數(shù)學史與小學數(shù)學教學

【摘要】20世紀70年代，數(shù)學史與數(shù)學教育之間的關(guān)系就成了數(shù)學教育的研究領(lǐng)域。在小學階段，能用于數(shù)學教學的歷史素材可以按照其作用來分類;學生對數(shù)學的理解過程和數(shù)學的歷史發(fā)展過程有一定的相似性;教師在教學中運用數(shù)學史的方式主要有附加式、復制式、順應式和重構(gòu)式等。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學史;教育取向;歷史相似性;運用方式

【中圖分類號】G623.5【文獻標識碼】A【文章編號】1005-6009（2015）17-0008-04

【作者簡介】汪曉勤，華東師范大學數(shù)學系（上海，200241）教授，博士生導師，中國科學院科學技術(shù)史博士，全國數(shù)學教育研究會副理事長，全國數(shù)學史學會副理事長，《數(shù)學教育學報》副主編。

奧地利著名物理學家和哲學家馬赫曾經(jīng)說過：“沒有任何科學教育可以不重視科學的歷史與哲學?！边@一觀點同樣適用于數(shù)學教育。也許有人會說：“我對數(shù)學史一無所知，不也把數(shù)學教得很好嗎？”誠然，在我們今天這個以分數(shù)論英雄的時代，這句話或許并沒有錯。但是，如何解決“分數(shù)可觀、情感消極”“解題無數(shù)、理解缺失”等矛盾？如何在課堂上營造“知識之諧”、展示“方法之美”、實現(xiàn)“情感之悅”，從而讓學生接受更美好的數(shù)學教育呢？把數(shù)學史融入小學數(shù)學教學，是值得我們探索的一條理想途徑。

實際上，早在20世紀70年代，數(shù)學史與數(shù)學教育之間的關(guān)系（History and Pedagogy of Mathematics，簡稱HPM）就已經(jīng)成了數(shù)學教育的一個研究領(lǐng)域。走進小學數(shù)學的世界，我們赫然發(fā)現(xiàn)，有關(guān)HPM研究的主題竟如此豐富多彩、引人入勝。限于篇幅，本文只討論其中的三個主題。

一、教育取向的數(shù)學史

數(shù)學史是一座巨大的寶藏，其中包含大量的教學素材。數(shù)學史之所以有著“高評價、低應用”的境遇，原因固然有很多種，但數(shù)學教師手頭缺乏實用的數(shù)學史素材，是最主要的原因之一。另一方面，對小學數(shù)學教學中許多問題的探討，如小數(shù)和分數(shù)孰先孰后、簡易方程的必要性等，都需要以數(shù)學史作為參照。因此，教育取向的數(shù)學史研究是HPM領(lǐng)域不可或缺的基礎(chǔ)性工作。教育取向的數(shù)學史料浩如煙海，大致可以按照其作用來分類，下面舉兩類例子。

1.“情感”取向的歷史素材。

比利時科學史家薩頓曾經(jīng)說過：“在科學和人文之間只有一座橋梁，那就是科學史，建造這座橋梁是我們這個時代的主要文化需要。”據(jù)此，我們同樣可以說：“在數(shù)學和人文之間只有一座橋梁，那就是數(shù)學史，建造這座橋梁是我們這個時代數(shù)學教育的需要?！毙W數(shù)學在培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，讓學生掌握基本知識和技能的同時，還應該傳遞數(shù)學背后的人文精神，為塑造學生的人格品質(zhì)提供正能量。數(shù)學是人類的文化活動，不同時空的數(shù)學家都對數(shù)學的發(fā)展做出過貢獻，他們的勤奮、執(zhí)著、堅韌、擔當，他們對真、善、美的不懈追求，無不是我們寶貴的精神財富。

古希臘數(shù)學家泰勒斯勤于天文觀測，堅持不懈，風雨無阻，有一次竟不慎掉入水溝，他通過拼圖發(fā)現(xiàn)了三角形內(nèi)角和定理。中國南北朝時期的數(shù)學家祖暅（祖沖之之子）在思考問題時專心致志，天打響雷都聽不見，走路時竟撞上仆射徐勉，徐勉叫喚后才醒悟過來，他最終解決了球體積的難題。17世紀英國哲學家霍布斯40歲開始學習數(shù)學，最終成為數(shù)學家。19世紀蘇格蘭數(shù)學家華里司逆境成才，從一名書籍裝幀的學徒工到愛丁堡大學數(shù)學教授，譜寫了人生的傳奇。

溝通數(shù)學與人文，能更全面地發(fā)揮數(shù)學的育人價值。但是，在小學數(shù)學課堂上太缺乏數(shù)學故事了，需要我們不斷從數(shù)學史文獻中去發(fā)掘、整理和加工。

2.“方法”取向的歷史素材。

每一個公式和法則都有它的歷史，無論是它背后的思想方法，還是它從不完善到完善的演進過程，都能為教學提供借鑒。以“分數(shù)除法”為例，成書于1世紀的《九章算術(shù)》采用通分法：■÷■=■÷■=■;而印度數(shù)學家婆羅摩笈多（7世紀）和婆什迦羅（12世紀）采用我們熟悉的顛倒除數(shù)分子分母法：■÷■=■×■=■;這種方法在15—16世紀的歐洲卻鮮為人知。歐洲人除了采用《九章算術(shù)》中的通分法，還采用了很流行的交叉相乘法[1]：■。直到17世紀，顛倒除數(shù)分子分母法才逐漸被人們廣泛采用。

從教材中我們可能只能看見一棵樹，從歷史中我們卻可能會看到一片森林。

二、歷史相似性

所謂歷史相似性，是指人對數(shù)學的理解過程與數(shù)學的歷史發(fā)展過程具有一定的平行性，這是數(shù)學史融入數(shù)學教學的理論基礎(chǔ)。但是，學生對某個數(shù)學概念的理解是否真的存在歷史相似性，需要我們做深入細致的實證研究。如果歷史相似性得到印證，那么，數(shù)學史就成了一面鏡子，通過這面鏡子，教師可以預測學生對有關(guān)知識點可能會產(chǎn)生的認知困難，從而制訂合理的教學策略。

例如學生對“除以零”的理解。數(shù)學上為什么要做出這樣的規(guī)定？其實，歷史上數(shù)學家對這個問題也多有困惑。婆羅摩笈多認為0÷0=0;摩訶毗羅認為a÷0=a（a≠0）;釋律帕提認為a÷0=0（a≠0）;而婆什迦羅雖然用相當于我們今天的專有名詞來表示a÷0的結(jié)果，但他認為（a×0）÷0=a。

Reys和Grouws對中學生進行訪談[2]，一位八年級學生認為0÷0=0，并解釋說：“一無所有除以一無所有，什么都得不到?！盬heeler和Feghali對52名職前小學教師的研究發(fā)現(xiàn)[3]：職前小學教師在“除以零”的理解上存在困難，67%的職前教師認為0÷0=0。Ball對19名職前中小學教師進行訪談[4]，發(fā)現(xiàn)很少有人能合理解釋為什么0不能作為除數(shù)。Even和Tirosh對33名以色列中學數(shù)學教師進行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)很多教師對于“為何4÷0無意義”的解釋是“一種規(guī)定”[5]。Crespo和Nicol在教學中發(fā)現(xiàn)[6]：小學生和職前小學教師普遍認為5÷0=0。上述研究表明，今天學生對于“除以零”的困惑或誤解確實具有歷史相似性。

三、教學實踐

要讓小學數(shù)學教師充分認識和普遍接受HPM，首先要讓他們看到成功的教學案例。HPM視角下的數(shù)學教學，不能生硬地為歷史而歷史，必須兼顧知識點的歷史發(fā)生、發(fā)展順序、邏輯順序以及兒童的心理發(fā)生、發(fā)展順序。數(shù)學史的運用方式也并不是單一的，有附加式、復制式、順應式和重構(gòu)式，視課堂需求而定。

附加式是指在課堂上講述數(shù)學故事、人物生平、歷史背景等。例如：在引入“大數(shù)”時，講述古希臘數(shù)學家阿基米德數(shù)沙的故事;在講授“三角形的內(nèi)角和”時，講述法國數(shù)學家帕斯卡少年時代通過折紙證明三角形內(nèi)角和定理的故事;在講授“用字母表示數(shù)”時，講述“未知數(shù)為什么用x來表示”的故事;在引入“眾數(shù)”時，講述古希臘伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭中普拉提亞人數(shù)城墻磚塊的故事;等等。

復制式是指在教學中直接使用歷史上的數(shù)學問題。例如，人教版六上“數(shù)學廣角”單元即含有兩個古代數(shù)學名題：一是《孫子算經(jīng)》中的“雉兔同籠”問題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”一是《算法統(tǒng)宗》中的“僧分饅頭”問題：“一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭。小僧三人分一個，大小和尚得幾?。俊惫糯鷶?shù)學名題猶如陳年佳釀，必能在課堂上散發(fā)醇香。

順應式是指將數(shù)學史上的數(shù)學問題進行改編，或利用數(shù)學史材料編制數(shù)學問題，以順應當前教學的需要。例如，歐幾里得《幾何原本》第1卷命題37為：“同底且位于相同的兩條平行線之間的三角形（面積）相等?！盵8]利用該命題，可編制如下問題（人教版五上）：圖1中有幾對面積相等的三角形？（陰影部分的一對三角形被稱為“歐幾里得蝴蝶”）利用中國古代的七巧板，可編制如下分數(shù)問題（人教版五下）：圖2中每個圖形的面積占整個正方形面積的幾分之幾？圖形7和4共占幾分之幾？圖形3、4、5共占幾分之幾？

很多概念如果直接按照歷史進行教學，可能并不自然，因而需要對歷史進行重構(gòu)。以“負數(shù)”為例，我們知道，中國古代數(shù)學家因為解方程的需要而率先使用負數(shù)。漢代數(shù)學名著《九章算術(shù)》方程章第3題所解的三元一次方程組問題是2x+y=13y+z=14z+x=1，第三個方程兩邊乘2，與第一個方程相減，出現(xiàn)了正數(shù)不夠用的情形：y的系數(shù)等于0-1?！毒耪滤阈g(shù)》中不僅有正負數(shù)，還建立了正負數(shù)加減法則，即“正負術(shù)”。加法法則為：“異名相除，同名相益;正無人正之，負無人負之?！奔串愄杻蓴?shù)相加，絕對值相減;同號兩數(shù)相加，絕對值相加;0加正數(shù)為正，0加負數(shù)為負。類似地，減法法則為：“同名相除，異名相益;正無人負之，負無人正之?！蔽簳x時期數(shù)學家劉徽在注釋“正負術(shù)”時說：“今兩算得失相反，要令正負以名之?！痹谖鞣?，13世紀意大利數(shù)學家斐波那契認為：方程x+36=33沒有根，除非第一個人（x）欠債3個錢幣。16世紀德國數(shù)學家斯蒂菲爾指出：零減去一個大于零的數(shù)所得結(jié)果“小于一無所有”，是“荒謬的數(shù)”。17世紀法國數(shù)學家帕斯卡則認為：0減去4純屬無稽之談。18世紀，仍有數(shù)學家感到困惑：世界上還有什么東西會“小于一無所有”？直到19世紀，還有數(shù)學家不接受負數(shù)。顯然，我們不能直接通過一元一次方程或二元一次方程組來引入負數(shù);而歷史又告訴我們，學生對于“直接從零中減去一個正數(shù)”這樣的運算會感到困惑，所以也不能用它來引入負數(shù)，因此，只能通過重構(gòu)式了。

四、結(jié)語

數(shù)學史有助于營造“知識之諧”，展現(xiàn)“方法之美”，成就“情感之悅”，實為數(shù)學教育所不可或缺。數(shù)學史與數(shù)學教育之間的關(guān)系博大精深，足以成為小學數(shù)學教育中一個前景無限廣闊的研究領(lǐng)域。然而，無論是文獻研究還是實證研究，目前我們所見到的有價值的成果還是很有限的。雖然蔡宏圣老師和他的團隊篳路藍縷，取得了引人注目的成績，但一個“小學HPM學術(shù)共同體”還有待建立。我們熱切期待有更多的小學數(shù)學教育研究者和一線教師關(guān)注HPM、走進HPM、研究HPM、實踐HPM。■

【參考文獻】

[1]Smith，D.E.（1925）.History of Mathematics（Vol.2）.Boston：Ginn & Company，1925.226-227.

[2]Reys，R.E.& Grouws，D.A.（1975）.Division involving zero：Some revealing thoughts from interviewing children.School Science and Mathematics，75（7）：593-605.

[3]Wheeler，M.M.& Feghali，I.（1983）.Much ado about nothing：Preservice elementary school teachers concept of zero.Journal for Research in Mathematics Education，14（3）：147-155.

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[5]Even，R.，& Tirosh，D.（1995）. Subject-matter knowledge and knowledge about students as sources of teacher presentations of the subject-matter.Educational Studies in Mathematics，29：1-20.

[6]Crespo，S.，Nicol，C.（2006）.Challenging preservice teachers mathematical understanding：the case of division by zero.School Science and Mathematics，106（2）：84-97.

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