基于學(xué)生發(fā)展的課堂教學(xué)研究：知識·思維·思想
——以《用字母表示數(shù)》為例

陶紅強(qiáng)

（溧陽市文化小學(xué)，江蘇 溧陽 213300）

我們都知道，教學(xué)和教育的根本目的是為了促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，也可以說促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展是我們一切教育教學(xué)的根本出發(fā)點(diǎn)。要把這個目標(biāo)落實(shí)到位，離不開知識的學(xué)習(xí)、思維的發(fā)展和思想的形成。筆者結(jié)合《用字母表示數(shù)》這一課，從知識、思維和思想三個層面來簡要談?wù)勅绾未龠M(jìn)學(xué)生的發(fā)展。其實(shí)，關(guān)于《用字母表示數(shù)》這一課，筆者本人也經(jīng)歷了知識、思維和思想三次磨課，從中做了一些思考，接下來和大家一起分享。

一、在知識的學(xué)習(xí)中促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展

無論是思維的培養(yǎng)、還是思想的形成，都離不開知識的學(xué)習(xí)。因?yàn)?，思維和思想都是學(xué)生在知識的學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)和發(fā)展起來的，知識學(xué)習(xí)是一個載體。所以，我們的教學(xué)要重視知識的學(xué)習(xí)。那么《用字母表示數(shù)》這一課一個非常重要的知識目標(biāo)就是讓學(xué)生感受到用字母表示數(shù)的必要性，并讓學(xué)生體會用字母表示數(shù)的抽象概括過程。這個知識目標(biāo)其實(shí)包含了概念教學(xué)的一個基本問題：為什么要引進(jìn)這個概念，這個概念有什么作用，具體到《用字母表示數(shù)》這一課來講就是用字母表示數(shù)的必要性。那么用字母表示數(shù)的必要性是什么呢？要解決這個問題，我們就不得不談到代數(shù)思維。《用字母表示數(shù)》是學(xué)生從算術(shù)思維到代數(shù)思維的一個重要轉(zhuǎn)變。而代數(shù)思維的核心是一般化思想，也就是說代數(shù)思維所表達(dá)的是一種普遍的、抽象的、概括的思想。所以，用字母表示數(shù)的必要性就是字母的概括作用。進(jìn)一步說，字母的概括作用包括兩方面：一是字母單獨(dú)出現(xiàn)，所起的概括作用；二是含有字母的式子所起的概括作用。其中，理解字母單獨(dú)出現(xiàn)所起的概括作用是理解含有字母式子概括作用的前提和基礎(chǔ)，也就是說，只有充分理解單獨(dú)字母的概括作用才能更好地理解含有字母式子的概括作用?；谝陨纤伎?，筆者設(shè)計(jì)了這樣一個問題：“你想擺幾個這樣的三角形？擺得完嗎？能不能用一個式子把我們剛才寫的和沒寫的全部概括出來？”這樣一來學(xué)生便能深刻體會到字母和含有字母的式子能概括出所有的情況。接下來，在比較“a×3”與“4×3”兩個式子的意義區(qū)別時，先引導(dǎo)學(xué)生思考“a×3”中的字母a可以表示哪些數(shù)，從而體會到字母a的概括性，并以此為基礎(chǔ)讓學(xué)生進(jìn)一步深刻體會到“a×3”所表達(dá)的普遍性、概括性。其實(shí)，這兩個式子也是算術(shù)與代數(shù)的區(qū)別。

以上是筆者對字母的概括性的一些思考，那么如何讓學(xué)生經(jīng)歷用字母表示數(shù)的抽象概括過程。為了更好地說明這一問題，我們首先來比較一下，書上例題與所教的例題的區(qū)別。書上關(guān)于例題的處理如下：從具體擺1個三角形到4個三角形后，直接問如果是擺a個三角形，小棒根數(shù)是（）×（），而提問的是“能不能想個辦法概括出已寫的和沒寫的式子”，進(jìn)而基于學(xué)生答案a×3中的a表示什么，讓學(xué)生思考a×3表示什么。這樣處理，筆者個人覺得能更加讓學(xué)生經(jīng)歷并體驗(yàn)到用字母表示數(shù)的一個抽象概括過程。而書中直接說如果用a表示三角形個數(shù)，小棒根數(shù)怎么列式，這樣學(xué)生自己沒有經(jīng)歷三角形個數(shù)的概括過程，進(jìn)而也沒有經(jīng)歷小棒根數(shù)的概括過程。這里的字母只是三角形的一個替代物而已，它代表的是三角形這個具體的物體而已。事實(shí)上這樣的字母仍屬于算術(shù)思維，而不是代數(shù)思維，因?yàn)榇鷶?shù)思維下的字母意義表示的是一個變量。而學(xué)生只有真正經(jīng)歷了字母表示數(shù)的概括過程，他才能真正理解字母作為一個變量的意義。

二、在思維的培養(yǎng)中促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展

教學(xué)的最終目的不是為了學(xué)習(xí)知識，而是為了培養(yǎng)能獨(dú)立思考的人。所以，發(fā)展學(xué)生的思維是我們教學(xué)的一個重要目的。那么，什么是思維呢？思維就是人腦對客觀事物的間接的、概括的反映，是人腦對客觀事物本質(zhì)的、內(nèi)在規(guī)律的反映。既然思維是對事物本質(zhì)的一種反映，所以我們只有抓住本質(zhì)，才能發(fā)展學(xué)生的思維。

1.抓住知識本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展

抓住本質(zhì)，首先要抓住知識本質(zhì)。《用字母表示數(shù)》這一課的知識本質(zhì)是什么呢？就是有兩個相關(guān)聯(lián)的量，用一個字母表示其中一個量，用含有字母的式子表示另一個量，而數(shù)量關(guān)系就是這兩個量的紐帶。所以在教學(xué)中，我們應(yīng)緊緊圍繞數(shù)量關(guān)系這一知識本質(zhì)來展開教學(xué)，從多個角度引導(dǎo)學(xué)生理解這一本質(zhì)性的含義。本著這一思考，進(jìn)行了第二次試教，即在思維的發(fā)展中促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。與第一次試教相比，主要有這么幾個變化。第一個變化就是在用含有字母的式子表示小棒根數(shù)之前，先總結(jié)了一下“怎么求小棒根數(shù)”，從而得出數(shù)量關(guān)系“三角形個數(shù)×3”。為什么要進(jìn)行這一變化呢？首先，代數(shù)概念具有二重性：過程性和對象性。所謂過程性就是從運(yùn)算的角度來看，它反映的往往是一種操作程序；所謂對象性就是把它作為一種結(jié)果來看。在第一次試教時，當(dāng)問到“a×3”表示什么時，學(xué)生大都能回答表示小棒的根數(shù)。這就是將“a×3”作為一種結(jié)果來理解，體現(xiàn)的是概念的對象性。而當(dāng)問到“a×3”還可以告訴我們哪些信息時，學(xué)生卻回答不出“a×3”還可以反映出“小棒根數(shù)是三角形個數(shù)的3倍”，也就是說學(xué)生對式子“a×3”的過程性理解比較困難。講到這里又引發(fā)另一個問題：既然學(xué)生不理解小棒根數(shù)與三角形個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，怎么能概括出式子“a×3”的？通過分析，我們不難發(fā)現(xiàn)學(xué)生是根據(jù)1×3、2×3、3×3、4×3，這些具體式子類推的，而不是根據(jù)數(shù)量關(guān)系來寫的。這種思維水平是比較低層次的，也不利于學(xué)生對代數(shù)概念的全面理解。為此，為了引導(dǎo)學(xué)生從類推到運(yùn)用數(shù)量關(guān)系來寫含有字母的式子，特意做了以上變化。但問題是，雖然是這么考慮的，學(xué)生是不是如我所愿，這里仍是個未知數(shù)。因?yàn)殡m然添加了“三角形個數(shù)×3”這一數(shù)量關(guān)系，但學(xué)生仍可選擇用類推的方式寫。為此就引發(fā)第二個變化：在年齡問題中，增加“如果老師的年齡用y來表示，同學(xué)的年齡怎么表示”這一環(huán)節(jié)。如果說以前所有的環(huán)節(jié)學(xué)生都可以選擇用類推的方式來寫的話，那么這里學(xué)生只能根據(jù)“同學(xué)年齡比老師年齡小20歲”這一數(shù)量關(guān)系來寫。所以，這個環(huán)節(jié)既是對之前學(xué)習(xí)的一種檢驗(yàn)、鞏固，也是一次新的學(xué)習(xí)。

2.抓住學(xué)習(xí)實(shí)質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展

以上是從知識的本質(zhì)來說明如何發(fā)展學(xué)生的思維。但知識終究是客體，是獨(dú)立于學(xué)習(xí)主體之外的。所以，我們有必要從學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)來說說如何促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)就是學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，能動地建立自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并促進(jìn)自己的全面發(fā)展。而要幫學(xué)生建立完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，就必須給學(xué)生呈現(xiàn)一個完整的知識結(jié)構(gòu)，具體到概念教學(xué)來說，就是給學(xué)生呈現(xiàn)一個系統(tǒng)的概念框架。為此，在第一次試教的基礎(chǔ)上，做了如下變化：

在撲克牌活動之后，引導(dǎo)學(xué)生回憶已學(xué)的運(yùn)算律和平面圖形的面積公式。

[案例]體會用字母表示數(shù)

（一）體會用字母表示確定的數(shù)

手舉撲克牌（A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K），問：老師手里拿的是什么？在這里撲克牌中的A表示幾？J、Q、K呢？

小結(jié)：在這里撲克牌中的字母表示確定的數(shù)，那么字母能不能表示不確定的數(shù)呢？

（二）體會用字母表示不確定的數(shù)

師：想想看，以前我們在哪用過字母表示不確定的數(shù)？

（板書提示：a+b=b+a）

看到這個，你想到什么？這里a可以表示哪些數(shù)？（生：自然數(shù)，小數(shù)和分?jǐn)?shù)）b呢？能再舉幾個例子，寫出其他運(yùn)算律嗎？

通過這樣調(diào)整，就容易幫學(xué)生形成一個完整的整體性框架，只有將知識學(xué)習(xí)置于框架中，才能形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。這樣處理能形成怎樣一個框架性結(jié)構(gòu)呢？首先字母可以表示確定的數(shù)，也可以表示不確定的數(shù)；字母可以表示自然數(shù)，也可以表示小數(shù)和分?jǐn)?shù)；字母可以單獨(dú)出現(xiàn)，也可以出現(xiàn)在式子里；字母可以出現(xiàn)在乘法式子里，也可以出現(xiàn)在加法式子里；學(xué)生進(jìn)一步遷移可悟出，如果需要字母還可以出現(xiàn)在減法式子里或除法式子里，甚至可以出現(xiàn)在加減乘除的綜合算式里。給學(xué)生呈現(xiàn)這樣一個完整性的框架結(jié)構(gòu)，有利于學(xué)生通過整體和聯(lián)系的視角去學(xué)習(xí)各個部分的知識，能更好地溝通各個部分知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

同樣，在經(jīng)歷了擺三角形和算年齡活動后，添加表格（如表1），目的是在學(xué)習(xí)各部分知識之后，對各部分知識進(jìn)行系統(tǒng)整理，建立起各部分知識之間的聯(lián)系。與前面的環(huán)節(jié)構(gòu)成“整體—部分—整體”的結(jié)構(gòu)框架，幫助學(xué)生理清“字母可以單獨(dú)出現(xiàn)表示數(shù)量，也可以出現(xiàn)在式子里表示一個新的數(shù)量，還可以表示數(shù)量關(guān)系”這一脈絡(luò)。建立了完整的知識結(jié)構(gòu)，為學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)創(chuàng)造條件。

三、在思想的體悟中促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展

日本教育家米山國藏說：“學(xué)生在學(xué)校接受的數(shù)學(xué)知識，因畢業(yè)進(jìn)入社會后幾乎沒有什么機(jī)會應(yīng)用這種作為知識的教學(xué)，所以通常是在出校門后不到一兩年，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、思想、方法卻能隨時隨地發(fā)揮作用，使他們終生受益?！保?］可見，基于學(xué)生發(fā)展的教學(xué)應(yīng)是基于思想的教學(xué)，而要達(dá)到這一點(diǎn)，我們必須以思想方法的分析帶動具體內(nèi)容的學(xué)習(xí)?！队米帜副硎緮?shù)》蘊(yùn)含了符號思想、函數(shù)思想和建模思想。

表1

（一）符號思想

所謂符號思想，就是用數(shù)學(xué)符號來表達(dá)實(shí)際問題，符號思想的建立重點(diǎn)在于理解數(shù)學(xué)符號的內(nèi)涵。對《用字母表示數(shù)》來說，關(guān)鍵是理解字母在具體情境中的意義。主要表現(xiàn)在兩個方面：一是同一問題情境中，相同字母表示相同的意義；二是在不同情境中，相同字母表示不同意義。為此，在教學(xué)中，出示表1后，通過兩個問題“三角形個數(shù)中的a與小棒根數(shù)a×3中的a表示的意義是否一樣”，“三角形個數(shù)中的a與同學(xué)年齡中的a意義是否一樣”，讓學(xué)生深刻體會到字母在具體情境中的意義。

（二）函數(shù)思想

函數(shù)思想的本質(zhì)是變量間的對應(yīng)關(guān)系和依存關(guān)系。具體說就是一個自變量，一個因變量，及自變量與因變量之間的某種對應(yīng)法則。而《用字母表示數(shù)》的本質(zhì)就是兩個相關(guān)聯(lián)的量，用字母表示其中一個量（自變量），用含有字母的式子表示另一個量（因變量），數(shù)量關(guān)系就是兩個變量之間的紐帶?；谶@個思想，教學(xué)中采取以下活動：在表1中，問到a表示三角形個數(shù)時，小棒根數(shù)a×3中的a能不能用b×3表示，讓學(xué)生體會到小棒的根數(shù)是隨著三角形個數(shù)的變化而變化的，它們之間是有聯(lián)系的，是不能用b×3表示的。另外，在發(fā)散練習(xí)即解釋a×5的意義時，學(xué)生通過舉例會發(fā)現(xiàn)并體會到“a×5”的意義與a的意義是緊密相關(guān)的，這些都是函數(shù)思想的滲透。

（三）建模思想

數(shù)學(xué)建模就是課堂內(nèi)外情境的轉(zhuǎn)換，目的是用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題。這個轉(zhuǎn)換包括兩個過程：現(xiàn)實(shí)情境向數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)換（數(shù)學(xué)化和符號化的過程）；數(shù)學(xué)模型向現(xiàn)實(shí)情境的轉(zhuǎn)換（數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用）?！队米帜副硎緮?shù)》這一課中的三角形活動、年齡問題，都是從具體情景逐步抽象到數(shù)學(xué)模型，屬于建模思想的第一個過程。但數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)意義在于運(yùn)用模型解決實(shí)際問題，所以第二個過程是非常重要的，這也是由對象到過程的一個展開。解釋a×5的意義就是對象到過程的一個展開，也就是對模型a×5的現(xiàn)實(shí)意義的一個解釋?！?/p>

[1]米山國藏.數(shù)學(xué)的精神、思想和方法[M].毛正中，吳素華，譯.成都：四川教育出版社，1986.