磁聚焦與磁發(fā)散的應(yīng)用

楊先發(fā)

一束平行粒子經(jīng)有界磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后會(huì)聚于一點(diǎn)，此現(xiàn)象為磁聚焦；一束粒子從一點(diǎn)向不同方向經(jīng)有界磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后平行射出，此現(xiàn)象為磁發(fā)散。近幾年的高考與各地聯(lián)考題中頻繁出現(xiàn)此類題型，現(xiàn)從模型、母題、子題等方面來(lái)研究此類問(wèn)題，以期對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

模型：如圖1所示。當(dāng)圓形磁場(chǎng)區(qū)域半徑R與軌跡圓半徑，r相等時(shí)，從磁場(chǎng)邊界上任一點(diǎn)向各個(gè)方向射人圓形磁場(chǎng)的粒子全部平行射m，方向與過(guò)該點(diǎn)的磁場(chǎng)圓直徑垂直（磁發(fā)散）；反之，平行粒子束射入圓形磁場(chǎng)必會(huì)聚在磁場(chǎng)邊界上某點(diǎn)，且過(guò)該點(diǎn)的磁場(chǎng)圓直徑與粒子的入射速度方向垂直（磁聚焦）。

證明：如圖2所示，任意取一帶電粒子以速率v從A點(diǎn)射入時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡圓半徑為R，有界圓形磁場(chǎng)的半徑也為R，帶電粒子從區(qū)域邊界C點(diǎn)射出，其中O為有界圓形磁場(chǎng)的圓心，B為軌跡圓的圓心。圖中AO、OC、CB、BA的長(zhǎng)度均為R，故AOCB為菱形。由幾何關(guān)系可知CB∥AO，即從C點(diǎn)飛出的粒子速度方向與OA垂直，因此粒子飛出圓形有界磁場(chǎng)時(shí)速度方向均與OA垂直。反之也成立。

母題：如圖3所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上。在xOy平面內(nèi)有與y軸平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在半徑為R的圓內(nèi)還有與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。在圓的左邊放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它沿x軸正方向發(fā)射出一束具有相同質(zhì)量m、電荷量q（q>O）和初速度v的帶電微粒。已知這束帶電微粒分布在O（1）從A點(diǎn)射出的帶電微粒平行于x軸從C點(diǎn)進(jìn)入有界磁場(chǎng)區(qū)域，并從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸負(fù)方向離開，求電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向。

（2）請(qǐng)指出這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域，并說(shuō)明理由。

（3）若這束帶電微粒的初速度變?yōu)?v，那么它們與x軸相交的區(qū)域又在哪里？并說(shuō)明理由。

解析：（1）帶電微粒平行于x軸從C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，說(shuō)明帶電微粒所受重力和靜電力平衡。設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，由 得 ，方向沿y軸正方向。帶電微粒進(jìn)入磁場(chǎng)后，將做圓周運(yùn)動(dòng)，且r =R，如圖4所示。設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，由 得 ，方向垂直于紙面向外。

（2）這束帶電微粒都通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。從任一點(diǎn)P水平進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電微粒在磁場(chǎng)中做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其圓心位于P點(diǎn)正下方的Q點(diǎn)，如圖5所示。這束帶電微粒進(jìn)入磁場(chǎng)后的圓心軌跡是如圖5所示的虛線半圓，此圓的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)，故所有軌跡圓都會(huì)通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O。

（3）這束帶電微粒的初速度變?yōu)?v時(shí)，在磁場(chǎng)中經(jīng)過(guò)一段半徑為r的圓弧運(yùn)動(dòng)后，將在y軸的右方（x>O）的區(qū)域離開磁場(chǎng)并做勻速直線運(yùn)動(dòng)，如圖6所示?？拷麺點(diǎn)發(fā)射出來(lái)的帶電微粒在射出磁場(chǎng)后會(huì)射向x軸正方向的無(wú)窮遠(yuǎn)處，靠近N點(diǎn)發(fā)射出來(lái)的帶電微粒會(huì)在靠近原點(diǎn)處穿出磁場(chǎng)。所以這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域范圍是r>0。

子題1：如圖7所示，在半徑R的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，圓形區(qū)域右側(cè)有一豎直感光板，網(wǎng)弧頂點(diǎn)P有一速率為v帶正電的粒子平行于紙面進(jìn)入磁場(chǎng)，已知粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，粒子重力不計(jì)。

（1）若粒子對(duì)準(zhǔn)圓心射入，求它在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。

（2）若粒子對(duì)準(zhǔn)圓心射入，且速率為 ，求它打到感光板上時(shí)速度的水平分量。

（3）若粒子以速率u從P點(diǎn)以任意角射入，試證明它離開磁場(chǎng)后均垂直打在感光板上。

解析：（1）設(shè)帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為r，由牛頓第二定律得 ，解得 ，則它在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

（2）當(dāng)粒子的速率為 時(shí)，它在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為，√3 R，如圖8所示，可知∠PO10=∠ O1A=30°，所以帶電粒子離開磁場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)角為60。，帶電粒子打到感光板上的速度的水平分量。

（3）當(dāng)帶電粒子以速率v射人時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為R，如圖9所示，帶電粒子從區(qū)域邊界S射出，因?yàn)镻O1=O2S=PO=SO =R，所以四邊形POSO2為菱形。由幾何關(guān)系可知PO∥O2S，在S點(diǎn)的速度方向與O2S垂直，因此，帶電粒子射出磁場(chǎng)時(shí)沿水平方向，離開磁場(chǎng)后垂直打在感光板上，與入射的方向無(wú)關(guān)。

子題2：如圖10所示，質(zhì)量為m，電荷量為e的電子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿xOy平面射入第一象限內(nèi)，射入時(shí)的速度方向不同，但大小均為vo現(xiàn)在某一區(qū)域內(nèi)加一垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，若這些電子穿過(guò)磁場(chǎng)后都能垂直地射到與y軸平行的熒光屏MN上，求：

（1）熒光屏上光斑的長(zhǎng)度；

（2）所加磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。

解析：（1）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由牛頓第二定律得 ，解得 。如圖11所示，初速度沿x軸正方向的電子沿弧OA運(yùn)動(dòng)到熒光屏MN上的P點(diǎn)，初速度沿y軸正方向的電子沿弧OC，運(yùn)動(dòng)到熒光屏MN上的Q點(diǎn)，由幾何知識(shí)可得熒光屏上光斑的長(zhǎng)度PQ=。

（2）取與x軸正方向成θ角的方向射入的電子為研究對(duì)象，設(shè)其射出磁場(chǎng)的點(diǎn)為E（x，y），因其射出后能垂直打到熒光屏MN上，故有，即。又因?yàn)殡娮友貁軸正方向射人時(shí)，射出的邊界點(diǎn)為A點(diǎn)，沿y軸正方向射入時(shí)，射出的邊界點(diǎn)為C點(diǎn)，故所加最小面積的磁場(chǎng)的邊界是以（O，R）為圓心、R為半徑的圓的一部分，如圖11中實(shí)線圓弧所圍區(qū)域。因此所加磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積S

跟蹤訓(xùn)練

如圖12甲所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上。在xOy平面內(nèi)有與y-軸平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)加有與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。在坐標(biāo)原點(diǎn)O處放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它可以連續(xù)不斷地發(fā)射具有相同質(zhì)量m、電荷量q（q>0）和初速度v0的帶電微粒。已知重力加速度大小為g。

（1）當(dāng)帶電微粒發(fā)射裝置連續(xù)不斷地沿y軸正方向發(fā)射這種帶電微粒時(shí)，這些帶電微粒將沿圓形磁場(chǎng)區(qū)域的水平直徑方向離開磁場(chǎng)，并繼續(xù)沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)。求電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向。

（2）調(diào)節(jié)坐標(biāo)原點(diǎn)（）處的帶電微粒發(fā)射裝置，使其在xOy平面內(nèi)不斷地以相同速率v0沿不同方向?qū)⑦@種帶電微粒射入第一象限，如圖12乙所示?，F(xiàn)要求這些帶電微粒最終都能平行于x軸正方向運(yùn)動(dòng)，則在保證勻強(qiáng)電場(chǎng)、勻強(qiáng)磁場(chǎng)的強(qiáng)度及方向不變的條件下，求出符合條件的磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。

參考答案：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度，方向沿.y軸正方向；磁感應(yīng)強(qiáng)度 ，方向垂直于紙面向外。