺，一切都無從談起。

三希爾伯特在理論最后形成中的作用

愛因斯坦是廣義相對論的“唯一創(chuàng)造者”（sole creator）。這是希爾伯特及其同事都承認的事實，也是目前學界的主流觀點，盡管有極少數(shù)人有不同看法。本文認為，盡管希爾伯特本人從未主張過優(yōu)先權(quán)，但抹殺希爾伯特貢獻的做法同樣也是不可取的。恰恰相反，目前學界對希爾伯特的貢獻強調(diào)的還不夠。

愛因斯坦最初從事廣義相對論研究，并沒有得到學界大佬的認可。普朗克、勞厄等人都反對。只有在格丁根，愛因斯坦才有了被理解的感覺。希爾伯特、克萊因（Felix Klein，1849-1925）、艾米·諾特（Emmy Noether，1882-1935）等一大批訓練有素的數(shù)學家，不但能跟上愛因斯坦的思路，還能參與進來，給愛因斯坦以靈感。愛因斯坦在格丁根大學受到追捧，讓他心情愉快。他也很喜歡格丁根的研究氛圍，對年長自己17歲的希爾伯特更是充滿了好感。愛因斯坦欽佩希爾伯特超凡脫俗、不為時下令人沮喪的潮流所裹挾的氣質(zhì)?！案穸「臄?shù)學家希爾伯特便是這樣的一個人。我在格丁根待了一個星期，認識了他，也對他產(chǎn)生了敬愛之情。我在那里作了6場每次2小時的講演，介紹今天已經(jīng)被搞得一清二楚的引力理論，由于那里的數(shù)學家們完全被說服而高興。至于愛好科學的熱烈氣氛——起碼在這個領(lǐng)域，柏林與格丁根是不可同日而語的。”希爾伯特從何時開始引力理論研究，人們不得而知，但1915年夏天他與愛因斯坦緊張而相互刺激的討論，肯定萌發(fā)了他親自參與的念頭。

1915年11月，連續(xù)4個星期，愛因斯坦向普魯士科學院提交的4篇論文，每一次都推翻前面的觀點，最后在25日得到了漂亮的場方程。而這一切，與他和希爾伯特之間的通信有著密切的關(guān)系。仔細考察這段時間愛因斯坦與希爾伯特之間的通信，可以發(fā)現(xiàn)一些非常有趣的現(xiàn)象。

在1915年11月28日寫給索末菲的信中，愛因斯坦說，“我今天才答復您的友好而有趣的來信，請您不要對我生氣。可是最近這一個月，是我的生命中最使我激動、最令我緊張的時期，當然也是成果最大的時期。其間我根本不可能想到寫信?！钡@一說法并不適用于愛因斯坦與希爾伯特之間。從11月7日至19日，兩人之間有6次信件往來。無論誰有了新的結(jié)論，對方都想在第一時間知道，指出其中的不足，表明自己已走在對方的前面。即使承認對方的成就，也要表示自己在想法上超越了對方。這是一種既競爭又合作的關(guān)系。在愛因斯坦“百米沖刺”的最后階段，11月13日希爾伯特提出邀請，讓愛因斯坦親自到格丁根。11月15日，愛因斯坦給希爾伯特回信：“對于您的研究工作我懷著巨大的興趣，加之我常常是絞盡腦汁，想在引力和電磁之間搭一座橋。您在明信片上的暗示，讓人懷著最大的預期。盡管如此，我還不得不說，眼下我不準備去格丁根，而是要耐心地等到我能夠認真地研究您印好的論文中所討論的那個系統(tǒng)之時；因為我極度的疲憊，而且還受到胃痛的折磨。請您——如果可能的話，給我寄一本您的研究論文的校樣來，以便消除我的不耐心的情緒?！?/p>

1915年11月18，愛因斯坦給希爾伯特寫信，“我今天提交給科學院一篇論文，其中我從廣義相對論出發(fā)，不借助于任何假設(shè)，便以定量的方法推導出勒維烈（LeVerrier）所發(fā)現(xiàn)的水星近日點運動。迄今為止，任何引力理論都未曾達到這一點?！边@有點宣示主權(quán)的意味。

11月19日，希爾伯特給愛因斯坦回信，向愛因斯坦表示祝賀的同時，暗示自己的理論包含了作為引力之補充的電磁這個事實：“非常感謝您的明信片，最衷心地祝賀您拿下了近日點運動。如果我能像您那樣算得那么快，那么在我的公式中電子就會不得不相應地舉手投降，同時氫原子也會給我寫一張道歉條，說明為什么它不發(fā)出輻射啦?！蓖瑫r，希爾伯特還對愛因斯坦的進展非常關(guān)心?！叭绻茏屛译S時了解您的最新進展，我將感激不盡?！?/p>

在這之后，兩人之間的通信暫停了一段時間。正是與希爾伯特之間密切的意見交換，讓愛因斯坦加快了進程，在最后一周（1915年11月18日）前放棄了一直到還在堅持的“綱要理論”中的看法。但當他得知希爾伯特也得出了場方程，而且明顯地也吸收了自己的思想，但并沒有事先知會時，心中頗感不快。

1915年11月26日，也就是在他向普魯士科學院提交第四份報告之后第二天，在寫給好友倉格爾（Heinrich Zangger，1874-1957）的信中，吐露了自己的心聲：“廣義相對論問題現(xiàn)在已獲得最終的解決。水星近日點運動將通過理論得到完美的解釋?！@理論之完美真是無可比擬。不過，只有一位同行真正理解了它，并試圖以巧妙的方式‘合法分享（nostrifizieren）它。而在我自己的經(jīng)驗中，幾乎從來沒有哪一次像這個理論似的，讓我有機會更好地體驗到世人之可悲以及伴隨著出現(xiàn)的人情冷暖。然而對此我并不在意。”這里雖然沒有點名，但卻是暗指希爾伯特。

希爾伯特從未主張過自己是廣義相對論的共同創(chuàng)造者，更不用說唯一的創(chuàng)造者了。愛因斯坦擔心自己的成果被別人搶走，反應過度是可以理解的。在這方面，我們不能過于苛求。差不多一個月后，在1915年12月20日，愛因斯坦給希爾伯特寫了一封信，談到了自己的感受：“在你我之間曾經(jīng)出現(xiàn)過某種不和諧的狀況——其原因我并不想加以分析。我同與此相連的痛苦情緒進行了一番搏斗，并取得了完全的成功。我又回憶起你們那種純潔無瑕的和藹可親，請您盡量也給我這種待遇好嗎?？陀^而言，如果從這個衰敗破落的世界搞出了一點兒東西的兩個真正的男子漢（zwei wirkliche Kerle）不是彼此給對方帶來快樂，那就太遺憾了。”1916年3月，愛因斯坦訪問了格丁根大學，就住在希爾伯特家中。在后來的歲月中，希爾伯特在格丁根大學專門講授的課程中就有一門是愛因斯坦的廣義相對論。他稱“這是愛因斯坦的最偉大的成就”。

在我看來，所謂的“希爾伯特一愛因斯坦優(yōu)先權(quán)之爭”，其實是不存在的。沒有人能撼動愛因斯坦作為廣義相對論奠基者的地位，但如果沒有希爾伯特與愛因斯坦在最后關(guān)頭互別苗頭，愛因斯坦的場方程的最終形式的得出還要有些時日。在承認愛因斯坦奠基者地位的同時，同時必須承認希爾伯特在這一過程中所起的非常有效的輔助作用。尤其是最后關(guān)頭與希爾伯特的意見交換，扮演著重要的角色。