含SVC電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性余維二分岔研究

遲 昆，高鋒陽，董唯光，曹曉斌

(1．蘭州交通大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，甘肅蘭州730070; 2．西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，四川成都610031)

含SVC電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性余維二分岔研究

遲 昆1，高鋒陽1，董唯光1，曹曉斌2

(1．蘭州交通大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，甘肅蘭州730070; 2．西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，四川成都610031)

為揭示系統(tǒng)中多參數(shù)共同作用對(duì)電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的影響，需要克服單參數(shù)分岔局限性。使用靜態(tài)無功補(bǔ)償器(SVC)提高系統(tǒng)穩(wěn)定性，同時(shí)以負(fù)荷有功功率、無功功率及SVC參數(shù)為分岔控制參數(shù)，運(yùn)用分岔分析方法，驗(yàn)證了復(fù)雜電力系統(tǒng)中二維解流形存在Generalized Hopf分岔和Zero-Hopf分岔現(xiàn)象。分析結(jié)果表明Zero-Hopf分岔點(diǎn)為鞍結(jié)分岔(Saddle Node Bifurcation，SNB)曲線與Hopf曲線的交點(diǎn)，增大SVC電壓增益Ksvc有利于二維分岔邊界的拓展;同一Ksvc值可通過調(diào)節(jié)無功功率來消除二維分岔曲線上的Zero-Hopf分岔點(diǎn)。本文揭示了三個(gè)參數(shù)共同作用下影響電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的分岔機(jī)理。

電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性;余維二分岔;靜止無功補(bǔ)償器;分岔理論

1 引言

在電力行業(yè)迅猛發(fā)展過程中，隨著各類元件加入電力系統(tǒng)以提高電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的同時(shí)，元件自身對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性又產(chǎn)生了巨大影響。在系統(tǒng)參數(shù)多樣性、復(fù)雜性的共同作用下造成系統(tǒng)穩(wěn)定性分析困難，對(duì)系統(tǒng)電壓失穩(wěn)沒有統(tǒng)一的機(jī)理認(rèn)識(shí)。分岔理論的引入對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性探討有著重要意義［1-4］。文獻(xiàn)［5］成功地解釋了電力系統(tǒng)分岔等眾多復(fù)雜的動(dòng)態(tài)行為;文獻(xiàn)［6］重點(diǎn)研究了在直流典型控制方式下多個(gè)直流參考電壓共同作用對(duì)系統(tǒng)行為的影響;文獻(xiàn)［7，8］以風(fēng)電系統(tǒng)為背景進(jìn)行了多參數(shù)動(dòng)分岔和多參數(shù)靜分岔分析，研究結(jié)果表明多參數(shù)更有利于揭示電壓穩(wěn)定情況。

電力系統(tǒng)是一個(gè)高維含參非線性動(dòng)力系統(tǒng)，在穩(wěn)定邊界會(huì)遭遇分岔［9-12］。目前以余維一分岔為主要研究對(duì)象，余維二以及更高維分岔邊界和高維分岔點(diǎn)的確定研究甚少。文獻(xiàn)［13］提出改進(jìn)直接法求解電力系統(tǒng) Bogdanov-Takens分岔(BT);文獻(xiàn)［14］在簡(jiǎn)單電力系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)Zero-Hopf分岔(ZH)，廣義Hopf分岔(GH)也稱退化Hopf分岔(degenerate bifurcation)，上述余維二分岔點(diǎn)會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生十分復(fù)雜的動(dòng)態(tài)行為。

靜止無功補(bǔ)償器(SVC)作為現(xiàn)代電力系統(tǒng)無功就地補(bǔ)償?shù)闹匾?，已?jīng)在交流柔性輸電技術(shù)中得到了廣泛的應(yīng)用［15］。目前關(guān)于余維一分岔分析SVC特性的研究成果很多，而采用SVC參數(shù)與系統(tǒng)特定變量共同作用下高余維分岔分析較少。本文采用靜態(tài)、動(dòng)態(tài)負(fù)荷模型中有功功率P、無功功率Q及SVC電壓增益Ksvc進(jìn)行三參數(shù)余維二分岔點(diǎn)搜索，獲取系統(tǒng)電壓穩(wěn)定邊界，對(duì)國(guó)內(nèi)研究很少的余維二分岔點(diǎn)受參數(shù)變化影響進(jìn)行分析，提出以控制余維二分岔點(diǎn)來提高系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的措施。

2 分析方法與模型

2.1 分析方法

一般電力系統(tǒng)可用下列微分代數(shù)方程(DAE)進(jìn)行描述:

式中，x∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)變量，如發(fā)電機(jī)功角、發(fā)電機(jī)角速度等;y∈Rm為系統(tǒng)代數(shù)狀態(tài)變量，如節(jié)點(diǎn)電壓和相角;λ為系統(tǒng)控制變量，可選用負(fù)荷功率。滿足上述方程式(1)的點(diǎn)(x0，y0，λ0)為系統(tǒng)平衡點(diǎn)，即:

于是平衡解流形可以表示為:

對(duì)式(1)在平衡點(diǎn)(x0，y0，λ0)進(jìn)行微分變換可得:

如果Dyg(x0，y0)不可逆，系統(tǒng)將發(fā)生奇異誘導(dǎo)分岔。這里設(shè)Dyg(x0，y0)可逆，則動(dòng)力學(xué)微分方程描述為:

式中，J為電力系統(tǒng)雅可比矩陣。當(dāng)J4可逆時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性可由系統(tǒng)的狀態(tài)雅可比矩陣特征值確定。

不同類型的分岔現(xiàn)象對(duì)應(yīng)于不同的電壓失穩(wěn)模式。余維數(shù)是指確定某個(gè)分岔類型所需參數(shù)的最少個(gè)數(shù)。分岔分析可按余維數(shù)劃分為余維一分岔分析以及高余維(余維二等)分岔分析。余維一分岔點(diǎn)包括SNB、HB、SIB和LIB等;余維二分岔點(diǎn)主要包括以下三種分岔:

(1)Bogdanov-Takens分岔［16］:在某個(gè)平衡點(diǎn)處，雅可比矩陣的特征值有一對(duì)零重根，它由Rifkat-Bogdanov和FlorisTakens兩人同時(shí)發(fā)現(xiàn)，因而得名。

(2)Zero-Hopf分岔［17］:在某個(gè)平衡點(diǎn)處，雅可比矩陣的特征值同時(shí)具有一對(duì)共軛純虛根和一個(gè)零根。

(3)Generalized Hopf分岔［16］:在某個(gè)平衡點(diǎn)處，雅可比矩陣的特征值具有一對(duì)純虛根，且當(dāng)參數(shù)變化時(shí)，這對(duì)純虛根不穿越虛軸。

采用上述方法，以有功功率P與無功功率Q為分岔控制參數(shù)來獲取單參數(shù)分岔點(diǎn)SNB與HB分岔點(diǎn)，然后分別以SNB點(diǎn)和HB點(diǎn)為初值，利用拓延法繼續(xù)追蹤二維參數(shù)下的SNB曲線和HB曲線，即可得到余維二分岔點(diǎn)。描述SNB曲線的求解模型為:

描述HB曲線的求解模型為:

式中，υ和ω分別為雅可比矩陣零特征值對(duì)應(yīng)的左、右特征向量;In為n階單位矩陣;I0為n維參考向量;k=β2，β為純虛特征值虛部;μ∈R2。

2.2 系統(tǒng)模型

負(fù)荷模型采取描述感應(yīng)電機(jī)大擾動(dòng)模型Walve，負(fù)荷模型的靜態(tài)部分采用多項(xiàng)式負(fù)荷模型(ZIP)。簡(jiǎn)化電路如圖1所示。

圖1 簡(jiǎn)化負(fù)荷模型等效電路Fig．1 Simplified load model equivalent circuit

模型數(shù)學(xué)描述如下:

式中，P10和Q10分別代表初始有功和無功;ap，bp，cp和aq，bq，cq表示不同靜態(tài)負(fù)荷類型所占百分比，有ap+bp+cp=1，aq+bq+cq=1;V和δ分別為負(fù)荷母線電壓幅值和相角;P0+jQ0為感應(yīng)電機(jī)的恒功率部分;Kpw、T、Kqw、Kqv和Kqv2為負(fù)荷系數(shù);P1+ jQ1為與感應(yīng)電機(jī)并聯(lián)的靜態(tài)恒功率負(fù)荷。

靜止無功補(bǔ)償器(SVC)可以根據(jù)補(bǔ)償點(diǎn)電壓的變化來調(diào)節(jié)輸出的無功功率，從而維持電壓在給定值附近。模型為:

式中，Vref為參考電壓;V為補(bǔ)償點(diǎn)電壓;TSVC和KSVC為時(shí)間常數(shù)與電壓增益。

3 仿真分析

3.1 余維一分岔分析

取靜態(tài)ZIP負(fù)荷模型有功功率P與無功功率Q為分岔控制參數(shù)分別進(jìn)行單參數(shù)分岔分析。令靜態(tài)負(fù)荷模型 ap，aq=0.4與cp，cq=0.6，靜態(tài)部分40%恒阻抗加60%恒功率，單參數(shù)分岔曲線如圖2所示，本文計(jì)算均采用標(biāo)幺值。其中，曲線1是以有功功率P為分岔控制參數(shù)的余維一分岔曲線，曲線2是加入 SVC后的分岔曲線，Hopf點(diǎn)分別由7.9471pu和 9.3027pu 增 加 至 8.4453pu 和10.5576pu，SNB由9.3933pu至10.5623pu。以無功功率Q為分岔控制參數(shù)，曲線3和4為加入SVC前、后的余維一分岔曲線，比較可得 Hopf點(diǎn)由13.2364pu增加至14.1858pu，SNB點(diǎn)由12.8791pu提升至13.19pu?？梢奡VC確能增大分岔邊界，提高電壓穩(wěn)定性。由于負(fù)荷有功功率與無功功率不可完全解耦，加之SVC本身固有參數(shù)KSVC對(duì)系統(tǒng)分岔點(diǎn)及分岔曲線影響難以在余維一條件下進(jìn)行分析，所以在3.1節(jié)基礎(chǔ)上進(jìn)行余維二分岔點(diǎn)搜索，探討穩(wěn)定性，將會(huì)對(duì)電壓穩(wěn)定性機(jī)理有更清晰的理解。

圖2 單參數(shù)分岔曲線Fig．2 Single parameter bifurcation curve

3.2 余維二分岔分析

以3.1節(jié)已經(jīng)獲得的Hopf分岔點(diǎn)和SNB分岔點(diǎn)為初始值，采用P和Q為分岔控制參數(shù)獲取二維分岔邊界曲線及分岔超曲面。將二維分岔曲線投影到P-Q平面上，如圖3所示。

圖3 余維二分岔邊界Fig．3 Codimension two bifurcation boundary

表1 Hopf分岔曲線余二維分岔點(diǎn)數(shù)值Tab．1 Codimension two bifurcation numeral at point on Hopf bifurcation curve

SNB分岔曲線在正常范圍內(nèi)(P＞0)出現(xiàn)ZH分岔，其數(shù)值見表2。

表2 SNB分岔曲線余二維分岔點(diǎn)數(shù)值Tab．2 Codimension two bifurcation at point on SNB bifurcation curve

由圖3、表1和表2可知，在余維二分岔曲線中ZH分岔點(diǎn)是SNB分岔曲線與Hopf分岔曲線的交點(diǎn)。由于ZH分岔點(diǎn)雅可比矩陣具有一個(gè)零特征值和一對(duì)共軛純虛特征值，GH可能發(fā)生系統(tǒng)參數(shù)能夠在較大范圍內(nèi)變化(比如負(fù)荷功率)，GH與Hopf分岔點(diǎn)相比會(huì)產(chǎn)生多重極限環(huán)、同宿軌道，這是一種極為復(fù)雜的周期現(xiàn)象。

SVC作為常用無功補(bǔ)償裝置，其參數(shù)較小的變化會(huì)引起分岔邊界的改變。采用上述方法以SNB點(diǎn)為初值，KSVC取5，12，19，26和33時(shí)得在P-Q平面投影SNB二維分岔邊界，如圖4所示。隨著KSVC的增加二維分岔邊界在P-Q平面向上移動(dòng)。圖4左側(cè)ZH1點(diǎn)數(shù)據(jù)見表3，右側(cè)ZH2點(diǎn)數(shù)據(jù)見表4。

圖4 P和Q的余維二分岔曲線Fig．4 Codimension two bifurcation curve of P and Q

表3 余二維ZH1分岔點(diǎn)數(shù)值Tab．3 Codimension two bifurcation numeral at ZH1 bifurcation point

表4 余二維ZH2分岔點(diǎn)數(shù)值Tab．4 Codimension two bifurcation numeral at ZH2 bifurcation point

由表3和表4可知，在KSVC取值變化過程中，二維分岔邊界得到拓展，同時(shí)發(fā)生兩次ZH分岔。由于ZH是Hopf分岔邊界與SNB分岔邊界交點(diǎn)，在ZH1和ZH2處有功功率P隨KSVC的增大微降，相反無功功率Q隨KSVC的增加呈現(xiàn)大幅度提高。SVC電壓增益KSVC對(duì)于SNB二維分岔邊界具有拓展作用，并且使ZH分岔點(diǎn)參數(shù)(無功功率)有大幅提升，這也與SVC提供無功支撐的固有特性相符。

采用3.2節(jié)方法仍以P為參數(shù)獲取余維一SNB點(diǎn)與Hopf點(diǎn)，用該兩點(diǎn)為初始點(diǎn)、負(fù)荷有功功率P與電壓增益KSVC為分岔控制參數(shù)，計(jì)算余維二分岔邊界，如圖5所示。SNB分岔曲線與Hopf分岔曲線在ZH點(diǎn)相交。如果不考慮Hopf分岔曲線非實(shí)際運(yùn)行情況(KSVC初值為5)，圖中取KSVC＞5的部分，Hopf分岔曲線分為兩支，一支與SNB分岔曲線相交并走勢(shì)一致，另一支隨KSVC的增加，有功傳輸極限提高。

圖5 P和KSVC的余維二分岔邊界Fig．5 Codimension two bifurcation boundary of P and KSVC

以電壓增益KSVC和有功功率P為分岔控制參數(shù)，進(jìn)行SNB分岔邊界搜索，取Q分別為0、5pu、10pu 和 13pu，相應(yīng)有功 P 為 17.6913pu、16.2282pu、14.6541pu和5.5871pu，結(jié)果如圖6所示?？梢钥闯鰺o功功率降低時(shí)，在P與KSVC的共同作用下，二維SNB分岔邊界向右移動(dòng)。在SVC電壓增益KSVC相同的條件下，調(diào)節(jié)系統(tǒng)的無功功率，可以得到更高的有功傳輸極限。在無功功率降低后SNB二維分岔邊界上的ZH點(diǎn)沿著分岔邊界向下滑動(dòng)至非實(shí)際運(yùn)行工況下(KSVC＜0)，分岔邊界上無ZH出現(xiàn)。因此增加KSVC后，降低無功功率既可以拓展邊界，又可以消除ZH分岔現(xiàn)象，這是對(duì)系統(tǒng)非常有利的現(xiàn)象。

將二維分岔曲線構(gòu)成分岔超曲面放入空間坐標(biāo)下，圖7展示了三參數(shù)(P、Q、KSVC)共同作用下的SNB分岔超曲面，在該情況下SNB點(diǎn)必定落在該超曲面上且隨Q、KSVC的變化P在曲面上移動(dòng)。Q增大P呈非線性減小，KSVC增大P呈近似的線性增加，有功傳輸極限是無功功率與SVC電壓增益共同作用的結(jié)果。SVC拓展了二維邊界，提高了電壓穩(wěn)定性，所以應(yīng)綜合考慮多參數(shù)情形。

圖6 P、Q和KSVC共同作用下的分岔邊界Fig．6 Bifurcation boundary under combined effect of P，Q and KSVC

圖7 P、Q、KSVC共同作用下分岔超曲面Fig．7 Bifurcation hypersurfaces under combined effect of P，Q and KSVC

4 結(jié)論

本文通過含SVC系統(tǒng)在余維一分岔點(diǎn)基礎(chǔ)上采取拓延方法搜索余維二分岔邊界，驗(yàn)證了BT、ZH 和GH分岔現(xiàn)象的存在。ZH分岔點(diǎn)在二維分岔邊界上是SNB分岔曲線與Hopf分岔曲線的交點(diǎn)，負(fù)荷靜態(tài)ZIP模型對(duì)系統(tǒng)分岔曲線結(jié)構(gòu)影響不大，增大SVC的電壓增益KSVC可使系統(tǒng)穩(wěn)定性增強(qiáng)。以P 和KSVC為分岔控制參數(shù)，得出在電壓增益KSVC不變時(shí)可以通過調(diào)節(jié)無功功率拓展分岔邊界，消除ZH分岔點(diǎn)。在P、Q、KSVC共同作用下的SNB分岔超曲面中，SNB點(diǎn)必定落在該超曲面上，且隨著Q、KSVC的變化，P在曲面上移動(dòng)。Q增大P呈非線性減小，KSVC增大P呈近似的線性增加。高余維分岔可更好地揭示系統(tǒng)穩(wěn)定性情況，所以應(yīng)進(jìn)一步研究高余維分岔點(diǎn)搜索及控制。

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Codimension two bifurcation studies of power system containing SVC

CHI Kun1，GAO Feng-yang1，DONG Wei-guang1，CAO Xiao-bin2
(1．School of Automations and Electrical Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China; 2．School of Electrical Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China)

As the effects of revealing system parameters on the voltage stability of power system，it is necessary to overcome the limitation of the single parameter bifurcation．Using bifurcation analysis method of the active，reactive power and SVC parameters，that the complex power system solutions of two-dimensional manifolds have Generalized Hopf bifurcation and Zero-Hopf bifurcation phenomenon can be verified．The analysis result shows that the Zero-Hopf bifurcation point is the intersection of the SNB and Hopf curves，and increasing the KSVCis helpful to expand two-dimensional bifurcation boundary．The same KSVCvalue can adjust the reactive power to eliminate the Zero-Hopf bifurcation point．There parameters can reveal bifurcation mechanism in power system．

voltage stability of power system;codimension two bifurcation;SVC;bifurcation theory

TM712

A

1003-3076(2015)10-0017-06

2014-02-25

遲 昆(1988-)，男，甘肅籍，碩士研究生，主要研究領(lǐng)域?yàn)殡娏ο到y(tǒng)自動(dòng)化電壓穩(wěn)定性研究;高鋒陽(1970-)，男，甘肅籍，副教授，碩士研究生導(dǎo)師，博士，主要從事大功率電源與電力系統(tǒng)自動(dòng)化控制。