高等數(shù)學(xué)空間解析幾何教學(xué)動(dòng)畫(huà)系統(tǒng)的構(gòu)建與實(shí)踐

張敏　易正俊

【摘要】本文將Matlab軟件動(dòng)畫(huà)程序設(shè)計(jì)引入高等數(shù)學(xué)中空間解析幾何的輔助教學(xué)，構(gòu)建了形象生動(dòng)的教學(xué)動(dòng)畫(huà)系統(tǒng)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、空間想象能力和自主學(xué)習(xí)能力。為學(xué)生學(xué)習(xí)多元函數(shù)微分學(xué)、重積分和線面積分、以及其它相關(guān)后續(xù)課程奠定了基礎(chǔ)，提高在實(shí)際中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的應(yīng)用能力，逐步培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力。

【關(guān)鍵詞】空間解析幾何；教學(xué)動(dòng)畫(huà)系統(tǒng)；Matlab；多元函數(shù)微分學(xué)；重積分和線面積分

1 引 言

長(zhǎng)期以來(lái)數(shù)學(xué)都是一門(mén)以抽象、枯燥、深?yuàn)W、邏輯性強(qiáng)、難以理解而聞名的學(xué)科，尤其是空間解析幾何是一門(mén)綜合運(yùn)用知識(shí)性很強(qiáng)的學(xué)科，它要求學(xué)生具備一定的邏輯思維能力，空間想象能力以及解決實(shí)際問(wèn)題的能力，特別是空間想象能力?？臻g解析幾何部分知識(shí)是高等數(shù)學(xué)下冊(cè)的多元函數(shù)微分學(xué)、重積分、線面積分等的基礎(chǔ)，這部分的知識(shí)沒(méi)有學(xué)好，幾乎不可能深刻地理解高等數(shù)學(xué)下冊(cè)的內(nèi)容。高等數(shù)學(xué)是工科學(xué)生的必修基礎(chǔ)課程，關(guān)系到學(xué)生大學(xué)四年的學(xué)習(xí)質(zhì)量；空間想象能力是工科學(xué)生必備的基本能力，關(guān)系到后續(xù)很多專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)效果，如機(jī)械類(lèi)學(xué)生的機(jī)械制圖課程、土木類(lèi)及建筑類(lèi)專(zhuān)業(yè)的各種設(shè)計(jì)課程等。

空間解析幾何的特點(diǎn)是從想象圖形的空間形狀和位置關(guān)系，到想象動(dòng)點(diǎn)如何描述；另一個(gè)方面，從一個(gè)抽象的方程想象出一個(gè)圖形再到想象出它的特點(diǎn)?；谏鲜鎏攸c(diǎn)，在傳統(tǒng)的解析幾何的教學(xué)過(guò)程中偏重于知識(shí)的講授，教師在黑板上邊板書(shū)邊講解邊繪圖，聲行并茂，教師還可根據(jù)學(xué)生的反應(yīng)調(diào)整講解速度，這樣可以使學(xué)生跟著老師的思想，一步一步地接受和理解老師所講解的內(nèi)容，彰顯了教師的親和力和感染力。但是教師在黑板上即興繪制復(fù)雜的空間幾何曲面，往往需要花費(fèi)大量的課堂時(shí)間，即使如此，在黑板上隨手畫(huà)的圖形也不規(guī)則、不標(biāo)準(zhǔn)，使學(xué)生難以理解，達(dá)不到理想的教學(xué)效果。因此，筆者作為數(shù)學(xué)教師一直在探索一種高效、有效、直觀、能彌補(bǔ)少數(shù)空間想象能力差的學(xué)生的不足的教學(xué)方法。

多媒體技術(shù)的發(fā)展，為空間解析幾何的教學(xué)提供了新的方法和手段。國(guó)內(nèi)外的一些教師把多媒體技術(shù)引入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中[1]，常見(jiàn)的是 Powerpoint、幾何畫(huà)板（The Geometer's Sketchpad）和Flash動(dòng)畫(huà)，這些方法的應(yīng)用僅僅是解決了授課時(shí)的作圖問(wèn)題，提高了工作效力。

2 Matlab動(dòng)畫(huà)技術(shù)

Matlab是由美國(guó)Mathworks公司發(fā)布的主要面對(duì)科學(xué)計(jì)算、可視化以及交互式程序設(shè)計(jì)的高科技計(jì)算環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成在一個(gè)易于使用的視窗環(huán)境中。具有方便的數(shù)據(jù)可視化功能，可以將向量和矩陣用圖形表現(xiàn)出來(lái)，且可以對(duì)圖形進(jìn)行標(biāo)注和打印。新版的Matlab軟件增加了高層次的作圖功能，包括二維和三維的可視化、圖象處理、動(dòng)畫(huà)和函數(shù)作圖[9]?？捎糜诟叩葦?shù)學(xué)空間解析幾何的輔助教學(xué)。

在空間解析幾何教學(xué)中，Matlab不僅能將復(fù)雜的空間曲面方程以精準(zhǔn)、直觀地用三維圖形表現(xiàn)出來(lái)，還能以動(dòng)畫(huà)的形式將空間復(fù)雜曲面任意旋轉(zhuǎn)，使學(xué)生能直觀地、全方位地觀察、理解空間曲面方程所表示的曲面形狀、特征和性質(zhì)，從而增強(qiáng)了學(xué)生的空間想象能力，為學(xué)生在后續(xù)內(nèi)容重積分和線面積分的學(xué)習(xí)奠定良好的必要基礎(chǔ)，從而提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。Matlab的動(dòng)態(tài)輸出功能可將Matlab制作的動(dòng)畫(huà)以Gif格式文件存盤(pán)，可直接拷貝到多媒體教室里給學(xué)生進(jìn)行演示，不必在公共計(jì)算機(jī)上安裝Matlab專(zhuān)業(yè)軟件。

但是多媒體技術(shù)只是一種知識(shí)的載體，是一種工具，教學(xué)重點(diǎn)則是在知識(shí)內(nèi)容的選取上和表現(xiàn)形式的研究上，明確該課程教什么和怎么教的問(wèn)題以及知識(shí)的展現(xiàn)形式。作者結(jié)合Matlab技術(shù)的功能和學(xué)生的心理特點(diǎn)，力求從學(xué)生的頭腦中去建立概念，從概念中產(chǎn)生方法，最終形成一個(gè)完整的空間解析幾何教學(xué)體系。

作者在對(duì)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法作了充分研究的基礎(chǔ)上，開(kāi)發(fā)了基于Matlab的教學(xué)動(dòng)畫(huà)系統(tǒng)，用Matlab技術(shù)制作空間曲面的動(dòng)畫(huà)，并增加截痕，讓空間曲面旋轉(zhuǎn)起來(lái)，讓學(xué)生更加直觀地、全方位地理解空間曲面的方程所代表的幾何形狀，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中處于一種不疲倦的狀態(tài)，在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)更加深刻理解空間解析幾何的知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力。

3 基于Matlab的教學(xué)動(dòng)畫(huà)系統(tǒng)的構(gòu)建

（1）基于Matlab的動(dòng)畫(huà)輔助教學(xué)設(shè)計(jì)

為了探索有效的空間解析幾何教學(xué)方法，筆者探索把Matlab 動(dòng)畫(huà)技術(shù)與高等數(shù)學(xué)中空間解析幾何的傳統(tǒng)教學(xué)法進(jìn)行有機(jī)的融合，教師首先采用傳統(tǒng)的教學(xué)方法講授教材中出現(xiàn)的空間曲面方程的代數(shù)性質(zhì)及采用相應(yīng)的截痕法去了解方程代表的幾何曲面的大致形狀，再用Matlab動(dòng)畫(huà)技術(shù)制作空間曲面的動(dòng)畫(huà)給學(xué)生演示，讓學(xué)生了解空間曲面形成的過(guò)程和對(duì)整個(gè)空間曲面的形狀形成一個(gè)完整的印象，強(qiáng)化學(xué)生的空間想象能力。把這種以任課教師講解為主、適時(shí)插入Matlab制作的旋轉(zhuǎn)動(dòng)畫(huà)進(jìn)行輔助教學(xué)的教學(xué)方法稱(chēng)之為Matlab動(dòng)畫(huà)輔助教學(xué)。

（2）教學(xué)動(dòng)畫(huà)系統(tǒng)的構(gòu)建

應(yīng)用Matlab 動(dòng)畫(huà)技術(shù)，構(gòu)建了高等數(shù)學(xué)空間解析幾何教學(xué)動(dòng)畫(huà)系統(tǒng)，涵蓋了教學(xué)內(nèi)容涉及的一系列典型動(dòng)畫(huà)。

4 典型動(dòng)畫(huà)案例

以Matlab軟件為開(kāi)發(fā)平臺(tái)，根據(jù)空間解析幾何的教學(xué)特點(diǎn)，編寫(xiě)了空間解析幾何教材中所有空間曲面旋轉(zhuǎn)的動(dòng)畫(huà)制作通用程序，需要制作不同空間曲面的演示動(dòng)畫(huà)時(shí)，只需要輸入該空間曲面方程、并對(duì)該方程所包含的參數(shù)賦值后運(yùn)行該程序，就可以得到該空間曲面方程的圖形繞軸3600旋轉(zhuǎn)的演示動(dòng)畫(huà)。下面列舉雙曲拋物面（馬鞍面）和橢圓拋物面的動(dòng)畫(huà)演示效果。

（1）雙曲拋物面（馬鞍面）的動(dòng)畫(huà)制作及效果

雙曲拋物面（馬鞍面）的方程為

（ 同號(hào)）， （1）

在Matlab軟件編寫(xiě)的演示動(dòng)畫(huà)通用程序中輸入雙曲拋物面（馬鞍面）方程式（1），參數(shù)取值 ， ，運(yùn)行動(dòng)畫(huà)程序得到雙曲拋物面（馬鞍面）的三維動(dòng)畫(huà)效果，可將該動(dòng)畫(huà)以gif格式輸出，其三維動(dòng)畫(huà)的部分截圖如圖1所示。

（2）橢圓拋物面的動(dòng)畫(huà)制作及效果

橢圓拋物面的方程為 （ 同號(hào)） （2）

同樣，在Matlab軟件編寫(xiě)的演示動(dòng)畫(huà)通用程序中輸入橢圓拋物面方程式（2），參數(shù)取值 ， 時(shí)，運(yùn)行動(dòng)畫(huà)程序可得到橢圓拋物面的三維動(dòng)畫(huà)效果，同時(shí)將該動(dòng)畫(huà)以gif格式輸出，其三維動(dòng)畫(huà)的部分截圖如圖2所示。

教師在課堂上采用傳統(tǒng)的截痕法給學(xué)生介紹高等數(shù)學(xué)中所涵蓋的空間曲面的大致形狀基礎(chǔ)上，再用Matlab軟件制作空間曲面的動(dòng)畫(huà)效果進(jìn)行演示，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性得到極大的提高，課堂氣氛非?；钴S，大部分學(xué)生還有興趣想自己編寫(xiě)源程序，達(dá)到了培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的目標(biāo)。

5 教學(xué)應(yīng)用效果檢驗(yàn)

為了檢驗(yàn)Matlab動(dòng)畫(huà)技術(shù)在空間解析幾何教學(xué)中輔助教學(xué)的效果，選擇筆者所在高校2010級(jí)同一個(gè)專(zhuān)業(yè)的兩個(gè)本科教學(xué)班（每班150人左右，且在高等數(shù)學(xué)上冊(cè)的期終考試成績(jī)幾乎無(wú)差異）進(jìn)行對(duì)比教學(xué)實(shí)驗(yàn)，其中一個(gè)班采用傳統(tǒng)教學(xué)法，教師分別對(duì)不同的空間曲面，先給出曲面方程，講解方程的特點(diǎn)，同時(shí)用PPT投影該曲面方程的圖形，無(wú)空間動(dòng)畫(huà)演示，這個(gè)班在下文的敘述中稱(chēng)為普通班（簡(jiǎn)稱(chēng)A班）；另一個(gè)班是傳統(tǒng)教學(xué)法與Matlab動(dòng)畫(huà)技術(shù)輔助教學(xué)相融合，教師分別對(duì)不同的空間曲面，先給出曲面方程，講解曲面方程的特點(diǎn)，同時(shí)用PPT投影該曲面方程的圖形，讓學(xué)生對(duì)空間曲面形狀有一個(gè)基本認(rèn)識(shí)后，再播放一段事先制作好的該曲面方程對(duì)應(yīng)的圖形的三維動(dòng)畫(huà)視頻，加深學(xué)生對(duì)此曲面方程和它的圖形形狀的理解。播放完曲面方程的三維動(dòng)畫(huà)視頻之后，對(duì)前面的講解和觀看視屏后的直觀感受進(jìn)行總結(jié)，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)空間圖形的理解力和空間想象能力。這個(gè)班稱(chēng)為實(shí)驗(yàn)班（簡(jiǎn)稱(chēng)B班）。

經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的教學(xué)后，分別在兩個(gè)班對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行了座談，A班的大多數(shù)同學(xué)認(rèn)為很難想象出空間曲面的形態(tài)，對(duì)空間曲面方程難以理解，聽(tīng)起課來(lái)感覺(jué)比較枯燥，學(xué)習(xí)興趣不濃厚，導(dǎo)致該班學(xué)生普遍對(duì)空間曲面的理解也不透徹，對(duì)后續(xù)有關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)有不良影響。B班的大多數(shù)同學(xué)認(rèn)為在傳統(tǒng)的教學(xué)法的基礎(chǔ)上增加了曲面的三維旋轉(zhuǎn)動(dòng)畫(huà)演示，學(xué)生能直接觀看空間曲面的形態(tài)，加上老師的講解使學(xué)生全面理解該曲面方程的特性。由于三維旋轉(zhuǎn)動(dòng)畫(huà)的視覺(jué)沖擊，使學(xué)生的大腦產(chǎn)生興奮感從而增加學(xué)生的記憶力。學(xué)生普遍感覺(jué)在空間解析幾何教學(xué)中增加空間曲面的三維動(dòng)畫(huà)演示輔助教學(xué)環(huán)節(jié)能調(diào)節(jié)教學(xué)氣氛，加深對(duì)空間曲面方程的理解與運(yùn)用能力，增強(qiáng)學(xué)生的空間想象能力，對(duì)后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)奠定了很好的基礎(chǔ)。

任課教師普遍反映空間解析幾何教學(xué)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)，在教學(xué)過(guò)程中往往費(fèi)事費(fèi)力、反復(fù)講解，教學(xué)效果還是不明顯，學(xué)生們還是反映難以理解曲面方程的圖形的空間形態(tài)與特征，嚴(yán)重影響高等數(shù)學(xué)后續(xù)有關(guān)章節(jié)的學(xué)習(xí)。通過(guò)一學(xué)期的試驗(yàn)教學(xué)，我們深切感受到采用空間曲面的三維動(dòng)畫(huà)演示輔助教學(xué)環(huán)節(jié)能很好地彌補(bǔ)學(xué)生初學(xué)空間解析幾何時(shí)對(duì)空間想象力差的不足，通過(guò)直觀的動(dòng)畫(huà)演示，使學(xué)生一目了然，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)復(fù)雜空間曲面的認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生分析問(wèn)題的能力，同時(shí)還可以減少教師的講解工作量，達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。在后續(xù)有關(guān)三重積分和線面積分等內(nèi)容的教學(xué)中也反映出A班的理解能力和接受能力不如B班的情況。為了檢驗(yàn)A、B兩個(gè)班的教學(xué)效果，筆者針對(duì)與空間解析幾何有關(guān)的內(nèi)容，將多元函數(shù)微分學(xué)（空間曲線的切線和法平面，空間曲面的的切平面及法線，條件極值），三重積分和線面積分等內(nèi)容單獨(dú)命了一套單元測(cè)試試卷（百分制），考試成績(jī)分布如表2和圖3所示：

從上表的數(shù)據(jù)可以看出：

① B班的優(yōu)良成績(jī)?nèi)藬?shù)比A班高出25人。

② B班的平均成績(jī)比A班高出9.5分。

從以上學(xué)生考分統(tǒng)計(jì)表可以看出，采用Matlab動(dòng)畫(huà)技術(shù)輔助教學(xué)的B班測(cè)驗(yàn)成績(jī)明顯優(yōu)于傳統(tǒng)教學(xué)的A班。從測(cè)驗(yàn)試卷分析發(fā)現(xiàn)，A班學(xué)生的失分主要集中在不能正確理解曲面方程所表達(dá)的空間圖形的形狀，無(wú)法正確地確定出各變量的積分限所致。而B(niǎo)班學(xué)生具備良好的空間想象力，能正確認(rèn)識(shí)各種曲面方程的圖形的形態(tài)，能正確地確定出各變量的積分限，從而在測(cè)驗(yàn)成績(jī)單上反應(yīng)出較好的成績(jī)。

該學(xué)期期末考試也反應(yīng)出這兩個(gè)班學(xué)生考試成績(jī)的差異。期末考試題中涉及與曲面方程有關(guān)的三重積分、曲面積分和空間曲線積分考題，總分?jǐn)?shù)22分。該兩個(gè)班學(xué)生針對(duì)這三道題的得分情況如表3所示。

從期末考試中相關(guān)成績(jī)的分布表3也可以看出：在與曲面方程有關(guān)試題的考試成績(jī)也是 B班成績(jī)明顯優(yōu)于A班。從卷面分析來(lái)看，A班學(xué)生主要失分在三重積分考題：計(jì)算 ，其中 是由曲面 與平面 所圍成的閉區(qū)域。A班大多數(shù)學(xué)生因不能想象出該函數(shù)所表達(dá)的空間圖形的形狀，無(wú)法正確地確定出此題各變量的積分限，從而導(dǎo)致了在該題上失分，影響了考試成績(jī)。而B(niǎo)班在該題上失分的比例很小。

6 結(jié)束語(yǔ)

構(gòu)建的高等數(shù)學(xué)解析幾何教學(xué)動(dòng)畫(huà)系統(tǒng)，作為輔助教學(xué)資源，有利于增強(qiáng)學(xué)生的空間想象力和形象思維能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，教學(xué)質(zhì)量得到顯著提升。

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