線性規(guī)劃在高考中常見題型及解法

任廷美

線性規(guī)劃是教材中的新增內(nèi)容，縱觀近幾年的高考試題，線性規(guī)劃的試題多以選擇題、填空題出現(xiàn)，但部分省市已出現(xiàn)大題，分值有逐年加大的趨勢。簡單線性規(guī)劃正在成為一個高考熱點(diǎn)。認(rèn)真分析研究近年各地高考試卷，可以發(fā)現(xiàn)這部分高考題大致有以下幾種類型。

一、求線性目標(biāo)函數(shù)的最值及取值范圍

例1、[2014.全國卷Ⅱ]設(shè)x，y滿足約束

條件，則z=2x-y的最大值為（ ）

A. 10 B. 8 C. 3 D. 2

【解析】畫出區(qū)域，可知區(qū)域?yàn)槿切?，?jīng)比較斜率，可知目標(biāo)函數(shù)z=2x-y在兩條直線x-3y+1=0與x+y-7=0的交點(diǎn)（5，2）處，取得最大值z=8。故選B。

點(diǎn)評：本題主要考查線性規(guī)劃求最值， 同時考查學(xué)生的作圖能力，數(shù)形結(jié)合思想及運(yùn)算求解能力，關(guān)鍵由線性約束條件畫出可行域，然后求出目標(biāo)函數(shù)的最大值，是高考?？碱}型。

變式：設(shè)x，y滿足約束條件：，則z=x-2y的取值范圍 。

點(diǎn)評：求線性規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)的取值范圍，從而轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)求最值問題。

二、求約束條件中參數(shù)的取值

例2、[2013.全國卷Ⅱ]已知a>0，x，y滿足約

束條件若z=2x+y的最小值為1，則a=（ ）。

A. B. C.1 D.2

【解析】：由題意作出所表示的區(qū)域如圖陰影部分所示，作直線2x+y=1，因?yàn)橹本€2x+y=1，與直線x=1的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），結(jié)合題意知直線過點(diǎn)（1，-1），代入得，所以。故選：B

點(diǎn)評：本題是線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用，解決這類問題的關(guān)鍵是利用樹形結(jié)合的思想方法，給目標(biāo)函數(shù)賦予一定的幾何意義。

變式：在約束條件下，當(dāng)3≤s≤5時，目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y的最大值的變化范圍是（ ）

A.[6，15] B. [7，15] C. [6，8 ] D.[7，8]

【解析】：畫出可行域如圖所示，當(dāng)3≤s<4時，目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y在B（4-s，2s-4）處取得最大值， 即zmax=3（4-s）+2（2s-4）=s+4∈[7，8）；

當(dāng)4≤s≤5時， 目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y在點(diǎn)E（0，4）處取得最大值，

即zmax=3×0+2×4=8，故z∈[7，8]，從而選D。

點(diǎn)評：本題設(shè)計(jì)有新意，作出可行域，尋求最優(yōu)解條件，然后轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)Z關(guān)于S的函數(shù)關(guān)系是求解的關(guān)鍵。

三、目標(biāo)函數(shù)含參數(shù)求最值

例3、[2013年.浙江高考]設(shè)z=kx+y，其中實(shí)數(shù)x，y滿足

若z的最大值為12，則實(shí)數(shù)k= 2 。

【解析】：已知不等式組可表示成如圖的可行域：

（1）當(dāng)時，直線y=kx+z經(jīng)過點(diǎn)M（4，4）時z最大，所以4k+4=12，得k=2（舍去）；

（2）當(dāng)時，直線y=-kx+z經(jīng)過點(diǎn)N（2，3）時z最大，

所以2k+3=12，解得 （舍去）；

（3）當(dāng)-k<0時，直線y=-kx+z經(jīng)過點(diǎn)M（4，4）時z最大，所以4k+4=12，解得k=2，符合條件，

綜上可得：k=2

點(diǎn)評：本題設(shè)計(jì)有新意，作出可行域，目標(biāo)函數(shù)的最大值轉(zhuǎn)化直線y=-kx+z截距的最大值問題，關(guān)鍵討論斜率情況判斷出最優(yōu)解的點(diǎn)是求解的關(guān)鍵。

變式：記不等式組，所表示的平面區(qū)域?yàn)镈。若直線y=a（x+3）與D有公共點(diǎn)，則求a的最大值 。

【解析】畫出可行域如圖所示，直線y=a（x+3）恒過點(diǎn)（-3，0），而a的幾何意義是直線的斜率，求a的最大值轉(zhuǎn)化為在平面區(qū)域D找一點(diǎn)與（-3，0）的連線斜率的最大值。

點(diǎn)評：作出可行域，關(guān)鍵是了解直線恒過定點(diǎn)而a的幾何意義是直線的斜率。

四、求可行域的面積

不等式組表示的平面區(qū)域的面積為（ ）

A.4 B.1 C.5 D.無窮大

【解析】如圖，作出可行域，△ABC的面積即為所求，由梯形OMBC的面積減去梯形OMAC的面積即可，故選：B

點(diǎn)評： 求可行域的面積的求解關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出可行域，再求解面積。

五、求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值及取值范圍

例4、[2014.青島質(zhì)檢]設(shè)變量x，y滿足約束條件：，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為 。

【解析】如圖，只要畫出滿足約束條件的可行域，而目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)p（0，-1）連線的斜率。顯然圖中AP的斜率最小，由解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），故目標(biāo)函數(shù)的最小值1. 答案：1

例5、已知x，y滿足以下約束條件則z=x2+y2的最大值和最小值分別是（ ）

A、13 ，1 B、13 ，2 C、13， D、，

【解析】：如圖，只要畫出滿足約束條件的可行域，而x2+y2表示可行域內(nèi)一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方。由圖易知A（2，3）是滿足條件的最優(yōu)解，即|AO|2=13。最小值為原點(diǎn)到直線2x+y-2=0的距離的平方，即為，故選C

點(diǎn)評：解決非線性規(guī)劃最優(yōu)解問題。求解關(guān)鍵是在挖掘目標(biāo)關(guān)系幾何意義的前提下，作出可行域，尋求最優(yōu)解。

（作者單位：貴州省遵義市余慶縣余慶中學(xué)）