橡膠材料的一種5參數(shù)分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型

趙永玲，侯之超，黃友劍，劉建勛，

(1.清華大學(xué)汽車安全與節(jié)能國家重點實驗室，北京100084;2.株洲時代新材料科技股份有限公司，湖南株洲412007)

橡膠材料的一種5參數(shù)分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型

趙永玲1，侯之超1，黃友劍2，劉建勛1，2

(1.清華大學(xué)汽車安全與節(jié)能國家重點實驗室，北京100084;2.株洲時代新材料科技股份有限公司，湖南株洲412007)

通過在分數(shù)導(dǎo)數(shù)Zener模型中增加Scott－Blair黏壺，建立了一種新的5參數(shù)分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型。分析了分數(shù)導(dǎo)數(shù)算子參數(shù)對Cole－Cole曲線形狀的影響;基于某隔振橡膠材料的DMA實驗，應(yīng)用溫—頻等效原理獲得了該材料的動態(tài)模量和損耗因子的主曲線，并識別了新建模型的全部參數(shù)。結(jié)果表明，該模型能夠比較準確地反映具有對稱或非對稱Cole－Cole曲線的橡膠材料的動態(tài)特性。

Cole－Cole曲線;黏彈性;分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型;動態(tài)力學(xué)實驗;參數(shù)識別

減振橡膠，作為一種黏彈性材料，具有緩沖減振等作用，在汽車運輸、軌道交通、國防工業(yè)、民用建筑、醫(yī)療器械等領(lǐng)域均具有廣泛的應(yīng)用。隨著各行業(yè)對結(jié)構(gòu)可靠性和舒適性要求的提高，對橡膠元件進行精細的結(jié)構(gòu)設(shè)計日益普及。為此，迫切需要對橡膠元件動態(tài)特性進行準確表征與仿真分析。

橡膠材料的動態(tài)特性一般采用儲能模量E'、損耗模量E″和損耗因子tanδ(=E'/E″)描述。其中，E'和E″二者之間的關(guān)系，可用Cole－Cole曲線［1］表示。作為一種描述橡膠材料動態(tài)特性的一種有效方式，與其它參數(shù)一樣，黏彈性材料的Cole－Cole曲線與材料的分子結(jié)構(gòu)、加工成型條件、溫度和頻率等密切相關(guān)，其中溫度和頻率等因素至關(guān)重要。隨著溫度的改變，若材料內(nèi)部分子鏈只存在主轉(zhuǎn)變(玻璃化轉(zhuǎn)變)時，可以根據(jù)不同溫度下的E'和E″繪制一條光滑的Cole－Cole曲線:當(dāng)分子結(jié)構(gòu)為均一體系時，曲線具有對稱特性;當(dāng)分子結(jié)構(gòu)為共混體系時，曲線為非對稱［2］。

建立合適的黏彈性材料動力學(xué)本構(gòu)模型是準確預(yù)測橡膠元件動態(tài)特性的前提。由于分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型在較寬的溫度和頻率范圍內(nèi)能夠很好地描述黏彈性材料的動態(tài)特性，因此廣泛應(yīng)用于建立黏彈性材料的本構(gòu)模型。Pritz等［3－4］采用分數(shù)導(dǎo)數(shù)Zener模型討論了黏彈性材料在較寬頻率范圍內(nèi)的力學(xué)特性。詹小麗等［5］采用分數(shù)導(dǎo)數(shù)Maxwell模型研究了改性瀝青材料的動態(tài)黏彈特性。趙永玲等［6］采用高階分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型對橡膠材料動態(tài)力學(xué)性能進行評估。其中分數(shù)導(dǎo)數(shù)Zener模型被證明比較適合預(yù)測黏彈性材料在寬頻范圍內(nèi)的動態(tài)特性，并且模型中的參數(shù)都具有明確的物理意義。但是這種模型只能描述具有對稱Cole－Cole曲線的黏彈性材料的動態(tài)特性。

為描述具有非對稱Cole－Cole曲線的黏彈性材料的動態(tài)特性，需要增加模型參數(shù)的數(shù)量。唐振寰等［7］采用應(yīng)力和應(yīng)變的分數(shù)算子階次不相等的方法建立了一種五參數(shù)分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型。但是該模型不滿足熱力學(xué)定律。Pritz［8］、侯宏等［9］分別通過增加關(guān)于應(yīng)變的分數(shù)導(dǎo)數(shù)項而構(gòu)建了一種5參數(shù)分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型，其中部分參數(shù)的物理意義還有待明確。

鑒于上述現(xiàn)狀，本文以分數(shù)導(dǎo)數(shù)Zener模型為基礎(chǔ)，增加一個Scott－Blair(SB)黏壺［10］而建立了一種五參數(shù)分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型，并分析了分數(shù)導(dǎo)數(shù)算子常數(shù)對Cole－Cole曲線形狀的影響。針對只存在主轉(zhuǎn)變(玻璃化轉(zhuǎn)變)的某橡膠材料，在不同溫度下進行DMA頻率掃描實驗，獲得了材料的儲能模量、損耗模量和損耗因子等實驗數(shù)據(jù)，并利用溫—頻等效原理，得到寬頻范圍內(nèi)的主曲線［11］。進而應(yīng)用試驗數(shù)據(jù)，識別得到了所建立的5參數(shù)分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型的全部模型參數(shù)。通過對比分析，證明所提出模型可以描述具有對稱或非對稱Cole－Cole曲線的橡膠材料的動態(tài)特性。

1 5參數(shù)分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型

分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型中，分數(shù)導(dǎo)數(shù)算子的階次和項數(shù)反映材料黏彈性的強弱。依據(jù)Scott－Blair黏壺單元的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，在頻域中導(dǎo)出對應(yīng)的存儲模量與損耗模量表達式。由此可以看出，當(dāng)頻率不變時，Scott－Blair黏壺單元的微分階算子階次決定其Cole－Cole曲線的斜率。顯然，對于非對稱的Cole－Cole曲線，材料模型中至少需要兩個Scott－Blair黏壺單元。因此，本文首先借鑒文獻［7－9］增加分數(shù)導(dǎo)數(shù)項的作法，在分數(shù)導(dǎo)數(shù)Zener模型中增加一個Scott－Blair黏壺，構(gòu)建出一個新的5參數(shù)分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型，以描述具有非對稱性Cole－Cole曲線的黏彈性特性。然后分析各分數(shù)導(dǎo)數(shù)階次對動態(tài)特性的影響，并通過模型退化闡述模型的適應(yīng)性。

1.2 5參數(shù)本構(gòu)方程與模量

在分數(shù)導(dǎo)數(shù)Zener模型中增加一個Scott－Blair黏壺，即構(gòu)成一個新的模型(見圖1)。模型中含有5個參數(shù)α、β、E0、E∞和τ。其中α和β分別為兩個黏壺的分數(shù)導(dǎo)數(shù)階次，E0為靜態(tài)模量，E∞為高頻動態(tài)模量的極限值，τ為松弛時間。兩個黏壺對應(yīng)的應(yīng)變分別為ε3和ε2，兩個彈簧對應(yīng)的應(yīng)變分別為ε1和ε4。

5參數(shù)分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型(見圖1)，依據(jù)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，得到本構(gòu)方程:

圖1 5參數(shù)分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型Fig.1 A fractional derivativemodel with five parameters

為滿足熱力學(xué)定律，應(yīng)該滿足0＜β≤α＜1。由于方程中可能包含導(dǎo)數(shù)階次大于1的項，因此該模型可稱為高階分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型。Dα為第α階分數(shù)導(dǎo)數(shù)，可以定義如下:

式中:Γ為Gamma函數(shù)。

對式(1)作Fourier變換，可得到該模型所描述材料的復(fù)模量表達式:

式中:ωn=ωτ，ω=2πf。由此可以求得材料的儲能模量、損耗模量和損耗因子:

上述方程反映了材料各性能參數(shù)隨頻率f的變化關(guān)系。由式(4)可知，E'(ω→0)=E0，E'(ω→∞)= E∞。由于溫度和頻率對于黏彈性材料特性的影響可以通過溫度－頻率等效原理來轉(zhuǎn)化，因此式(4)～式(6)也可用于揭示E'、E″和tanδ隨溫度的變化規(guī)律。

1.3 分數(shù)導(dǎo)數(shù)階次與Cole-Cole曲線

根據(jù)式(4)和式(5)可以計算出不同頻率時的儲能模量E'和損耗模量E″。以E'為橫坐標E″為縱坐標繪制曲線，即得到Cole－Cole曲線(見圖2)。由圖2可知，α≠β時，Cole－Cole曲線均為非對稱曲線。圖2(a)為α變化β不變時的Cole－Cole曲線。隨著α的變化，低頻時Cole－Cole曲線的斜率變化較大，高頻時其斜率均趨于一定值。這意味著參數(shù)α與低頻時的動態(tài)特性有關(guān)，亦即α反映低頻時Cole－Cole曲線的變化率。圖2(b)為α不變β變化時的Cole－Cole曲線。隨著β的變化，低頻時Cole－Cole曲線的斜率變化不大，高頻時儲能模量和損耗因子的斜率隨β值的變化比較明顯，即β反映高頻時Cole－Cole曲線的變化率。這樣，5參數(shù)分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型中各參數(shù)的物理意義比較明確。

圖2 Cole－Cole曲線Fig.2 Cole－Cole curve

1.4 退化模型

對于所建立的5參數(shù)分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型，如果分數(shù)階算子滿足α=β，式(1)就簡化為:

另一方面，分數(shù)導(dǎo)數(shù)Zener模型的本構(gòu)方程可表示為:

式(7)和式(8)二者的差別僅在于σ與ε一次項的常系數(shù)不同。換言之，當(dāng)α=β時，本文構(gòu)建的5參數(shù)分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型可以退化為與分數(shù)導(dǎo)數(shù)Zener類似的模型。這說明新建立的模型也適合于Cole－Cole曲線為對稱時的黏彈性材料，如圖2(a)中α=β=0.4和圖2 (b)中α=β=0.7兩種情況。

因此，當(dāng)材料具有對稱Cole－Cole曲線時，可應(yīng)用式(6)計算材料的儲能模量、損耗模量和損耗因子:

2 橡膠材料DMA實驗

為了驗證前文所建立的5參數(shù)分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型，對某減振橡膠進行動態(tài)機械分析(Dynamic Mechanical Analytic，DMA)實驗。首先進行恒定頻率下的溫度掃描實驗，確定材料的玻璃化轉(zhuǎn)變區(qū)域;再通過不同恒定溫度下的頻率掃描實驗，獲取材料的儲能模量、損耗模量和損耗因子隨頻率的變化曲線;然后利用溫－頻等效原理將這些曲線進行平移，繪制出參考溫度下的主曲線。

2.1 DMA實驗

采用德國GABO公司制造的EPLEXOR 500N型動態(tài)熱力學(xué)分析儀(見圖3)，測定橡膠材料在不同溫度的一組頻率譜。橡膠試樣尺寸為20 mm×6 mm× 2 mm，加載方式采用軸向拉伸模式。

圖3 EPLEXOR 500N型動態(tài)熱力學(xué)分析儀Fig.3 EPLEXOR 500N dynamic thermal analyzer

下面分別從溫度掃描和頻率掃描兩個方面對測試數(shù)據(jù)進行分析，以闡述材料的力學(xué)性能。

2.1.1 溫度掃描

溫度掃描實驗中選取的溫度范圍越寬，則通過溫－頻等效原理得到的主曲線跨越的頻率范圍就越寬。溫度范圍的選取可以通過溫度掃描實驗來確定。圖4為頻率為2 Hz時的溫度掃描曲線，由圖4可知，此橡膠材料在－80～60℃范圍內(nèi)只存在主轉(zhuǎn)變(也稱玻璃化轉(zhuǎn)變);而在－60～－40℃之間E'、E″和tanδ變化均較大，此溫度范圍稱為玻璃化轉(zhuǎn)變區(qū)域。玻璃化轉(zhuǎn)變溫度Tg可以采用儲能模量轉(zhuǎn)折點對應(yīng)的溫度來定義，也可以采用損耗模量和損耗因子峰值對應(yīng)的溫度作為玻璃化轉(zhuǎn)變溫度。這三種方法得到的玻璃化溫度稍有不同，本文研究中以損耗因子峰值對應(yīng)的溫度定義為所研究橡膠材料的玻璃化轉(zhuǎn)變溫度，由圖4可知為－50℃。

圖4 溫度掃描曲線Fig.4 Curves from temperature scanning

2.1.2頻率掃描

由圖4可知，＜－60℃和＞20℃時E'、E″和tanδ曲線均趨于穩(wěn)定。因此選?。?0～20℃之間的溫度分別作為實驗溫度，進行頻率掃描，頻率掃描范圍為0.5～15 Hz。圖5為在恒定溫度分別為－60℃、－55℃、－50℃、－45℃、－40℃、－30℃、－20℃、－10℃、0℃、10℃、20℃時頻率掃描實驗得到的E'、E″和tanδ曲線。從圖5(a)可知，儲能模量隨著頻率的升高而增大、隨著溫度的升高而減小。由圖5(b)可知，－60℃時損耗模量隨著頻率的升高而減小，T＞－55℃時，損耗模量隨著頻率的升高而增大，說明在－60～－55℃時損耗模量具有最大值。從圖5(c)可知，當(dāng)T＜－55℃時，損耗因子隨著頻率的升高而減小;當(dāng)T＞－45℃時，損耗因子隨著頻率的升高而增大，說明在－55～－45℃時損耗因子具有最大值，與溫度掃描得到的玻璃化轉(zhuǎn)變溫度是一致的。

圖5 頻率掃描實驗結(jié)果Fig.5 Curves from frequency scanning

2.2 繪制主曲線

為準確描述橡膠材料在寬頻率范圍內(nèi)的動態(tài)特性，將經(jīng)由DMA實驗得到的不同溫度下的頻率掃描數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為參考溫度下的黏彈性函數(shù)主曲線。為此，需要應(yīng)用合適的溫－頻等效模型。目前最常用的溫－頻等效模型是WLF模型，其具體形式為:

式中:αT為溫－頻轉(zhuǎn)換因子，T0為參考溫度，C1和C2是經(jīng)驗常數(shù)。選擇不同溫度作為參考溫度，該式的形式不變，只是參數(shù)C1和C2不同。

選玻璃化轉(zhuǎn)變溫度－50℃作為參考溫度，利用非線性最小二乘法擬合獲得相對該參考溫度的溫頻轉(zhuǎn)換因子和經(jīng)驗常數(shù)。其中，材料常數(shù)C1=7.2，C2=37.5，而不同溫度下的溫－頻轉(zhuǎn)換因子見圖6。

根據(jù)溫－頻轉(zhuǎn)換因子繪制橡膠材料主曲線(見圖7)。由圖7可知，不同溫度下的儲能模量、損耗模量和損耗因子經(jīng)過平移后，得到參考溫度下的光滑主曲線，且頻率跨越接近10個數(shù)量級。

圖6 不同溫度下的溫－頻轉(zhuǎn)換因子Fig.6 Temperature－frequency conversion factor under different temperatures

圖7 主曲線Fig.7 Themaster curve

圖8 Cole－Cole曲線Fig.8 The Cole－Cole curve

3 模型參數(shù)識別

根據(jù)圖7所示主曲線中的儲能模量E'和損耗模量E″的數(shù)值，可繪制出Cole－Cole曲線(見圖8)。

從圖8可知，Cole－Cole曲線具有明顯的非對稱性。采用前文構(gòu)建的5參數(shù)分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型進行參數(shù)識別:將11組不同溫度下的頻率掃描試驗數(shù)據(jù)代入式(4)～式(6)，采用非線性最小二乘法擬合得到全部模型參數(shù)(見表1)。

表1 分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型擬合參數(shù)Tab.1 The fitting param etersof fractional derivativemodel

應(yīng)用識別獲得的模型參數(shù)，根據(jù)式(4)～式(6)計算所研究橡膠材料的儲能模量、損耗模量和損耗因子。預(yù)測精度應(yīng)用下式定義的相對誤差進行評價:

式中:EiE和EiP分別為第i個實驗值和擬合值，n為擬合點數(shù)。計算顯示，儲能模量、損耗模量和損耗因子的擬合誤差分別為2.27%、8.72%、7.51%，均不超過10%，滿足工程精度要求。

繪制E'－lg f、E″－lg f、tanδ－lg f曲線和Cole－Cole曲線，并與試驗曲線對比(見圖9)。由圖9可知，5參數(shù)分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型計算得到的儲能模量、損耗模量和損耗因子，與試驗數(shù)據(jù)吻合良好。這驗證了模型的合理性。

圖9 模型預(yù)測結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)的對比Fig.9 Comparison between model prediction and experimental data

4 結(jié)論

本文提出了橡膠材料的一種分數(shù)導(dǎo)數(shù)黏彈性本構(gòu)模型。針對某種橡膠材料，設(shè)計并進行了不同溫度下的DMA頻率掃描實驗，應(yīng)用實測數(shù)據(jù)，繪制了材料的儲能模量、損耗模量及損耗因子的主曲線;進而通過非線性最小二乘擬合，識別得到了全部模型參數(shù)，模型預(yù)測結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)吻合良好。分析與計算顯示，所提出的分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型既適合具有對稱Cole－Cole曲線的材料，也適合具有非對稱Cole－Cole曲線的材料。利用該模型可以預(yù)測不同頻率(或溫度)下的黏彈性材料動力學(xué)特性，具有重要的應(yīng)用價值。

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A fractional derivativemodelw ith five parameters for rubber materials

ZHAO Yong－ling1，HOU Zhi－chao1，HUANG You－jian2，LIU Jian－xun1，2
(1.State Key Laboratory of Automotive Safety and Energy Saving，Tsinghua University，Beijing 100084，China; 2.Zhuzhou Time New Material Technology Co.，Ltd.，Zhuzhou 412007，China)

A fractional derivative model with five parameters was constructed by adding a Scott－Blair pot to the fractional derivative Zenermodel.Numerical analysiswas conducted to analyze the influence of parameters of the fractional derivative operators on Cole－Cole curves.Dynamic analysis testswere then performed on a rubbermaterial usually used for vibration isolation.Using the measured data，the storage modulus，loss modulus and loss factor of the material were derived by adopting the temperature－frequency equivalence principle，and all parameters of the new fractional derivative model were identified.The results demonstrated that the newly established fractional derivativemodelwith five parameters can accurately describe the dynamic characteristics of rubber materials with a symmetric or non－symmetric Cole－Cole curve.

Cole－Cole curve;visco－elasticity;fractional derivativemodel;dynamic test;parameter identification

TB303

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.23.007

中國南車科技資助項目(2011NCK098)

2014－09－15修改稿收到日期:2014－12－26

趙永玲女，博士生，1974年生

侯之超男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1966年生