彈性邊界約束田字型耦合板的振動特性研究

張安付，盛美萍，馬建剛

(西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院，西安710072)

彈性邊界約束田字型耦合板的振動特性研究

張安付，盛美萍，馬建剛

(西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院，西安710072)

以平面內(nèi)田字型耦合薄板結(jié)構(gòu)為研究對象，提出了一種計算彈性約束邊界條件耦合板振動響應(yīng)的解析方法。利用耦合部位的平衡條件和連續(xù)性條件，建立了耦合板結(jié)構(gòu)的邊界耦合方程。使用改進的傅里葉級數(shù)作為每個子板的彎曲位移函數(shù)，從而使得微分形式的邊界耦合方程和各子板的運動方程離散為簡單的線性方程組。ANSYS有限元軟件仿真驗證了建立的理論模型的正確性。利用該理論模型，分析了邊界約束剛度的附帶阻尼對耦合板結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)的影響，結(jié)果表明:在橫向約束剛度較軟的情況下，橫向約束剛度附帶的邊界阻尼可以明顯削弱低階共振響應(yīng)。在求得結(jié)構(gòu)位移的基礎(chǔ)上，進一步給出了耦合板結(jié)構(gòu)功率流的表達(dá)式，并對耦合板結(jié)構(gòu)內(nèi)的振動功率流傳遞特性進行了仿真研究，結(jié)果表明:增大邊界約束剛度能有效阻礙功率流在邊界處的流動;當(dāng)外激勵頻率為低階共振頻率時，功率流更容易從受激板流向與受激板相同材質(zhì)的接受板。

田字型耦合板;功率流;彈性約束邊界;邊界阻尼

實際工程中，存在大量的耦合板結(jié)構(gòu)，如橋梁結(jié)構(gòu)、船體艙室結(jié)構(gòu)、房屋墻體結(jié)構(gòu)等。針對耦合板結(jié)構(gòu)的振動特性已有研究者做過大量的研究，例如，對于L型板，一些文獻對其進行過統(tǒng)計能量分析［1－2］，能量流分析［3］，導(dǎo)納功率流分析［4］。更深入的研究如Du［5］和薛開［6］分別研究了具有彈性連接耦合邊界的L型耦合板振動特性;史冬巖［7］和Chen［8］分別研究了T型和盒型耦合板振動特性以及功率流特性，但是由于其耦合板的耦合邊界為彈性連接，邊界處的位移量一般不連續(xù)。在實際工程中，還存在結(jié)構(gòu)間剛性連接同時邊界帶有基礎(chǔ)彈性約束的耦合板結(jié)構(gòu)，如高架橋橋面、安裝在彈性實肋板上的潛艇外殼，這種類型的耦合板耦合邊界處位移量一般連續(xù)，處理方式與上述文獻不同。目前，這類耦合板的研究大多針對于多跨橋梁結(jié)構(gòu)，其耦合布局往往呈一字型，如Song等［9］研究了簡支邊界兩跨板的振動和氣動彈性特性;Johansson等［10］在梁振動方程基礎(chǔ)上運用模態(tài)疊加方法給出了耦合邊處具有彈性約束剛度的板橋結(jié)構(gòu)振動問題的精確解。多跨板橋型結(jié)構(gòu)的其他研究方法還有如有限元法［11］，導(dǎo)納法［12］等。

然而，對于其它非一字布局的剛性連接耦合板，涉及到的文獻較少。田字型板是工程中大量存在的平面內(nèi)耦合板結(jié)構(gòu)的一種精簡模型，對田字型板振動特性研究有助于更為深入地掌握耦合板結(jié)構(gòu)的振動傳遞規(guī)律。本文以平面內(nèi)耦合板中的田字型板為研究對象，提出一種求解耦合邊處具有彈性剛度約束、田字型布局耦合板振動特性的解析方法。根據(jù)耦合邊界處力、彎矩平衡以及位移、轉(zhuǎn)角連續(xù)性條件，建立耦合邊界方程，采用改進的傅里葉級數(shù)作為位移表達(dá)式，將耦合板結(jié)構(gòu)的邊界方程和運動方程轉(zhuǎn)換為線性方程組，并求解得到耦合板上各個子板的位移分布。進一步分析耦合邊界約束剛度附帶阻尼對耦合板振動特性的影響。最后分析田字型耦合板中功率流的傳遞特性。

1 理論研究

圖1為四塊剛性連接在一起呈田字型布局的耦合板結(jié)構(gòu)示意圖，其中每塊板的厚度和材料可以任意定義。耦合板結(jié)構(gòu)的四周邊界和中間連接邊界存在來自于剛性基礎(chǔ)的彈性約束，分為橫向彈性約束和扭轉(zhuǎn)彈性約束。

對于圖1所示的耦合板結(jié)構(gòu)，可以將其拆分為四個子板結(jié)構(gòu)，每個子板結(jié)構(gòu)擁有獨立的直角坐標(biāo)系，各子板獨立坐標(biāo)系如圖2所示。依次給四塊子板進行編號，并根據(jù)板編號，依次為每塊子板的四條邊界編號。根據(jù)邊界編號，可以對所有邊界的橫向彈性約束剛度和扭轉(zhuǎn)彈性約束剛度進行命名，例如對于第一塊子板，命名橫向約束剛度為k11、k12、k13和k14，量綱為N/m2，旋轉(zhuǎn)約束剛度為K11、K12、K13和K14，量綱為N/m/rad，對于其它子板，可以此類推。

在每個相鄰子板的連接處、耦合板結(jié)構(gòu)外圍邊界處，根據(jù)力、彎矩平衡條件，以及位移、轉(zhuǎn)角連續(xù)性條件可以得到如下32個邊界耦合方程，其中每個耦合方程右邊的第二項均為耦合項，這些耦合項可以根據(jù)各板的連接情況確定，如板1與板2、板3相連接，則在板1的邊界方程中，存在來自板2和板3的邊界力和邊界彎矩。

板1上的邊界方程

式中:k13=k21，k22=k44，k33=k41，k12=k34，K13=K21，K22=K44，K33=K41，K12=K34，θix=?wi/?x，θiy=?wi/?y (i=1，2，3，4)，為了引入邊界約束剛度的附帶阻尼，可以采用復(fù)數(shù)形式的邊界剛度，如用k11(1+jη11)代替k11，用K11(1+jμ11)和代替K11。η，μ分別為橫向約束剛度和扭轉(zhuǎn)約束剛度的附帶阻尼。其他約束剛度的附帶阻尼，可以此類推獲得。

圖1 彈性約束邊界田字型耦合板結(jié)構(gòu)Fig.1 Four－Palace type coupled plates with elastic edge restraints

圖2 耦合板結(jié)構(gòu)的坐標(biāo)系統(tǒng)和編號方式Fig.2 The coordinate system and numbering of coupled plates

本文邊界方程的獲得方法可以拓展到平面內(nèi)其他耦合布局的耦合板結(jié)構(gòu)，如平面內(nèi)L型、T型、九宮格型等種類耦合板，只需根據(jù)各板之間的連接情況，修改各塊板邊界方程中的耦合項即可。

上述32個邊界方程中Q，M為板邊界截面的橫向剪切力和彎矩，其表達(dá)式為

事實上，由于四塊板結(jié)構(gòu)均在板的邊界處耦合，可將板之間的耦合關(guān)系都放在邊界方程中，如式(1)～式(4)所示，四塊板的運動方程中可不添加耦合項。四塊子板的運動方程可以獨立寫出，各子板運動方程可寫為

式(6)和式(7)中:Di、νi、ρi、hi、Fi分別為第i塊板的彎曲剛度、泊松比、密度、厚度和受到的點力幅值。

由于每個板的邊界為彈性約束，設(shè)位移函數(shù)為雙重傅里葉余弦級數(shù)+增補函數(shù)的形式［13］，四塊板的位移表達(dá)式表示如下

式中:ξ(x)，ξ(y)為自定義函數(shù)，λm=mπ/a，λn=nπ/ b，a，b為相應(yīng)子板的尺寸，將位移表達(dá)式代入32個邊界方程，通過積分，消去方程兩端的位置項cos(λmx)和cos(λny)，即可得到與位置無關(guān)的邊界方程為

將位移表達(dá)式代入四塊子板的運動方程，同樣，通過積分，消去方程兩端的位置項cos(λmx)和cos(λny)，即可得到與位置無關(guān)的運動方程

聯(lián)立式(9)和式(14)，消去p得到標(biāo)準(zhǔn)化的線性方程組

式中:K、M、H、Q、S、T和F均為已知矩陣。

求解式(15)和式(9)，得到未知系數(shù)集合a和p，代入位移表達(dá)式中，可以得到各個子板的位移分布，進而可得板內(nèi)截面力、彎矩和功率流等量。四塊板在各自的坐標(biāo)系下x，y方向的振動功率流分量分別為［8］

通過板上(x，y)點處的總功率流大小為

雖然本文的研究對象只針對田字型板，但對于平面內(nèi)其他耦合布局的耦合板，如L型、T型、九宮格型等布局，本文方法同樣適用，具體操作方法如下:

若存在J塊板，首先根據(jù)右手定則，在每塊板上建立獨立的直角坐標(biāo)系，寫出J塊板在未耦合情況下的帶有彈性約束剛度的J×8個邊界方程，可參考文獻［13］;

其次根據(jù)相鄰板的連接關(guān)系，在J×8個邊界方程的右邊補充耦合項;

然后寫出J塊板運動方程，并將J塊板的位移場函數(shù)表達(dá)成式(8)所示形式;

最后聯(lián)立所有的邊界方程和運動方程，代入位移表達(dá)式，即可得到矩陣形式的邊界方程和運動方程，求解可獲得各種平面內(nèi)耦合板結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性和受外激勵力下的位移響應(yīng)。

2 仿真分析

2.1 計算方法驗證

選取耦合板結(jié)構(gòu)各子板材料和厚度參數(shù)如下:板1，鋼，2 mm;板2，鋁，2 mm;板3，鋁，2 mm;板4，鋼，3 mm。四塊子板的長寬均為0.5 m×0.4 m，如圖3所示。首先設(shè)置耦合板結(jié)構(gòu)外圍邊界約束剛度值k和K均取1×1010N/m2(N/rad)，四塊板耦合邊的橫向約束剛度值k同樣為1×1010N/m2，旋轉(zhuǎn)約束剛度的剛度值K為10 N/rad，記為第一種彈性約束方式。

圖3 彈性約束方式下的田字型耦合板Fig.3 The coupled plates with elastic edges

在表1中給出了耦合板結(jié)構(gòu)的前10階固有頻率。為了方便比較，由ANSYS軟件計算得到的有限元結(jié)果也在表中列出。為檢驗本文計算方法的收斂性，給出了傅里葉級數(shù)的展開項數(shù)分別取M=N=3、4、5、10和15時，所求得的固有頻率值，從表1中可以看出本文方法計算結(jié)果與有限元計算結(jié)果吻合良好，僅用少量截斷項數(shù)即可獲得足夠精確的結(jié)果。

表1 第一種彈性邊界約束下耦合板的前10階固有頻率Tab.1 The first 10 order natural frequencies of the coupled platesw ith the first elastic edges

計算每塊子板上200個點速度響應(yīng)數(shù)據(jù)，并取平均值作為每塊子板的平均振速。同樣在ANSYS使用SHELL181建立與算例相同參數(shù)的耦合板結(jié)構(gòu)有限元模型，邊界約束與算例相同，進行諧響應(yīng)分析，使用NSOL命令提取每塊子板的振動速度，并求平均，得到每塊子板平均振動速度的有限元方法結(jié)果。將理論模型計算結(jié)果與ANSYS軟件結(jié)果對比(見圖4)。從圖4可知，本文計算值與ANSYS軟件計算值一致性很好，從而證明了本文方法的有效性。

設(shè)置圖3的田字型耦合板外圍邊界和耦合邊的橫向約束和旋轉(zhuǎn)約束剛度值均為0.1 N/m2(N/rad)，記為第二種彈性邊界約束方式。在表2中列出了第二種彈性邊界約束下田字型耦合板結(jié)構(gòu)的前10階固有頻率，ANSYS計算得到的有限元結(jié)果也在表中給出。相應(yīng)的模態(tài)振型可以通過將矩陣(M+TH－1Q)－1(K+ SH－1Q)的特征向量代入到位移表達(dá)式中求得。耦合板的前三階模態(tài)振型等位線(見圖5)，同時圖6也給出了ANSYS軟件中模態(tài)振型，兩者對比表明了本文方法和有限元方法結(jié)果一致性很好。

圖4 第一種彈性邊界約束下田字型耦合板平均振動速度Fig.4 The average velocity of each sub－plate with the first elastic edges

圖5 第二種彈性邊界約束下，本文方法的前三階固有振型Fig.5 The first three ordermodal shapes form the presentmethod

圖6 第二種彈性邊界約束下，有限元方法的前三階固有振型Fig.6 The first three ordermodal shapes form FEM

圖7 第二種彈性邊界約束方式下田字型耦合板平均振動速度Fig.7 The average velocity of each sub－plate with the second elastic edges

同樣利用本文方法計算上述耦合板中每塊子板的平均振動速度，并與ANSYS計算結(jié)果作對比，見圖7。從圖7所示的對比曲線可知，對于算例中的第二種彈性邊界約束方式，本文計算值與ANSYS軟件的有限元計算值一致性也同樣很好，進一步證明了本文方法的有效性。

下面討論本文方法與有限元方法的計算效率。以具有特別精細(xì)網(wǎng)格的有限元模型(剛度矩陣階數(shù)達(dá)32 000)計算出的固有頻率作為精確值，將本文方法計算出的圖3耦合板在第一種彈性約束邊界下第136、137和138階固有頻率(1 000 Hz附近)與精確值作對比見表3，可以發(fā)現(xiàn)，剛度矩陣階數(shù)為400階時，本文方法在1 000 Hz以內(nèi)已經(jīng)達(dá)到很高的精度。同樣，利用有限元法，計算不同剛度矩陣階數(shù)下相同耦合板的固有頻率，如表4所示。對比表3、表4可知，利用有限元法，剛度矩陣維數(shù)需達(dá)到12 500階，才能取得與本文方法相近的精度，而利用本文方法，剛度矩陣階數(shù)只需400階，兩者相差30倍以上。在同一臺PC機上，設(shè)置本文方法剛度矩陣為400階，有限元方法剛度矩陣為12 500階，考察本文方法比有限元方法精度略高情況下兩種方法的計算時長，經(jīng)測定，本文方法整個建模和求解時長為0.5 s，而有限元法的計算時長為14 s，相差70倍。由此可知，相比于有限元法，本文方法有較高的計算效率。

表3 本文方法－不同剛度矩陣階數(shù)下固有頻率(Hz)Tab.3 The natural frequencies from the present method w ith different stiffnessmatrix dimensions(Hz)

表4 有限元方法－不同剛度矩陣階數(shù)下固有頻率(Hz)Tab.4 The natural frequencies from the FEM w ith different stiffnessmatrix dimensions(Hz)

2.2 試件測試

開展田字型板的試驗研究，加工試件，四塊鋼板的厚度從板1到板4分別為2 mm，3 mm，2 mm，3 mm，連接邊焊接，測試系統(tǒng)(見圖8)。

由于鋼板滿焊會使得板結(jié)構(gòu)變形，因此試件采用點焊連接。使用阻抗頭測量輸入結(jié)構(gòu)的輸入點響應(yīng)(見圖9)，可見測試值與理論值的一致性較為良好，產(chǎn)生的誤差是由于試件焊接時焊點不夠密集，以及焊點間距不均勻，導(dǎo)致試件與理論模型存在差異。

2.3 邊界阻尼參數(shù)分析

彈性約束剛度對薄板振動響應(yīng)的影響，有學(xué)者做過具體的仿真分析。本文主要討論邊界約束剛度附帶邊界阻尼對耦合板振動的影響。所有邊界處的橫向約束剛度取值一致，記為k，其附帶邊界阻尼η也取值一致。K，μ亦然。

首先討論橫向約束剛度附帶阻尼η對耦合板振動的影響。k分別取105N/m2、106N/m2、107N/m2和108N/m2，K取105N/rad，計算出整個耦合板的平均振動速度(見圖10)。

從圖10可知，在軟橫向邊界剛度條件下，η能極大地削弱低頻處的振動響應(yīng)，隨著橫向約束剛度增大，η的抑振效果逐漸向高頻移動。

其次討論旋轉(zhuǎn)約束剛度附帶阻尼μ對耦合板結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)的影響。K分別取103N/rad、104N/rad、105N/rad和106N/rad，k取105N/m2，計算出整個耦合板的平均振動速度(見圖11)。

從圖11可知，在軟旋轉(zhuǎn)約束剛度的條件下，μ在較寬的頻段內(nèi)有一定的抑振效果，隨著旋轉(zhuǎn)約束剛度增大，μ的抑振效果逐漸消失。

圖8 田字型板測試系統(tǒng)Fig.8 Thevibration test system of Four－Palace type coupled plates

圖9 振動響應(yīng)測試值與理論值對比Fig.9 Comparison of test results and results of the presentmethod

圖10 橫向約束剛度附帶阻尼對田字型耦合板振動的影響Fig.10 The effect of the boundary damping of translational constraints on vibration response of coupled plates

圖11 旋轉(zhuǎn)約束剛度附帶阻尼對田字型耦合板振動的影響Fig.11 The effect of the boundary damping of rotational constraints on vibration response of coupled plates

2.4 振動功率流傳遞特性分析

下面考察外部激勵作用下，振動功率流在整個耦合板結(jié)構(gòu)內(nèi)的分布和傳遞情況。首先考慮四塊子板尺寸均為0.5 m×0.4 m×3 mm的等厚度鋼板，在板1的 (0.17 m，0.13 m)點施加外激勵力。考慮兩類邊界剛度，一類是所有橫向彈性邊界剛度為105N/m2，旋轉(zhuǎn)彈性邊界剛度為105N/rad，另一類是將板3和板4之間的橫向彈性邊界剛度k33設(shè)置為107N/m2，旋轉(zhuǎn)彈性邊界剛度K33設(shè)置為106N/rad，其他邊界剛度值與第一類相同。分別取外激勵頻率為前三階共振頻率，繪制結(jié)構(gòu)的功率流流動圖，如圖12～圖14所示，圖中激勵點的位置可以由功率流技術(shù)清楚地顯示在耦合板面上。從圖12～圖14中(a)圖和(b)圖對比可以看出，當(dāng)增大板3、4之間的邊界約束剛度，如圖12(b)～圖14(b)圖中的粗線所示，則基礎(chǔ)對邊界的約束作用增強，板3和板4之間功率流幅值明顯減弱，耦合板功率流方向改變較大。

圖12 激勵頻率為第一階共振頻率時兩類結(jié)構(gòu)功率流流動Fig.12 The power flow for the first resonance frequency as excitation frequency

再考慮不同材質(zhì)子板的功率流傳遞特性，將第3塊、第4塊板換成鋁板，第1塊、第2塊板為鋼板不變，使用同樣的方法計算耦合板的功率流分布和傳遞情況，取激勵力頻率為第一階、第二和第五階共振頻率。從圖15可知，當(dāng)外激勵頻率較低時，功率流更容易從受激板流向與受激板相同材質(zhì)的接受板，但隨著外激勵頻率升高，功率流流動變得復(fù)雜，這種現(xiàn)象逐漸消失。

圖13 激勵頻率為第二階共振頻率兩類結(jié)構(gòu)功率流流動Fig.13 The power flow for the second resonance frequency as excitation frequency

圖14 激勵頻率為第三階共振頻率兩類結(jié)構(gòu)功率流流動Fig.14 The power flow for thethird resonance frequency as excitation frequency

圖15 功率流在不同材質(zhì)子板結(jié)構(gòu)內(nèi)的流動Fig.15 The power flow in coupled plateswith the differentmaterials

3 結(jié)論

本文提出了一種求解耦合邊處具有彈性約束、田字型剛性連接耦合板振動特性的解析方法。根據(jù)耦合邊界處力、彎矩平衡以及位移、轉(zhuǎn)角連續(xù)性條件，建立耦合邊界方程，采用改進的傅里葉級數(shù)作為位移表達(dá)式，代入耦合邊界方程和各個板的振動方程，將其轉(zhuǎn)換成簡單的線性方程組，并求解得到田字型耦合板的模態(tài)參數(shù)和位移。使用ANSYS有限元軟件驗證了該方法的正確性，并通過比較發(fā)現(xiàn)本文方法相比于有限元方法有較高的計算效率。

利用本文的理論模型和方法分析了彈性約束剛度附帶阻尼對耦合板振動響應(yīng)的影響以及耦合板結(jié)構(gòu)功率流傳遞特性，仿真表明:

(1)在軟橫向約束剛度條件下，橫向約束剛度的附帶阻尼能極大地削弱低頻處的振動響應(yīng)，隨著橫向約束剛度升高，其抑振效果逐漸向高頻移動;

(2)在軟旋轉(zhuǎn)約束剛度的條件下，旋轉(zhuǎn)約束剛度的附帶阻尼在較寬的頻段內(nèi)有一定的抑振效果，隨著旋轉(zhuǎn)約束剛度升高，其抑振效果逐漸消失;

(3)增大基礎(chǔ)對邊界的約束，能阻礙功率流在邊界附近的流動;

(4)當(dāng)外激勵頻率為低階共振頻率時，功率流更容易從受激板流向與受激板相同材質(zhì)的接受板。

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Vibration features of four-palace type coupled platesw ith elastic boundary restraints

ZHANG An－fu，SHENGMei－ping，MA Jian－gang
(School of Marine Engineering，Northwestern Polytechnical University，Xi'an 710072，China)

Here，the vibration response of in－plane four－palace type coupled plates was studied.A method to calculate the vibration of coupled plates with elastic edges was proposed.Based on balance conditions and continuity conditions of coupling positions，the boundary coupled equations of four－palace type coupled plateswere established.The improved Fourier serieswere used to express the bending vibration displacement functions of these plates，and they were substituted into boundary coupled equations and equations ofmotion of these plates，then these differential equationswere converted into simpler linear algebraic equations，so the natural frequencies，modal shapes and displacements of coupled plateswere solved conveniently.The presented theoreticalmodel and method were verified with the finite element software ANSYS.Using the presented theoretical model，the effect of boundary damping of elastic constraints on the vibration response of coupled plateswas analyzed.The results showed that the boundary damping of lateral constraints can reduce lower order resonance responses significantly when the lateral constraints have smaller stiffness values.Using the obtained displacements of plates，the expressions of power flow for coupled plates were derived，and then the vibration power flow transfer characteristics of coupled plateswere simulated.The results showed that increasing restraint stiffness of edges can effecively hinder the power flow to flow along edges，and the power flow tends to flow into the accepted platewith the same material as that of the excited plate when the outernal excitation frequencies are the lower order resonance ones.

four－palace type coupled plates;power flow;elastic boundary restraints;boundary damping

O326;TB532

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.23.034

2014－07－21修改稿收到日期:2014－12－30

張安付男，博士，1986年生

盛美萍女，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1970年生郵箱:smp@nwpu.edu.cn