歐拉不等式的推廣

曹嘉興

1765年，大數(shù)學家歐拉（L.Euler，1707～1783）建立了一個關于△ABC的外接圓半徑R與內(nèi)切圓半徑r之間關系的著名不等式：R≥2r，當且僅當△ABC為正三角形時等號成立.由于該不等式具有簡單而不平凡的特點，所以至今仍然在幾何不等式領域里保持著高水平的地位，關于它的各種加強和推廣的研究一直是幾何不等式研究的熱點，筆者在研究三角形內(nèi)部任意一點到各邊的距離時得到了歐拉不等式的如下推廣.

由上述證明過程不難看出，當且僅當△ABC為正三角形并且點P為△ABC的中心時等號成立.

特別地，當點P為△ABC的內(nèi)心時，x=y=z=r（r為△ABC的內(nèi)切圓半徑），則由（1）式得R2≥r，即R≥2r，因此不等式（1）是歐拉不等式的一種推廣.

定理2設P是△ABC內(nèi)的任意一點，點P到三邊BC、CA、AB的距離分別為x、y、z，△ABC的外接圓半徑為R，則

R2≥xy+yz+zx3（x2+y2+z2）.（4）

為正三角形并且點P為△ABC的中心時等號成立.

特別地，當點P為△ABC的內(nèi)心時，x=y=z=r（r為△ABC的內(nèi)切圓半徑），則由（4）式得R2≥3r29r2，即R≥2r，因此不等式（4）也是歐拉不等式的一種推廣.

參考文獻

[1]匡繼昌.常用不等式[M].濟南：山東科學技術出版社，2004.