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    數(shù)學史與小學數(shù)學教學

    2015-05-30 10:48:04汪曉勤
    江蘇教育 2015年9期
    關(guān)鍵詞:運用方式數(shù)學史

    【摘要】20世紀70年代,數(shù)學史與數(shù)學教育之間的關(guān)系就成了數(shù)學教育的研究領(lǐng)域。在小學階段,能用于數(shù)學教學的歷史素材可以按照其作用來分類;學生對數(shù)學的理解過程和數(shù)學的歷史發(fā)展過程有一定的相似性;教師在教學中運用數(shù)學史的方式主要有附加式、復制式、順應式和重構(gòu)式等。

    【關(guān)鍵詞】數(shù)學史;教育取向;歷史相似性;運用方式

    【中圖分類號】G623.5【文獻標識碼】A【文章編號】1005-6009(2015)17-0008-04

    【作者簡介】汪曉勤,華東師范大學數(shù)學系(上海,200241)教授,博士生導師,中國科學院科學技術(shù)史博士,全國數(shù)學教育研究會副理事長,全國數(shù)學史學會副理事長,《數(shù)學教育學報》副主編。

    奧地利著名物理學家和哲學家馬赫曾經(jīng)說過:“沒有任何科學教育可以不重視科學的歷史與哲學?!边@一觀點同樣適用于數(shù)學教育。也許有人會說:“我對數(shù)學史一無所知,不也把數(shù)學教得很好嗎?”誠然,在我們今天這個以分數(shù)論英雄的時代,這句話或許并沒有錯。但是,如何解決“分數(shù)可觀、情感消極”“解題無數(shù)、理解缺失”等矛盾?如何在課堂上營造“知識之諧”、展示“方法之美”、實現(xiàn)“情感之悅”,從而讓學生接受更美好的數(shù)學教育呢?把數(shù)學史融入小學數(shù)學教學,是值得我們探索的一條理想途徑。

    實際上,早在20世紀70年代,數(shù)學史與數(shù)學教育之間的關(guān)系(History and Pedagogy of Mathematics,簡稱HPM)就已經(jīng)成了數(shù)學教育的一個研究領(lǐng)域。走進小學數(shù)學的世界,我們赫然發(fā)現(xiàn),有關(guān)HPM研究的主題竟如此豐富多彩、引人入勝。限于篇幅,本文只討論其中的三個主題。

    一、教育取向的數(shù)學史

    數(shù)學史是一座巨大的寶藏,其中包含大量的教學素材。數(shù)學史之所以有著“高評價、低應用”的境遇,原因固然有很多種,但數(shù)學教師手頭缺乏實用的數(shù)學史素材,是最主要的原因之一。另一方面,對小學數(shù)學教學中許多問題的探討,如小數(shù)和分數(shù)孰先孰后、簡易方程的必要性等,都需要以數(shù)學史作為參照。因此,教育取向的數(shù)學史研究是HPM領(lǐng)域不可或缺的基礎(chǔ)性工作。教育取向的數(shù)學史料浩如煙海,大致可以按照其作用來分類,下面舉兩類例子。

    1.“情感”取向的歷史素材。

    比利時科學史家薩頓曾經(jīng)說過:“在科學和人文之間只有一座橋梁,那就是科學史,建造這座橋梁是我們這個時代的主要文化需要。”據(jù)此,我們同樣可以說:“在數(shù)學和人文之間只有一座橋梁,那就是數(shù)學史,建造這座橋梁是我們這個時代數(shù)學教育的需要?!毙W數(shù)學在培養(yǎng)學生的數(shù)學思維,讓學生掌握基本知識和技能的同時,還應該傳遞數(shù)學背后的人文精神,為塑造學生的人格品質(zhì)提供正能量。數(shù)學是人類的文化活動,不同時空的數(shù)學家都對數(shù)學的發(fā)展做出過貢獻,他們的勤奮、執(zhí)著、堅韌、擔當,他們對真、善、美的不懈追求,無不是我們寶貴的精神財富。

    古希臘數(shù)學家泰勒斯勤于天文觀測,堅持不懈,風雨無阻,有一次竟不慎掉入水溝,他通過拼圖發(fā)現(xiàn)了三角形內(nèi)角和定理。中國南北朝時期的數(shù)學家祖暅(祖沖之之子)在思考問題時專心致志,天打響雷都聽不見,走路時竟撞上仆射徐勉,徐勉叫喚后才醒悟過來,他最終解決了球體積的難題。17世紀英國哲學家霍布斯40歲開始學習數(shù)學,最終成為數(shù)學家。19世紀蘇格蘭數(shù)學家華里司逆境成才,從一名書籍裝幀的學徒工到愛丁堡大學數(shù)學教授,譜寫了人生的傳奇。

    溝通數(shù)學與人文,能更全面地發(fā)揮數(shù)學的育人價值。但是,在小學數(shù)學課堂上太缺乏數(shù)學故事了,需要我們不斷從數(shù)學史文獻中去發(fā)掘、整理和加工。

    2.“方法”取向的歷史素材。

    每一個公式和法則都有它的歷史,無論是它背后的思想方法,還是它從不完善到完善的演進過程,都能為教學提供借鑒。以“分數(shù)除法”為例,成書于1世紀的《九章算術(shù)》采用通分法:■÷■=■÷■=■;而印度數(shù)學家婆羅摩笈多(7世紀)和婆什迦羅(12世紀)采用我們熟悉的顛倒除數(shù)分子分母法:■÷■=■×■=■;這種方法在15—16世紀的歐洲卻鮮為人知。歐洲人除了采用《九章算術(shù)》中的通分法,還采用了很流行的交叉相乘法[1]:■。直到17世紀,顛倒除數(shù)分子分母法才逐漸被人們廣泛采用。

    從教材中我們可能只能看見一棵樹,從歷史中我們卻可能會看到一片森林。

    二、歷史相似性

    所謂歷史相似性,是指人對數(shù)學的理解過程與數(shù)學的歷史發(fā)展過程具有一定的平行性,這是數(shù)學史融入數(shù)學教學的理論基礎(chǔ)。但是,學生對某個數(shù)學概念的理解是否真的存在歷史相似性,需要我們做深入細致的實證研究。如果歷史相似性得到印證,那么,數(shù)學史就成了一面鏡子,通過這面鏡子,教師可以預測學生對有關(guān)知識點可能會產(chǎn)生的認知困難,從而制訂合理的教學策略。

    例如學生對“除以零”的理解。數(shù)學上為什么要做出這樣的規(guī)定?其實,歷史上數(shù)學家對這個問題也多有困惑。婆羅摩笈多認為0÷0=0;摩訶毗羅認為a÷0=a(a≠0);釋律帕提認為a÷0=0(a≠0);而婆什迦羅雖然用相當于我們今天的專有名詞來表示a÷0的結(jié)果,但他認為(a×0)÷0=a。

    Reys和Grouws對中學生進行訪談[2],一位八年級學生認為0÷0=0,并解釋說:“一無所有除以一無所有,什么都得不到?!盬heeler和Feghali對52名職前小學教師的研究發(fā)現(xiàn)[3]:職前小學教師在“除以零”的理解上存在困難,67%的職前教師認為0÷0=0。Ball對19名職前中小學教師進行訪談[4],發(fā)現(xiàn)很少有人能合理解釋為什么0不能作為除數(shù)。Even和Tirosh對33名以色列中學數(shù)學教師進行調(diào)查,發(fā)現(xiàn)很多教師對于“為何4÷0無意義”的解釋是“一種規(guī)定”[5]。Crespo和Nicol在教學中發(fā)現(xiàn)[6]:小學生和職前小學教師普遍認為5÷0=0。上述研究表明,今天學生對于“除以零”的困惑或誤解確實具有歷史相似性。

    三、教學實踐

    要讓小學數(shù)學教師充分認識和普遍接受HPM,首先要讓他們看到成功的教學案例。HPM視角下的數(shù)學教學,不能生硬地為歷史而歷史,必須兼顧知識點的歷史發(fā)生、發(fā)展順序、邏輯順序以及兒童的心理發(fā)生、發(fā)展順序。數(shù)學史的運用方式也并不是單一的,有附加式、復制式、順應式和重構(gòu)式,視課堂需求而定。

    附加式是指在課堂上講述數(shù)學故事、人物生平、歷史背景等。例如:在引入“大數(shù)”時,講述古希臘數(shù)學家阿基米德數(shù)沙的故事;在講授“三角形的內(nèi)角和”時,講述法國數(shù)學家帕斯卡少年時代通過折紙證明三角形內(nèi)角和定理的故事;在講授“用字母表示數(shù)”時,講述“未知數(shù)為什么用x來表示”的故事;在引入“眾數(shù)”時,講述古希臘伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭中普拉提亞人數(shù)城墻磚塊的故事;等等。

    復制式是指在教學中直接使用歷史上的數(shù)學問題。例如,人教版六上“數(shù)學廣角”單元即含有兩個古代數(shù)學名題:一是《孫子算經(jīng)》中的“雉兔同籠”問題:“今有雉兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雉兔各幾何?”一是《算法統(tǒng)宗》中的“僧分饅頭”問題:“一百饅頭一百僧,大僧三個更無爭。小僧三人分一個,大小和尚得幾?。俊惫糯鷶?shù)學名題猶如陳年佳釀,必能在課堂上散發(fā)醇香。

    順應式是指將數(shù)學史上的數(shù)學問題進行改編,或利用數(shù)學史材料編制數(shù)學問題,以順應當前教學的需要。例如,歐幾里得《幾何原本》第1卷命題37為:“同底且位于相同的兩條平行線之間的三角形(面積)相等?!盵8]利用該命題,可編制如下問題(人教版五上):圖1中有幾對面積相等的三角形?(陰影部分的一對三角形被稱為“歐幾里得蝴蝶”)利用中國古代的七巧板,可編制如下分數(shù)問題(人教版五下):圖2中每個圖形的面積占整個正方形面積的幾分之幾?圖形7和4共占幾分之幾?圖形3、4、5共占幾分之幾?

    很多概念如果直接按照歷史進行教學,可能并不自然,因而需要對歷史進行重構(gòu)。以“負數(shù)”為例,我們知道,中國古代數(shù)學家因為解方程的需要而率先使用負數(shù)。漢代數(shù)學名著《九章算術(shù)》方程章第3題所解的三元一次方程組問題是2x+y=13y+z=14z+x=1,第三個方程兩邊乘2,與第一個方程相減,出現(xiàn)了正數(shù)不夠用的情形:y的系數(shù)等于0-1?!毒耪滤阈g(shù)》中不僅有正負數(shù),還建立了正負數(shù)加減法則,即“正負術(shù)”。加法法則為:“異名相除,同名相益;正無人正之,負無人負之?!奔串愄杻蓴?shù)相加,絕對值相減;同號兩數(shù)相加,絕對值相加;0加正數(shù)為正,0加負數(shù)為負。類似地,減法法則為:“同名相除,異名相益;正無人負之,負無人正之?!蔽簳x時期數(shù)學家劉徽在注釋“正負術(shù)”時說:“今兩算得失相反,要令正負以名之?!痹谖鞣?,13世紀意大利數(shù)學家斐波那契認為:方程x+36=33沒有根,除非第一個人(x)欠債3個錢幣。16世紀德國數(shù)學家斯蒂菲爾指出:零減去一個大于零的數(shù)所得結(jié)果“小于一無所有”,是“荒謬的數(shù)”。17世紀法國數(shù)學家帕斯卡則認為:0減去4純屬無稽之談。18世紀,仍有數(shù)學家感到困惑:世界上還有什么東西會“小于一無所有”?直到19世紀,還有數(shù)學家不接受負數(shù)。顯然,我們不能直接通過一元一次方程或二元一次方程組來引入負數(shù);而歷史又告訴我們,學生對于“直接從零中減去一個正數(shù)”這樣的運算會感到困惑,所以也不能用它來引入負數(shù),因此,只能通過重構(gòu)式了。

    四、結(jié)語

    數(shù)學史有助于營造“知識之諧”,展現(xiàn)“方法之美”,成就“情感之悅”,實為數(shù)學教育所不可或缺。數(shù)學史與數(shù)學教育之間的關(guān)系博大精深,足以成為小學數(shù)學教育中一個前景無限廣闊的研究領(lǐng)域。然而,無論是文獻研究還是實證研究,目前我們所見到的有價值的成果還是很有限的。雖然蔡宏圣老師和他的團隊篳路藍縷,取得了引人注目的成績,但一個“小學HPM學術(shù)共同體”還有待建立。我們熱切期待有更多的小學數(shù)學教育研究者和一線教師關(guān)注HPM、走進HPM、研究HPM、實踐HPM。■

    【參考文獻】

    [1]Smith,D.E.(1925).History of Mathematics(Vol.2).Boston:Ginn & Company,1925.226-227.

    [2]Reys,R.E.& Grouws,D.A.(1975).Division involving zero:Some revealing thoughts from interviewing children.School Science and Mathematics,75(7):593-605.

    [3]Wheeler,M.M.& Feghali,I.(1983).Much ado about nothing:Preservice elementary school teachers concept of zero.Journal for Research in Mathematics Education,14(3):147-155.

    [4]Ball,D.L.(1990). Prospective elementary and secondary teachers understanding of division.Journal for Research in Mathematics Education,21:132-144.

    [5]Even,R.,& Tirosh,D.(1995). Subject-matter knowledge and knowledge about students as sources of teacher presentations of the subject-matter.Educational Studies in Mathematics,29:1-20.

    [6]Crespo,S.,Nicol,C.(2006).Challenging preservice teachers mathematical understanding:the case of division by zero.School Science and Mathematics,106(2):84-97.

    [7]Keiser,J.M.(2004).Struggles with developing the concept of angle:comparing sixth-grade students discourse to the history of angle concept.Mathematical Thinking and Learning,6(3):285-306.

    [8]Heath,T.L.(1968).The Thirteen Books of Euclids Elements(Vol.1).Cambridge:The University Press.332.

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