復(fù)合材料層合板的雙Hopf分叉分析*

周艷 張偉

（北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124）

引言

復(fù)合材料層合板振動(dòng)與穩(wěn)定性的研究始于上世紀(jì)八十年代，隨后許多學(xué)者開(kāi)始關(guān)注層合板的非線性振動(dòng)響應(yīng)問(wèn)題.Nayfeh等人［1］利用實(shí)驗(yàn)方法研究了在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下復(fù)合材料層合板的非線性振動(dòng)問(wèn)題.Abe等人［2］利用多尺度法研究了簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下矩形層合薄板的兩模態(tài)非線性響應(yīng).Chen等人［3］研究了通常情況下在初始不均勻應(yīng)力作用下的層合板大振幅非線性動(dòng)力學(xué)方程.Ye等人［4，5］研究了正交對(duì)稱(chēng)鋪設(shè)及反對(duì)稱(chēng)鋪設(shè)的復(fù)合材料層合板在參數(shù)激勵(lì)作用下的非線性振動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng).Zhang等人［6］研究了復(fù)合材料層合板在1∶1內(nèi)共振情況下的周期和混沌運(yùn)動(dòng).Guo等人［7］研究了角鋪設(shè)復(fù)合材料層合板的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng).

首先引入了復(fù)合材料層合板的非線性動(dòng)力學(xué)方程，利用多尺度法得到系統(tǒng)在直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)形式下的平均方程，利用高維非線性系統(tǒng)的Hopf分叉定理，研究了復(fù)合材料層合板在主參數(shù)共振－1∶1內(nèi)共振下的雙Hopf分叉.數(shù)值模擬給出了系統(tǒng)在一定條件下存在不同形式的周期運(yùn)動(dòng).

1 復(fù)合材料層合板的平均方程

以飛機(jī)機(jī)翼的顫振為工程背景，把機(jī)翼的局部簡(jiǎn)化為如圖1所示的力學(xué)模型，它是一塊具有纖維增強(qiáng)正交各向異性對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料層合薄板，此薄板四邊簡(jiǎn)支并且同時(shí)受到橫向載荷與x方向的面內(nèi)載荷共同作用.薄板的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b和nh，直角坐標(biāo)系oxyz位于層合板的對(duì)稱(chēng)平面內(nèi)，z軸向下，設(shè)薄板內(nèi)任一點(diǎn)沿x，y和z方向的位移分別為u，v和w，沿x方向作用的面內(nèi)載荷為p＝p0－p1cosΩ2t，橫向載荷為 F＝F0－F1cosΩ1t.

圖1 橫向與面內(nèi)載荷作用下的層合薄板模型Fig.1 Themodle of the thin plate subjected to its plane and transverse excitation

我們得到如下形式的二自由度非線性動(dòng)力學(xué)方程［8］，

假設(shè)系統(tǒng)（1）是一個(gè)弱非線性系統(tǒng)，我們引入小擾動(dòng)項(xiàng)ε，得到如下方程，

研究復(fù)合材料層合板在主參數(shù)共振—1∶1內(nèi)共振情況下的雙Hopf分叉特性，共振關(guān)系如下

其中ω1和ω2是相應(yīng)線性系統(tǒng)的第一階和第二階固有頻率，為了計(jì)算方便，設(shè)Ω＝2.

利用多尺法得到復(fù)合材料層合板直角坐標(biāo)形式的平均方程為

系統(tǒng)（2）極坐標(biāo)形式的平均方程可以表示為

2 復(fù)合材料層合板Hopf分叉分析

在以下分析中，我們主要考慮復(fù)合材料層合板可能存在的各種平衡點(diǎn)分叉以及平衡點(diǎn)附近可能存在的周期解.方程（4）在零解處的Jacobi矩陣為

特征方程為

我們得到當(dāng)時(shí)，方程（4）零解的穩(wěn)定性臨界線為

由奇異性理論［9］可知方程（4）的零解在臨界線L1上發(fā)生靜態(tài)分叉，系統(tǒng)（2）產(chǎn)生第一類(lèi)型的周期解（x1，x2，0，0），可以表示為

當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)（4）零解的穩(wěn)定性臨界線為

根據(jù)方程（4）在（x1，x2，0，0）處的 Jacobi矩陣和特征方程可知，當(dāng)時(shí)，第一類(lèi)型周期解的穩(wěn)定性臨界線為

當(dāng)μ2＞0時(shí)，系統(tǒng)（4）第一類(lèi)型周期解的穩(wěn)定性臨界線為

由奇異性理論［9］可知系統(tǒng)（4）的零解在臨界線L2上同樣發(fā)生靜態(tài)分叉，系統(tǒng)（2）產(chǎn)生第二類(lèi)型周期解，表示如下

方程（4）第二類(lèi)型周期解在臨界線L5上將發(fā)生Hopf分叉而失穩(wěn)，系統(tǒng)（2）的頻率為和 ω4，其中 ω4是系統(tǒng)在（0，0，x3，x4）處產(chǎn)生的Hopf分叉頻率，即

當(dāng)μ1＞0時(shí)，可得方程（4）的第二類(lèi)型周期解的穩(wěn)定性臨界線為

3 數(shù)值模擬

利用數(shù)值模擬方法對(duì)復(fù)合材料層合板在主參數(shù)共振－1∶1內(nèi)共振情況下的非線性動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究.利用Matlab程序?qū)ο到y(tǒng)（4）進(jìn)行數(shù)值模擬.分叉圖2將平衡點(diǎn)附近鄰域分為不同的區(qū)域，分別對(duì)應(yīng)復(fù)合材料層合板不同的振動(dòng)形式.圖3至圖5分別表示復(fù)合材料層合板不同形態(tài)的非線性振動(dòng)特性.在以下各圖中，圖（a）和（b）分別是平面（x1，x2）和（x3，x4）上的二維相圖，圖（c）和（d）分別為平面（t，x1）和（t，x3）上的波形圖.復(fù)合材料層合板的阻尼系數(shù)分別為 μ1＝0.18和 μ2＝0.36，其它參數(shù)和初值分別為 σ1＝0.16，σ2＝－0.41，α1＝1.5，α2＝0.4，α3＝0.7，α4＝0.3，β1＝0.6，β2＝0.2，β3＝0.25，β4＝0.69，x10＝0.18，x20＝0.43，x30＝0.19，x40＝0.42.

圖2 復(fù)合材料層合板的局部分叉圖Fig.2 The local bifurcation diagram ofcomposite laminated thin plate

圖3 復(fù)合材料層合板的第一類(lèi)型周期運(yùn)動(dòng)Fig.3 The frist type of periodic motion of composite laminated thin plate

圖4 復(fù)合材料層合板的第二類(lèi)型周期運(yùn)動(dòng)Fig.4 The second type of periodic motion of composite laminated thin plate

4 結(jié)論

本文研究了受面內(nèi)激勵(lì)和橫向激勵(lì)聯(lián)合作用下復(fù)合材料層合板的雙Hopf分叉.利用Hopf分叉定理給出了系統(tǒng)平衡解在參數(shù)空間小鄰域內(nèi)發(fā)生的各種分叉現(xiàn)象，以及在主參數(shù)共振－1∶1內(nèi)共振情況下發(fā)生雙Hopf分叉的必要條件.數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論分析的正確性.

1 Oh K，Nayfeh A H.Nonlinear resonances in cantilever composite plates.International Journal of Nonlinear Mechanics，1996，11（2）：143～169

2 Abe A，Kobayashi Y.Three-mode response of simply supported，rectangular laminated plates.International Journal Series-Mechanical Systems Machine Elements and Manufacturing，1988，41（1）：51～59

3 Chen C S，ChengW S，Chien R D，Dong J L.Large amplitude vibration of an initially stressed cross ply laminated plates.Applied Acoustics，2002，63（9）：939～956

4 Ye M，Lu J，Ding Q，Zhang W.Nonlinear dynamics of a parametrically excited rectangular symmetric cross-ply laminated composite plate.Acta Mechanica Sinica，2004，37：64～71

5 Ye M，Sun Y，Zhang W，Zhan X P，Ding Q.Nonlinear oscillations and chaotic dynamics of an antisymmetric cross-ply laminated composite rectangular thin plate under parametric excition.Journal of Sound and Vibration，2005，287（4-5）：723～758

6 Zhang W，Guo X Y，Lai S K.Research on periodic and chaotic oscillations of composite laminated plateswith oneto-one internal resonance.International Journal of Nonlinear Sciencesand Numerical Simulation，2009，10（11-12）：1567～1583

7 Guo X Y，ZhangW，Yao M H.Nonlinear dynamics of angle-ply composite laminated thin plate with third-order shear deformation.Science in China Series E：Technological Sciences，2010，53（3）：612～622

8 郭翔鷹.復(fù)合材料層合板的非線性動(dòng)力學(xué)研究［碩士學(xué)位論文］.北京：北京工業(yè)大學(xué)工學(xué)，2007（Guo X Y.The nonlinear dynamics research of composite laminated plates［Master Thesis］.Beijing：Beijing University of Technology，2007（in Chinese））

9 Golubisky M，Schaeffer D G.Singularities and groups in bifurcation theory I.New York：Applied Mathematical Sciences，1985