第二類Volterra型積分方程的逐次迫近解法

楊明明

【摘要】積分方程作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)分支， 發(fā)展稍遲些， 在十九世紀(jì)三四十年代， 才零星露面。受到文[3]的啟發(fā)， 我用與討論第二類Freholm型積分方程類似的方法， 研究了第二類Volterra型積分方程的逐次迫近法。并且給出了求第二類Volterra積分方程的解的冪級(jí)數(shù)的解法。

【關(guān)鍵詞】Volterra型積分方程 ?逐次迫近解 ?Fredholm型積分方程

【中圖分類號(hào)】O175 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）08-0097-01

意大利數(shù)學(xué)家V.Volterra（1860-1940）在1896年研究了Volterra型積分方程， 作出了許多貢獻(xiàn)。他研究的方程是：

■K（x，s）φ（s）ds=f（x）

和

φ（x）=■K（x，s）φ（s）ds+f（x）

瑞典數(shù)學(xué)家I.Freholm（1866-1927）在1900年研究了更一般的情況，即 Freholm型積分方程

φ（x）=■K（x，s）φ（s）ds+f（x）

Fredholm型積分方程和Volterra型積分方程的區(qū)別在于積分限， 前者的積分上限為常數(shù)， 后者的積分上限為變數(shù)。

現(xiàn)在討論Fredholm型方程的一種形式， 即方程的核K（x， s）當(dāng)s>x是恒等于零， 這時(shí)稱它為Volterra型方程。因此Volterra型第二類方程有以下形式：

φ（x）-λ■K（x，s）φ（s）ds=f（x） ? ? ? ? （1-1）

其中φ（x）是未知函數(shù)， λ是參數(shù)， 自由項(xiàng)f（x）是[a，b]上的平方絕對(duì)可積函數(shù)，即有正常數(shù)D存在， 使得

■|f（x）|2dx=D2

下面應(yīng)用逐次迫近法解第二類Volterra型積分方程。為此先將方程寫(xiě)成下面形式：

φ（x）=f（x）+λ■K（x，s）φ（s）ds（1-2）

然后將自由項(xiàng)f（x）作為零次近似解

φ0（x）=f（x）

將φ0（x）代入方程（1-2）的右端， 并且把結(jié)果作為一次近似解：

φ1（x）=f（x）+λ■K（x，s）φ0（s）ds

再將這一近似解代入（2-2）的右端， 得到

φ2（x）=f（x）+λ■K（x，s）φ1（s）ds

依次類推， 一般地， 若已得n次近似解φn（x）， 則將這一近似解代入（1-2）的右端， 而取所得結(jié)果為n+1次近似解φn+1（x）. 于是逐次迫近法由下面的遞推關(guān)系來(lái)確定：

φn+1（x）=f（x）+λ■K（x，s）φn（s）ds ? ? ? ? ? （1-3）

如果逐次迫近法所得到的一列近似解一致收斂于某極限， 則這個(gè)極限函數(shù)就是方程（1-1）的解。如果極限不存在， 則逐次迫近法失去意義。

注意到遞推公式（1-3）， 我們有

φ1（x）=f（x）+λ■K（x，s）f（s）ds

φ2（x）=f（x）+λ■K（x，s）f（s）ds+λ2■K（x，t）dt■K（t，s）f（s）ds

記

K2（x，s）=■K（x，t）K（t，s）dt

上式又可以寫(xiě)成

φ2（x）=f（x）+λ■K（x，s）f（s）ds+λ2■K2（x，s）f（s）ds

依次類推，可以得到近似解φn（x）的一般表達(dá)式：

φn（x）=f（x）+■λm■Km（x，s）f（s）ds ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1-4）

其中Km（x，s）由下面遞推關(guān)系確定：

K1（x，s）=K（x，s）

Km（x，s）=■K（x，t）Km-1（t，s）dt

如果近似解（2-4）是收斂的， 則它的極限給出了方程（2-1）的解， 并表示為以下無(wú)窮級(jí)數(shù)的形式：

φ（x）=f（x）+■λm■Km（x，s）f（s）ds ? ? ? ? ? ? ?（1-5）

其中前n項(xiàng)和就是φn（x）

我們也可以按下面的步驟求第二類Volterra積分方程的解。

設(shè)方程（1-1）的解存在且可展開(kāi)為關(guān)于λ的冪級(jí)數(shù)：

φ（x）=ψ0（x）+ψ1（x）λ+ψ2（x）λ2+…+ψm（x）λm+…

= ?■ψm （x）λm ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1-6）

把（2-6）代入方程（1-1）， 兩端λ的同次冪的系數(shù)該相等， 得到

ψ0（x）=f（x）

ψ1（x）=■K（x，s）ψ0（s）ds

ψ2（x）=■K（x，s）ψ1（s）ds

……

ψm（x）=■K（x，s）ψm-1（s）ds ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1-7）

于是， 式（1-6）， （1-7）給出了方程（2-1）的解。

當(dāng)求得ψ0（x），ψ1（x），ψ2（x），…，ψm（x），…代入級(jí)數(shù)（1-6）， 該級(jí)數(shù)對(duì)任意λ絕對(duì)收斂和一致收斂， 于是積分方程（1-1）對(duì)任意λ存在唯一解， 且由式（1-6）給出。 如前所述， 而我們?cè)趯?duì)第二類Fredholm型積分方程運(yùn)用逐次迫近法時(shí)候λ并非任意而是必須滿足一定條件時(shí)近似解才收斂。

參考文獻(xiàn)：

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