位形空間中約束力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange對稱性與守恒量*

劉學(xué)鋒 張斌 方建會(huì)

（1.中國石油大學(xué)（華東）理學(xué)院，青島 266580）（2.大慶油田工程建設(shè)公司安裝公司，大慶 163450）

引言

對稱性是數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)非常重要的法則之一.對稱性理論也是近代分析力學(xué)研究的主要方向之一，Noether對稱性、Lie對稱性和Mei對稱性一直是對稱性理論研究的主要對象.近年來，人們對Noether、Lie和Mei對稱性的研究成果豐碩，理論體系已經(jīng)比較完善，尋求和研究新型對稱性是對稱性理論發(fā)展的要求.Lagrange對稱性作為新型對稱性的一種，相對于Noether、Lie和Mei對稱性，Lagrange對稱性理論不夠完善.20世紀(jì)六七十年代Currie等對不同自由度［9，10］Lagrange函數(shù)等價(jià)問題的研究是人們對Lagrange對稱性的最早探索，上世紀(jì)70年代末到90年代，Lutzky等對力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)等價(jià)問題做了一系列的研究［11-14］，Hojman將這種Lagrange函數(shù)等價(jià)關(guān)系稱為Lagrange對稱性［14，15］，Lagrange對稱性現(xiàn)已被推廣到Hamilton、Birkhoff等系統(tǒng)［15-26］.趙躍宇等人是我國最早研究Lagrange對稱性的學(xué)者［15］.本文根據(jù)力學(xué)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的特點(diǎn)，將廣義非完整約束反力，廣義反推力等系統(tǒng)可能受到的力看做一合力，然后研究兩個(gè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的Lagrange對稱性.以便討論位形空間中任意兩種系統(tǒng)的微分方程滿足Lagrange對稱性的定義和判據(jù)，以及Lagrange對稱性導(dǎo)致守恒量的條件和守恒量形式.

1 位形空間中力學(xué)系統(tǒng)的統(tǒng)一動(dòng)力學(xué)方程

設(shè)某一系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為L，系統(tǒng)所受非勢力的合力為F，則系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

另一不同于上述系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為系統(tǒng)所受非勢力合力為則系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

其中fs和分別為系統(tǒng)的廣義非勢力，廣義約束反力等力的廣義合力在廣義坐標(biāo)qs方向上的分量，即

2 系統(tǒng)的Lagrange對稱性

對于給定系統(tǒng)（1）和（2）的兩組動(dòng)力學(xué)函數(shù)L，f和定義Lr和分別為

其中

引入

并稱之為Lagrange算子，則

定義對于系統(tǒng)（1）和（2），如果由動(dòng)力學(xué)函數(shù)L和f確定的

的每一個(gè)解都滿足由動(dòng)力學(xué)函數(shù)確定的

反之亦然，則表明兩系統(tǒng)之間具有Lagrange對稱性.

由式（10）和（12）得

其中

把（13）式代入（11）式，并考慮到（9）式得

由定義和（15）式得

判據(jù)：對于系統(tǒng)（1）和系統(tǒng)（2），如果兩組動(dòng)力學(xué)函數(shù)和L，f滿足方程（15），則兩系統(tǒng)之間具有Lagrange對稱性.

3 Lagrange對稱性導(dǎo)致的守恒量

對于兩系統(tǒng)的Lagrange對稱性有如下命題：

命題 對于系統(tǒng)（1）和系統(tǒng)（2），如果兩組動(dòng)力學(xué)函數(shù)L，f和滿足條件

則系統(tǒng)的Lagrange對稱性可導(dǎo)致守恒量

其中A為以為元素的矩陣，

證明： 將（18）式代入（15）式得

對（19）式求關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)得

聯(lián)立（9）式和（11）式得

將（21）式代入（20）式得

對求關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)

曹志成等[13]采用轉(zhuǎn)底爐直接還原工藝，“轉(zhuǎn)底爐直接還原- 燃?xì)馊鄯帧奔啊稗D(zhuǎn)底爐直接還原- 磨礦磁選”流程處理銅渣均可獲得鋅品位60.02%的氧化鋅粉塵。曹志成等[14]采用轉(zhuǎn)底爐直接還原和磨礦- 磁選工藝流程，所得最佳還原條件為銅渣∶無煙煤∶石灰石∶工業(yè)純堿=100∶21.5∶10∶1，還原溫度1 280 ℃，還原時(shí)間38 min；在布袋收塵系統(tǒng)所得粉塵中氧化鋅含量為74.25%。

即

由（18）式得

求（25）式關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)得

由（24）和（26）式得

把（27）和（28）式代入（22）式得

即

由式（28）得

將（31）式代入（30）式得

將條件（16），（33）和（34）式代入（32）式，得

因?yàn)門和為反對稱矩陣，U和為對稱矩陣，因此對于任意正整數(shù)m有

根據(jù)矩陣的特性及矩陣跡的性質(zhì)得

即

即

可得（17）式，命題 得證.

4 算例

設(shè)某系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

系統(tǒng)所受各類廣義力合力的分量分別為

試研究系統(tǒng)的Lagrange對稱性及其導(dǎo)致的守恒量.

則根據(jù)（9）式和（10）式得

假設(shè)有另一系統(tǒng)，其性質(zhì)與系統(tǒng)（40）不同，其Lagrange函數(shù)為

其各類廣義力合力的分量分別為

則由（10）得分別為

將（45）式代入（46）式和（47）式，得

并且可以得到

易知（45）式和（41）式滿足條件（16），故由命題得守恒量

5 小結(jié)

本文討論了位形空間中約束力學(xué)系統(tǒng)統(tǒng)一動(dòng)力學(xué)方程的Lagrange對稱性理論，給出了位形空間中約束力學(xué)系統(tǒng)統(tǒng)一動(dòng)力學(xué)方程的Lagrange對稱性判據(jù)和導(dǎo)致守恒量的條件以及守恒量形式.本文給出的結(jié)論不僅可以研究同類系統(tǒng)的Lagrange對稱性，而且可以研究兩個(gè)不同性質(zhì)力學(xué)微分方程的Lagrange對稱性.當(dāng)系統(tǒng)方程中的fs為非完整約束反力，廣義反推力和廣義非勢力之和時(shí)，討論系統(tǒng)變?yōu)樽冑|(zhì)量非完整系統(tǒng)，即本文結(jié)論為文獻(xiàn)［25］的結(jié)果；當(dāng)系統(tǒng)方程中的fs為非完整約束反力和廣義非勢力之和時(shí)，則研究系統(tǒng)為非完整系統(tǒng)，本文結(jié)論將與文獻(xiàn)［17］的結(jié)果相符.

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