數(shù)學(xué)迷思：教學(xué)相長的磨礪石

朱小平

（梅嶺小學(xué)，江蘇揚(yáng)州225002）

在每個孩子的心頭，都筑有一個屬于自己的數(shù)學(xué)世界。就不同的孩子而言，因數(shù)學(xué)迷思的存在與阻擋，各自的數(shù)學(xué)世界有空間大小之分，更有混沌與澄明之分。筆者作為數(shù)學(xué)教師，有責(zé)任協(xié)助孩子走出迷思，產(chǎn)生定見，構(gòu)建一個更大的自在的數(shù)學(xué)世界。

一、聚焦：數(shù)學(xué)迷思的內(nèi)涵詮釋與價值澄清

（一）關(guān)于數(shù)學(xué)迷思的詮釋

迷思起源于希臘語，原指可能是一個真實(shí)或不真實(shí)的故事。通俗地說，就是看似靠譜，實(shí)際上又不靠譜的事?，F(xiàn)如今常指對于事物不明白的地方、對于事物的誤區(qū)。

所有的文化都有迷思，數(shù)學(xué)也不例外。小學(xué)數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)性學(xué)科，雖然學(xué)科知識淺顯、簡單，但許多孩子學(xué)習(xí)這門課程時仍感到充滿困惑和迷思。

數(shù)學(xué)迷思，意指在數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展、運(yùn)用過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)與自己的經(jīng)驗(yàn)和觀念有相矛盾、不協(xié)調(diào)的地方，或者存在不明白、有疑惑的地方。它貫穿于數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展、運(yùn)用的整個過程。

數(shù)學(xué)迷思主要分為暫時的與長期的，外顯的與內(nèi)隱的，個性的與共性的數(shù)學(xué)迷思等幾種類型，并集中爆發(fā)于知識發(fā)生是否高度認(rèn)同、知識發(fā)展能否有機(jī)整合和精確區(qū)分、運(yùn)用知識是否理解問題性質(zhì)等三個區(qū)域。

（二）數(shù)學(xué)迷思的教育價值

“磨礪石”是數(shù)學(xué)迷思的一種隱喻；同樣，“絆腳石”則是它的另一種隱喻。解開數(shù)學(xué)迷思，抑或困于數(shù)學(xué)迷思，產(chǎn)生的教育影響大不一樣。數(shù)學(xué)迷思久拖不決、積重難返，則會讓學(xué)生迷失于數(shù)學(xué)的叢林，成為知識異化的工具。

教育的目的，不是培養(yǎng)人們適應(yīng)傳統(tǒng)的世界，不是著眼于實(shí)用性的知識和技能，而要去喚醒學(xué)生的力量，培養(yǎng)他們自我學(xué)習(xí)的主動性，抽象的歸納力和理解力，以便使他們在目前無法預(yù)料的種種未來局勢中，自主做出有意義的選擇。關(guān)注和研究數(shù)學(xué)迷思，符合教育是以人為最高目的的解放旨趣。

“數(shù)學(xué)在以下方面具有獨(dú)一無二的功能：它教人辨別對錯，辨別證明的和待證明的，辨別可能的和不可能的。它同時也教會我們辨別那些看起來是可能的而事實(shí)也是可能的事物和那些看起來顯然是可能的而事實(shí)上卻大錯特錯的謊言?！盵1]學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)始終會伴有數(shù)學(xué)迷思的產(chǎn)生、發(fā)展和消解。

此外，數(shù)學(xué)迷思可能會帶來教學(xué)的迷思。在迷思中學(xué)會思考，釋放被壓抑的心智和靈性，最終走向知性成熟的不僅僅是學(xué)生，還有以學(xué)習(xí)者身份參與其中的數(shù)學(xué)教師。換言之，數(shù)學(xué)迷思具有砥礪教學(xué)相長的意蘊(yùn)。

二、剖析：數(shù)學(xué)迷思的成因透視

數(shù)學(xué)，是成人世界創(chuàng)造的禮物；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是接受成人必要指導(dǎo)的活動。兒童的數(shù)學(xué)迷思，與自身相關(guān)，與成人相關(guān)，受客觀因素和主觀因素作用的影響。

（一）客觀性因素

首先，認(rèn)知方式的差異。兒童憑借自然能力用嘗試錯誤與整體了解去摸索世界圖景，而成人則憑借知識能力用描述、分析加組合的方式認(rèn)識和解釋世界。如學(xué)習(xí)“圖形的平移與旋轉(zhuǎn)”，學(xué)生慣于圖形整體把握思考如何按照平移和旋轉(zhuǎn)的要求進(jìn)行運(yùn)動并確定圖形所在位置，而教師則是先確定圖形的“關(guān)鍵點(diǎn)”或“關(guān)鍵邊”，然后由局部到整體把圖形畫完整。

其次，認(rèn)知背景的差異。由于生活經(jīng)歷、心理特征和情感因素等的影響，成人與兒童的認(rèn)知矛盾不可避免地出現(xiàn)在課程學(xué)習(xí)之中。如“認(rèn)識長方體”“觀察物體”的內(nèi)容編排，課本介紹從不同角度（某一面的正面）觀察長方體，觀察到的圖形是長方形或正方形。同時以三維視圖介紹最多只能觀看到三個面。但學(xué)生頭腦中駐留著迷思，即“觀察長方體不從正面看到的那個面應(yīng)該是平行四邊形”。于是，在美術(shù)課上，有些孩子根據(jù)數(shù)學(xué)課程知識“上面、側(cè)面是長方形”畫出由長方形拼成的長方體盒子，作品毫無立體感。

第三，認(rèn)知節(jié)奏的差異。兒童的學(xué)習(xí)節(jié)奏慢、細(xì)、窄，這不同于成人的快、粗、廣。學(xué)生經(jīng)常會跟不上教師的語言速度、思維節(jié)奏和想象范圍。例如，學(xué)生僅認(rèn)識了“”之后，計(jì)算時出現(xiàn)答案，教師百思不得其解，認(rèn)為是其粗心所致。其實(shí)不然，該學(xué)生由僅有的學(xué)習(xí)指導(dǎo)“”，錯誤聯(lián)想出“”，就有了

（二）主觀性因素

一方面，由于受傳統(tǒng)看法“數(shù)學(xué)學(xué)得好不好與孩子頭腦的聰明程度有關(guān)”的影響，不少教師碰到學(xué)生的數(shù)學(xué)迷思，往往不愿做更多深入的觀察、思考和改善。誤解或漠視學(xué)生的數(shù)學(xué)迷思，未能做出積極響應(yīng)的同時，影響著學(xué)生對數(shù)學(xué)迷思的態(tài)度。

另一方面，隨著年齡的增長，孩子們的主體意識逐漸增強(qiáng)，不希望因自己的無知而丟臉。于是，他們開始害怕犯錯誤，不愿開口表達(dá)真實(shí)的想法，也影響了自身的學(xué)習(xí)效能感。當(dāng)思想效能破裂、不愿意探究真相，較草率地做出價值判斷時，就更容易出現(xiàn)數(shù)學(xué)迷思。

三、突破：數(shù)學(xué)迷思——砥礪教學(xué)相長

（一）面向知識的教學(xué)策略

1.得其“大”而兼其“小”

“大”“小”兼得，就是既要關(guān)注知識習(xí)得，也要注重意義生成，做到呈現(xiàn)知識來龍去脈，展現(xiàn)學(xué)習(xí)“鏡頭”是如何自然切換的，使得學(xué)生對知識的發(fā)生有“全景”認(rèn)識，抱有高度認(rèn)同的態(tài)度。蘇格拉底曾說：“唯有發(fā)自內(nèi)心的知識，才能夠變成人的智慧。”現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)理念也要求“與學(xué)生帶入課堂的數(shù)學(xué)理解、直覺以及豐富的資源建立起聯(lián)系，把問題解決與意義建構(gòu)結(jié)合起來”[2]。

例如，在三年級下學(xué)期期末調(diào)研中，少數(shù)學(xué)生暴露出數(shù)學(xué)迷思——會計(jì)算平均數(shù)，卻無法根據(jù)平均數(shù)意義給出正確判斷。題目是“姚強(qiáng)、王超兩名學(xué)生進(jìn)行投籃訓(xùn)練，每次投20個球，姚強(qiáng)投了5次，王超投了3次。兩人投中成績?nèi)缦拢阂?qiáng)9個、14個、7個、9個、6個；王超11個、14個、8個。從兩人中選一人參加投籃比賽，你選誰更合適？（通過計(jì)算說明理由）”，少數(shù)學(xué)生算出他們各自的平均進(jìn)球數(shù)后，卻認(rèn)為應(yīng)該選姚強(qiáng)，因?yàn)橐?qiáng)共投進(jìn)45個，而王超共投進(jìn)33個。這有些令人費(fèi)解。問題出在哪兒呢？回溯到課本，例題直接認(rèn)識“由于男、女生人數(shù)不同，比較男、女生套中的總個數(shù)是不合理的，要求出男、女生平均每人套中的個數(shù)進(jìn)行比較”。很明顯，學(xué)生從心里是抵制這種想法的。有經(jīng)驗(yàn)的教師會在此前再加兩個情境：“兩隊(duì)人數(shù)相同，每人套中的個數(shù)不完全相同”和“兩隊(duì)人數(shù)不同，但每隊(duì)中每人套中的個數(shù)相同”，但這樣做仍然不能解決學(xué)生對平均數(shù)意義持有高度認(rèn)同的問題。其實(shí)，平均數(shù)存在的意義首先在于描述的需要，而非比較與選擇的需要。

2.得其“顯”而兼其“隱”

“顯”“隱”兼得，就是在關(guān)注靜態(tài)數(shù)學(xué)知識的同時，還注重知識背后的數(shù)學(xué)觀念、基本思想、特殊經(jīng)驗(yàn)、破題技巧等的揭示，將學(xué)習(xí)扎根于學(xué)生對需要解決的數(shù)學(xué)問題性質(zhì)的理解，建立在學(xué)生自己推理能力和問題解決策略發(fā)展的基礎(chǔ)之上，避免成功地解決問題僅是依靠回憶記憶中的解法和規(guī)則。

最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的應(yīng)用是數(shù)學(xué)迷思之一，如“用若干個長9厘米、寬6厘米的長方形拼成一個正方形，拼成的正方形的邊長最小是多少厘米？至少要多少個這樣的長方形？”學(xué)生解決該題時常會出現(xiàn)錯誤列式（參見圖1），而不是正確解法（參見圖2）。這里有兩層迷思要捅破，一是解決方法的判斷與確定，是求最大公因數(shù)，還是求最小公倍數(shù)？二是錯誤解法與正確解法的答案怎么會一樣？破題時，首先要弄清正方形的邊長是長方形長的倍數(shù)，也是寬的倍數(shù)（可以借助畫圖判斷），也就是長和寬的公倍數(shù)，正方形邊長要最小，也就是長和寬的公倍數(shù)要最小。由此，可以斷定是求9和6的最小公倍數(shù)。至于第二個迷思，可利用第二種解法“[9,6]=18（18×18）÷（9×6）=324÷54=6（個）”來回避或佐證原先錯誤解法僅是答案相同而已，雖然與第一種正確解法的樣子很像，但與第二種正確解法卻不一樣。

圖1

圖2

3.得其“新”而兼其“舊”

“新”即通過同化和順應(yīng)新納入認(rèn)知框架的新知識，“舊”即學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已存在的前概念和舊有的知識。知識的整體，事實(shí)上無法全盤傳授?！靶隆薄芭f”兼得，就是倡導(dǎo)以學(xué)生自己原先對數(shù)學(xué)的理解，來整合后來接受的知識，把它們組織成更為深一層的數(shù)學(xué)理解。

學(xué)數(shù)學(xué)特別講究“序”，利用學(xué)生的前概念展開教學(xué)，能有效杜絕數(shù)學(xué)迷思的產(chǎn)生。同時，要關(guān)注舊經(jīng)驗(yàn)的新動向，防止其變異。如“139+98=137+100=237”形成的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)就會異化于乘法簡算中，出現(xiàn)錯誤“25×99=24×100=2400”。這樣的情況時有發(fā)生，只是不易被覺察。

任何“碎片化的知識”只有被理性梳理并建構(gòu)起系統(tǒng)化的秩序，才能顯示出知識的力量。建立知識的整體性，可以把所有的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)和知識整合成一個邏輯自洽的知識操作體系，擁有全面認(rèn)識、深刻理解和靈活運(yùn)用的能力。如素數(shù)和合數(shù)的區(qū)別，可多元表征為因數(shù)個數(shù)二對多、正方形拼成長方形的單一和多樣、乘法算式的唯一和不唯一；如平面圖形長方形、正方形和平行四邊形面積的計(jì)算可統(tǒng)攝在“橫邊乘豎邊”之下，立體圖形長方體、正方體、圓柱體積的計(jì)算可統(tǒng)整為“底面積乘高”。

（二）面向兒童的指導(dǎo)策略

1.從“正確”到正確

“正確”，這里特指在未進(jìn)行印證和達(dá)成共識之前，學(xué)生堅(jiān)持認(rèn)為自己的想法是正確的這種學(xué)習(xí)現(xiàn)象。學(xué)生的“正確”在其自己看來，往往是合乎情理、邏輯“自洽”的。

從“正確”到正確，意味著承認(rèn)這樣一個事實(shí)——沒有人愿意成為思想的懶漢，每一個兒童都身處思考境遇之中；意味著必須認(rèn)可和允許兒童犯錯，激勵兒童直面錯誤，把注意力從思考結(jié)果轉(zhuǎn)移到思考過程上來；更意味著教學(xué)活動依順、跟隨學(xué)生自認(rèn)為“正確”的想法，基于“正確”生長正確，生長智慧。

如題目：“3000千克重的大象能卷起1000千克重的大樹，63千克級的運(yùn)動員能舉起126千克重的杠鈴，11克重的螳螂能舉起44克重的食物。你認(rèn)為誰是冠軍？說說你的理由?！睆摹罢_”到正確，三年級學(xué)生就先后經(jīng)歷了“大象→運(yùn)動員→螳螂”修正判斷的過程，判斷依據(jù)從“1000千克＞126千克＞44克”，到“1000千克＜體重3000千克，126千克＞體重63千克”，再到“44–11=33，33＞11，126–63=63,63=63”，也是愈加科學(xué)合理。教師的視角“126÷63=2,44÷11=4,”，則讓學(xué)生驚奇和興奮。

此外，從“正確”到正確的通道一定要多樣，過程一定要充分。多樣既是為了滿足不同能力水平、不同學(xué)習(xí)風(fēng)格孩子的學(xué)習(xí)需求，也是為了讓孩子了解自己之外的正確世界，以便形成多元視角。

2.從打開經(jīng)驗(yàn)到拓寬經(jīng)驗(yàn)

兒童依靠自發(fā)的體驗(yàn)去汲取知識，或者以相互印證代替直接體驗(yàn)獲取知識。人的經(jīng)驗(yàn)網(wǎng)絡(luò)以直接體驗(yàn)為核心，不斷向外拓展，并伸向遠(yuǎn)方。其中，體驗(yàn)程度的充分是成功打開經(jīng)驗(yàn)的關(guān)鍵所在，而體驗(yàn)與外來的知識建立聯(lián)結(jié)則是成功拓寬經(jīng)驗(yàn)的關(guān)鍵。

如學(xué)習(xí)“找規(guī)律——圖形的覆蓋”，學(xué)生須有多輪圈一圈或框一框的操作活動，經(jīng)由直接體驗(yàn)，自行打開經(jīng)驗(yàn)“框兩個數(shù)，最后會有一個數(shù)沒有對應(yīng)的和；框三個數(shù)，最后會有兩個數(shù)沒有對應(yīng)的和；框四個數(shù)，最后會有三個數(shù)沒有對應(yīng)的和。所以，從m個數(shù)中去框緊連的n個數(shù)，就是最后n-1個數(shù)沒有對應(yīng)的和，最終不同的框法是m-（n-1）”。接著，學(xué)生利用觀察記錄的若干數(shù)據(jù)進(jìn)行相互印證，回溯意義和體驗(yàn)，可拓寬經(jīng)驗(yàn)為“m-n+1，即數(shù)的總數(shù)-框中數(shù)的個數(shù)+1=不同的框法”，只是此時要基于一一對應(yīng)的思想，找到字母n和1的意義。當(dāng)然，兩種外在形式可以統(tǒng)一為m-n+1，因?yàn)閙-（n-1）=m-n+1，但這需要不同學(xué)習(xí)材料的多次印證。

3.從私人對話到公共對話

通過課堂巡視、作業(yè)面批以及課后對話，筆者發(fā)現(xiàn)，當(dāng)教師與學(xué)生“一對一”進(jìn)行私人對話時，學(xué)生由于沒有太多的顧慮因素，相對于上課“一對多”展開公共對話，更易坦誠說出自己的數(shù)學(xué)迷思。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要私人對話彌補(bǔ)公共對話的不足，甚至有賴于私人對話反哺公共對話。但利用私人對話的資源反哺公共對話，解開個體迷思豐富群體經(jīng)驗(yàn)的時候，一定要隱藏和保護(hù)迷思主人的隱私，盡量不涉及當(dāng)事人的姓名進(jìn)行探討。

誠如一位兒童所說，如果你想要弄懂什么東西，你最好盡可能讓更多的人替你一起想辦法。當(dāng)兒童能夠與同伴共同對問題給出自己的理解并形成自己的假設(shè)和解決辦法時，他們學(xué)得最好。上課時的公共對話，需要以詰問的形式探究和理解一些基礎(chǔ)概念，以抵御學(xué)生可能對數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)產(chǎn)生的某些錯誤觀點(diǎn)?！皵?shù)學(xué)是創(chuàng)造的過程，而不是強(qiáng)加的一堆知識”，堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)是創(chuàng)造性過程的數(shù)學(xué)詰問除了對內(nèi)容的思考，比如涉及的概念、問題和圖形，還有對學(xué)習(xí)過程的思考——比如采用不同的辦法對特定的對象進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，采用不同的辦法通過言語、數(shù)據(jù)（圖示、圖表等）對一個問題進(jìn)行解釋，以及解決問題的一系列可行性辦法。

（三）面向迷思的應(yīng)對策略

1.向?qū)W生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

一個好教師能夠向自己的學(xué)生學(xué)習(xí)以充實(shí)自己。如蘇教版四年級數(shù)學(xué)（下冊）教材第67頁的習(xí)題，要求學(xué)生把小旗圖繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°（參見圖1），令學(xué)生感到困難的是旋轉(zhuǎn)后的三角旗到底應(yīng)該畫成什么樣子。經(jīng)教師或畫圖成功的學(xué)生明示正確畫法之后，原先犯錯的學(xué)生也只是憑正確的圖進(jìn)行想象驗(yàn)證而已，但是下次碰到梯形繞固定點(diǎn)按要求旋轉(zhuǎn)時仍然會畫錯。

在一次課堂巡視時，吳同學(xué)引起了筆者的注意，她畫圖正確且速度快，沒有采用大家的方法“先畫關(guān)鍵邊，再以分析、組合的方式畫小旗”，而是先把課本在學(xué)桌上原地順時針旋轉(zhuǎn)90°，記住小旗圖此時的樣子（也就是旋轉(zhuǎn)后小旗圖的樣子），接著再把課本轉(zhuǎn)回去，用直尺畫出了正確的小旗圖。那一刻，筆者瞠目結(jié)舌！這再次說明，當(dāng)學(xué)生覺得某個知識點(diǎn)困難、難以理解的時候，需要同時運(yùn)用其整體辨認(rèn)特征的自然能力，來發(fā)展其想象能力和創(chuàng)造能力。

圖1

圖2

2.向同事學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

事實(shí)上，不僅年輕教師從同事那里能學(xué)到數(shù)學(xué)，有經(jīng)驗(yàn)的教師也會因此獲益。三年之前，班上的部分學(xué)生學(xué)習(xí)用畫圖策略解決如下問題，“下圖是李鎮(zhèn)小學(xué)的一塊長方形試驗(yàn)田。如果這塊試驗(yàn)田的長增加6米，或者寬增加4米，面積都比原來增加48平方米。你知道原來試驗(yàn)田的面積是多少平方米嗎？（先畫一畫，再解答）”出現(xiàn)迷思“圖形右下角，什么時候要關(guān)門，什么時候缺一塊？”（參見圖2）當(dāng)時，筆者曾為此心煩意亂，因?yàn)樵诤髞淼念愃凭毩?xí)中這些孩子重復(fù)出現(xiàn)了畫圖的錯誤。去年的一次小組教研，筆者向同事討教時發(fā)現(xiàn)，可以讓孩子在審題時把兩種情況分開畫圖，熟悉圖形特征。

3.向內(nèi)心求索尋解

筆者堅(jiān)持認(rèn)為，數(shù)學(xué)教師只要能創(chuàng)造好的環(huán)境、設(shè)計(jì)好的活動、給出好的講授，學(xué)生的數(shù)學(xué)迷思就可以得到一一化解。要想達(dá)成上述“三好”要求，需要教師不斷向內(nèi)求索，進(jìn)行積極持久的反思。如學(xué)習(xí)利用乘法分配律進(jìn)行簡便計(jì)算時，有一種錯誤“15×（20+3）=15×20+3=300+3=303”大家一定不陌生。之前，原以為學(xué)生犯這類錯誤是源于其對乘法分配律的結(jié)構(gòu)沒掌握，后來多次反思才想到，這種錯誤受以前片面認(rèn)識的影響，即“根據(jù)自己簡便計(jì)算的需要，可以添上或去掉括號，不影響最終的計(jì)算結(jié)果”。為此，學(xué)習(xí)專題“什么時候可以添加和去掉括號”，使之進(jìn)入我們的課堂，通過比較和思辨，再次熟悉和強(qiáng)化規(guī)則，修正錯誤認(rèn)識，就可遏制類似錯誤的再次發(fā)生。

行文至此，可以說，關(guān)注數(shù)學(xué)迷思，商討解決辦法，筆者向?qū)W生和同事學(xué)習(xí)了許多自己未曾想到的知識，也逐漸擁有了對數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)與實(shí)施的深刻見解。數(shù)學(xué)迷思，令筆者對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)更加著迷、癡迷……▲

[1]瑪莎·葛森.完美的證明——一位天才和世紀(jì)數(shù)學(xué)的突破[M].胡秀國，程姚英，譯.北京:北京理工大學(xué)出版社,2012:3.

[2]M.蘇珊娜·多諾萬,約翰·D.布蘭思福特.學(xué)生是如何學(xué)習(xí)的——課堂中的數(shù)學(xué)[M].史亞娟，譯.桂林:廣西師范大學(xué)出版社,2011:1.

[3]黃武雄.學(xué)校在窗外[M].北京:首都師范大學(xué)出版社,2009:55-63.

[4]羅伯特·費(fèi)舍爾.教兒童學(xué)會思考[M].蔣立珠，譯.北京:北京師范大學(xué)出版社,2007:176-180.