高考數(shù)學(xué)“拾”分技巧

胡福軍

【閱讀關(guān)鍵詞】 本期通過十篇文章，分別從知識(shí)模塊和題型兩個(gè)方面對2015年高考新課標(biāo)Ⅰ卷加以剖析，分析其題型特點(diǎn)，解題技巧和誤區(qū)，讓大家提前感受下高考題，對高三復(fù)習(xí)備考作指導(dǎo).

通過幾次高考閱卷，發(fā)現(xiàn)高考閱卷和日常閱卷有稍許差別，日常閱卷總不想讓同學(xué)們得那些“泡沫分”（步驟分），而高考注重推理、思維過程，輕結(jié)果，踩點(diǎn)給分. 如果掌握了高考閱卷原則，其實(shí)還可以給同學(xué)們增加不少分?jǐn)?shù)的，下面列舉說明.

穩(wěn)拿公式分

在三角函數(shù)題上容易丟分的主要原因是計(jì)算能力差，化簡時(shí)正、負(fù)號(hào)易寫錯(cuò)，三角函數(shù)值記錯(cuò).為防止得零分，在不明最后結(jié)果是否正確的情況下寫出必用公式，仍可拿分.

例1 如圖，在[△ABC]中，[∠ABC=90°]，[AB=3]，[BC=1]，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC=90°.

（1）若[PB=12]，求[PA]；

（2）若[∠APB=150°]，求[tan∠PBA].

策略 此題是解三角形，而解三角形的主要手段便是利用正弦定理、余弦定理.在（1）中，易得∠[PBA=30°]，于是在[△PBA]中，已知兩邊夾一角求[PA]，明顯用余弦定理. 此時(shí)為防止計(jì)算錯(cuò)誤，可先寫出余弦定理公式，[PA2=PB2+AB2-2PB?ABcos]∠[PBA]，再代入數(shù)值計(jì)算，這樣就算后面計(jì)算錯(cuò)誤還是可以得分的.同理，（2）中可先寫出正弦定理[（ABsin∠APB=PBsin∠PAB）]得公式分.

跳過常規(guī)推理拿結(jié)果分

當(dāng)不能采用常規(guī)推理推導(dǎo)時(shí)，通過猜測、構(gòu)造等方法得到一個(gè)結(jié)果，并且符合題意時(shí)，可以用此方法將結(jié)果寫出，依據(jù)高考閱卷原則，結(jié)果正確應(yīng)得分.

例2 [Sn]為數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和，已知[an]>0，[an2+2an=4Sn+3].

（1）求[an]的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)[bn=1an?an+1]，求數(shù)列[bn]的前項(xiàng)和.

策略 此題對于基礎(chǔ)中等以上的同學(xué)構(gòu)不成難度，但對于基礎(chǔ)較差的，也許有難度. 大家可以依據(jù)遞推公式算出前幾項(xiàng)依次為3，5，7，…，然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜測出通項(xiàng)公式為[an=2n+1]得結(jié)果分，然后利用此結(jié)果做第（2）問，則第（2）問仍可得滿分.

越過障礙拿后續(xù)分

當(dāng)某些題的設(shè)計(jì)是環(huán)環(huán)相扣形式時(shí)，如果不能按照常規(guī)推理步步推進(jìn)，認(rèn)為第一問都不會(huì)做，第二問必不會(huì)做，這樣極有可能得零分. 按照高考閱卷原則，可以不必推理，采用猜測、代入等特殊方法得第一問結(jié)果，然后依此結(jié)果繼答第二問，第二問仍可得分.

例3 一種作圖工具如圖甲所示. [O]是滑槽[AB]的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)，且[DN=ON=1]，[MN=3]. 當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)N繞[O]轉(zhuǎn)動(dòng)一周（D不動(dòng)時(shí)，N也不動(dòng)），M處的筆尖畫出的曲線記為C. 以[O]為原點(diǎn)，[AB]所在的直線為[x]軸建立如圖乙所示的平面直角坐標(biāo)系.

（1）求曲線[C]的方程；

（2）設(shè)動(dòng)直線[l]與兩定直線[l1：x-2y=0]和[l2：x+2y=0]分別交于[P， Q]兩點(diǎn). 若直線[l]總與曲線[C]有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：[△OPQ]的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由.

甲 乙

策略 對于此題，40%的理科生得零分，60%的文科生得零分. 其主要難點(diǎn)在第（1）問，很多同學(xué)不能求出軌跡方程，導(dǎo)致第（2）問無從下手. 其實(shí)第（2）問比較常規(guī)，如果知道了軌跡方程，第（2）問還是可以得很多步驟分的.閱卷中就發(fā)現(xiàn)部分同學(xué)比較靈活，選取幾個(gè)特殊位置得到幾個(gè)特殊點(diǎn)，大膽猜測軌跡為橢圓，并由此寫出橢圓方程[x216+y28=1]，然后第（2）問按此結(jié)論做下去. 第（2）問仍可得滿分. 而很多同學(xué)都認(rèn)為第（1）問沒做出來，第（2）問根本沒動(dòng)筆.

虛補(bǔ)條件完善步驟得后續(xù)分

當(dāng)證明題中需要多個(gè)條件共同推導(dǎo)出某個(gè)結(jié)論時(shí)，如果不能全部找到這些條件，可以暫時(shí)將此條件虛補(bǔ)上去，如果后面的推導(dǎo)正確，仍可拿后面的步驟分.

例4 如圖，四邊形[ABCD]為菱形，∠[ABC=120°]，[E，F(xiàn)]是平面[ABCD]同一側(cè)的兩點(diǎn)，[BE]⊥平面[ABCD]，[DF]⊥平面[ABCD]，[BE=2DF]，[AE]⊥[EC].證明：平面[AEC]⊥平面[AFC].

策略 連接[BD]交[AC于G]，易得[EG⊥AG]，要證平面[AEC]⊥平面[AFC]，則還需證[EG]垂直平面[AFC]內(nèi)某一直線，很多同學(xué)在此卡殼. 如果實(shí)在無法想出另一個(gè)條件，可自行根據(jù)需要補(bǔ)充[EG⊥FG]，再繼續(xù)證明. 盡管丟失此處得分點(diǎn)，但不會(huì)影響后面得分.

將錯(cuò)就錯(cuò)拿補(bǔ)償分

高考重在考查同學(xué)們對知識(shí)點(diǎn)的分析、運(yùn)用能力，如果在某個(gè)地方計(jì)算錯(cuò)誤，但是思路方法完全正確，則依此錯(cuò)誤結(jié)果計(jì)算并且再?zèng)]出現(xiàn)其他錯(cuò)誤時(shí)得到的答案仍可減半得分.

例5 已知點(diǎn)[A]（0，-2），橢圓[E]：[x2a2+y2b2=1]（[a>b>0]）的離心率為[32]，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為[233]，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求[E]的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)[△OPQ]的面積最大時(shí)，求[l]的方程.

策略 依據(jù)高考給分原則，如果在前面有一處錯(cuò)誤的前提下一直計(jì)算下去并沒再犯錯(cuò)，則后面的分?jǐn)?shù)減半，最高不能超過第（2）問中分值的一半. 對于此題，有些同學(xué)在第（1）問中容易將方程寫成[x24+y23=1]，依此錯(cuò)誤方程計(jì)算第（2）問.

（2）設(shè)[P（x1，y1）]，[Q（x2，y2）]. 由題意可設(shè)直線[l]的方程為：[y=kx-2].

聯(lián)立[y=kx-2，x24+y23=1，]

化簡得，[（3+4k2）x2-16kx+4=0].

當(dāng)[Δ>0]時(shí)，解得[k2>14]，[x1+x2=16k3+4k2]，[x1x2=43+4k2]，[S=][812k2-33+4k2]等幾個(gè)關(guān)鍵式子均沒錯(cuò)，仍可按高考閱卷原則減半給分.