三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)經(jīng)典問題聚焦

劉海洋

高考對三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的考查一般結(jié)合三角變換進(jìn)行，主要圍繞：y =A sin（ωχ+ψ）的解析式的確定、圖像變換（平移和伸縮）以及圖像和性質(zhì)的應(yīng)用，凸顯整體變量觀念和數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用。現(xiàn)聚焦2015年高考中三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)經(jīng)典問題及其求解方法。

聚焦一：三角函數(shù)的對稱性、單調(diào)性、周期性

例1， （北京文）已知函數(shù)f（x）一sin x。

（1）求f（x）的最小正周期。

（2）求f（x）在區(qū)間 上的最小值。

解析：（1）

則f（x）的最小正周期為2π。

（2）由o≤x≤ ，得 ≤ ≤π。

當(dāng) 即 時，f（x）取得最小值

感悟：對于三角函數(shù)中的最值、單調(diào)區(qū)間、周期等有關(guān)問題，常常先進(jìn)行三角變換（逆用公式、降次、利用輔助角等），將表達(dá)式化歸為y=A sin（ωχ+ψ）+B.再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解。求最值時，有時需要把sinx.或COs x看成一個整體，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題求解，或利用sin x士cOs x和的關(guān)系轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問題求解。

聚焦二：三角函數(shù)的圖像變換

例2（山東理）要得到函數(shù)y=sin的圖像，只需要將函數(shù)y=sin 4x的圖像（）。

A.向左平移π/12個單位

B.向右平移π/12個單位

C.向左平移π/3個單位

D.向右平移π/3個單位

解析：，所以要得到函數(shù) 的圖像，只需將函數(shù)sin 4x的圖像向右平移π/12個單位。

感悟：對于y=A sin（ωχ+ψ1）到.y=A sin（ωχ+ψ2）的圖像變換，設(shè) 當(dāng) 時，將y =Asin（ωχ+ψ1）的圖像上所有的點(diǎn)向左平移△x個單位；當(dāng)△x<0時，將y=A sin（ωχ+ψ1）的圖像上所有的點(diǎn)向右平移一△x個單位。

聚焦三：由圖像確定解析式

例3（新課標(biāo)版l理）函數(shù)f（x）一cos（ωχ+ψ）的部分圖像如圖1所示，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（）。，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間

感悟：由圖像確定f（x）+cos（ωχ+ψ）的解析式，觀察圖像上的所有平衡點(diǎn)（零點(diǎn)），可以根據(jù)平衡點(diǎn)是在遞增的一段圖像上還是在遞減的一段圖像上進(jìn)行計算，如在遞減的一段圖像上則代入ωχ+ψ=π/2+2mπ中計算，如在遞增的一段圖像上則代入ωχ+ψ=中計算，實(shí)質(zhì)上為正、余弦函數(shù)中的整體變量觀念的應(yīng)用：當(dāng)ωχ+ψ分別取0、 、π、 、2π時得到對應(yīng)圖像上的五個關(guān)鍵點(diǎn)。

聚焦四：用“五點(diǎn)法”確定函數(shù)的解析式

例4（湖北理）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f（x） =Asin（ωχ+ψ）（）在某一個周期內(nèi)的圖像時，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表1：

（1）請將表1中的數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式。

（2）將y=f（x）的圖像上所有的點(diǎn)向左平行移動θ（θ>O）個單位長度，得到y(tǒng)=g（x）的圖像。若y=g（x）的圖像的一個對稱中心為（），求θ的最小值。

解析：（1）根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，可得A=5，ω=2， ，則f（x） =5s，n（）。

表1中第二行從左到右的三個空格內(nèi)分別填 、 和 ，第三行中的空格內(nèi)填o。

（2）由（1）知f（x）=5sin（），則g（x）=5sin （2x+2θ一 ）。

令2x+2θ ，解得

令，解得。又θ>o，則當(dāng)k=1時，θ取得最小值 。

感悟：要熟悉用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωχ+ψ）（）在某一個周期內(nèi)的圖像的規(guī)則。

聚焦五：利用三角函數(shù)的圖像特征比較大小

例5（安徽理）已知函數(shù)f（x）=A sin（ωχ+ψ）（A、 、均為正的常數(shù)）的最小正周期為π，當(dāng)x=時，函數(shù)f（x ）取得最小值，則下列結(jié)論正確的是（）。

A.f（2）B.f（0）