文科數(shù)學(xué)中線性代數(shù)一章內(nèi)容結(jié)構(gòu)的改革與實(shí)踐

李瓊

【摘要】由于線性代數(shù)理論性很強(qiáng)，再加上課時(shí)少，因此造成學(xué)生難學(xué)，老師難教。筆者通過多年文科數(shù)學(xué)的教學(xué)，對(duì)文科數(shù)學(xué)中線性代數(shù)一章的教學(xué)方法、學(xué)習(xí)技巧進(jìn)行了探討和總結(jié)，希望能與同行之間交流與合作，進(jìn)一步提高文科數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量。

【關(guān)鍵詞】文科數(shù)學(xué) 線性代數(shù) 行列式 矩陣 線性方程組

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）02-0006-01

引言

為適應(yīng)高校培養(yǎng)精文智理的應(yīng)用型、復(fù)合型高級(jí)文科專門人才的需要，自1993年以來，全國(guó)90%的高校在文科學(xué)生中開設(shè)了數(shù)學(xué)課程。目前國(guó)內(nèi)大學(xué)文科數(shù)學(xué)課程的主要講授內(nèi)容為微積分、線性代數(shù)和慨率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)三部分，這些內(nèi)容作為面向文科專業(yè)學(xué)生的唯一一門大學(xué)數(shù)學(xué)課程來講，存在很多不足，文針對(duì)這些問題就線性代數(shù)一章的內(nèi)容結(jié)構(gòu)提出了幾點(diǎn)建議和改進(jìn)措施。

1 線性代數(shù)在文科數(shù)學(xué)中的重要性及教學(xué)現(xiàn)狀

《線性代數(shù)》是我國(guó)高等教育教學(xué)中涉及學(xué)生面范圍最廣的基礎(chǔ)課之一，其重要性不僅在理工類、經(jīng)濟(jì)類以及其它社會(huì)科學(xué)類專業(yè)的教學(xué)計(jì)劃及課程設(shè)置上得以體現(xiàn)，而且其課時(shí)量在文科類專業(yè)中有增長(zhǎng)的傾向。

線性代數(shù)的主要研究對(duì)象為矩陣，所使用的最基本方法就是初等變換。初等變換是《線性代數(shù)》中最基本也是最重要的概念之一，它貫穿于《線性代數(shù)》這門課程的始終。在新近出版的不少文科類學(xué)生用數(shù)學(xué)教材中對(duì)該章教學(xué)內(nèi)容及其結(jié)構(gòu)也進(jìn)行了必要的調(diào)整。但在教學(xué)中仍存在的如下的問題：第一，大學(xué)文科類數(shù)學(xué)教材基本上是理工科類教材的縮寫，內(nèi)容龐雜、面面俱到但論述不詳細(xì)；第二，體系結(jié)構(gòu)不盡合理，造成理論前后借用；第三，條理性不強(qiáng)，定理用途不明確。

鑒于上述情況，筆者在文科數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)線性代數(shù)一章內(nèi)容結(jié)構(gòu)進(jìn)行了調(diào)整，并且在03級(jí)英語、旅游管理專業(yè)2個(gè)班的《文科數(shù)學(xué)》課程教學(xué)中進(jìn)行了嘗試。

2 線性代數(shù)一章內(nèi)容結(jié)構(gòu)的調(diào)整

線性代數(shù)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容為行列式、矩陣、線性方程組。在這些知識(shí)中解線性方程組是一條主線，各類知識(shí)的引入都均可通過解線性方程組引入。下面介紹筆者在線性代數(shù)各個(gè)主要知識(shí)點(diǎn)的處理。

1）行列式部分內(nèi)容的處理：首先說明三階行列式展開后的每一項(xiàng)都是取自不同行不同列上的三個(gè)元素的乘積，再說明其中三項(xiàng)取正號(hào)，三項(xiàng)取負(fù)號(hào)。其次對(duì)于行列式的性質(zhì)，將其劃分成兩大不同的類別。教學(xué)中通過讓學(xué)生計(jì)算上、下三角行列式、兩行或列成比例的行列式的值，讓學(xué)生找出它們的特征，然后再總結(jié)出其特點(diǎn)：上三角形行列式主對(duì)角線下方元素全為零的行列式稱為上三角形行列式；下三角形行列式主對(duì)角線上方元素全為零的行列式稱為下三角形行列式；對(duì)角形行列式主對(duì)角線上方、下方的元素全為零的行列式稱為對(duì)角形行列式；然后再給出行列式的第一大類性質(zhì)：（1）如果行列式中有一行（或列）的全部元素都是零，那么這個(gè)行列式的值為零；（2）如果行列式中兩行（或列）對(duì)應(yīng)元素全部相同，那么行列式的值為零；（3）行列式中如果兩行（或列）對(duì)應(yīng)元素成比例，那么行列式的值為零；（4）行列式中一行（或列）的每一個(gè)元素如果可以寫成兩數(shù)之和那么此行列式等于兩個(gè)行列式之和。

運(yùn)用行列式的其他性質(zhì)可以改變行列式的內(nèi)部結(jié)構(gòu)使其變成特殊的行列式以便于行列式的計(jì)算。

2）矩陣部分內(nèi)容處理：矩陣的初等變換是這部分內(nèi)容的難點(diǎn)，可由求逆矩陣引入。通過實(shí)例驗(yàn)證矩陣的初等變換是一種運(yùn)算的替代，即矩陣的行（列）變換的效果與在矩陣的左（右）邊乘以一個(gè)特殊矩陣的結(jié)果是相同的。從而引出矩陣的三種初等變換。

3）線性方程組部分的內(nèi)容處理：先給出非齊次、齊次線性方程組的典型例題然后讓學(xué)生歸納解的判斷定理，提出問題：當(dāng)非齊次線性方程組有無窮多組解時(shí)怎樣才能把這無窮多解求出來？ 通過實(shí)例線性方程組的增廣矩陣經(jīng)過行的初等變換后已能判斷方程組有無窮多解，變換后的方程組中有用的方程個(gè)數(shù)比未知數(shù)個(gè)數(shù)少（n-r）個(gè)，要想求出方程組的解只要給（n-r）個(gè)未知數(shù)賦值就能求出其解來，從而引出自由未知量的概念。

向量?jī)?nèi)容教學(xué)難點(diǎn)是向量的線性關(guān)系。這部分知識(shí)是線性方程組解的知識(shí)遷移后重新定義的，因此它和線性方程組的解有對(duì)應(yīng)關(guān)系。先把線性方程組寫成向量的代數(shù)和形式，則方程組有無解就是某個(gè)向量是否可由向量組線性表示；其次方程組只有零解、有非零解則與向量組線性無關(guān)、線性相關(guān)相對(duì)應(yīng)。既然解線性方程組要用矩陣解決，那么討論向量組的一些相關(guān)性也可以用矩陣解決了。

線性方程組解的結(jié)構(gòu)也是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，對(duì)于方程組解的結(jié)構(gòu)特征學(xué)生們是可以理解的，但在實(shí)際操作過程中學(xué)生對(duì)設(shè)向量不能理解。為此在教學(xué)中采用由特殊到一般的教學(xué)方法：即非齊次方程組的特殊情況就是齊次方程組。

3 結(jié)束語

筆者在近幾年的文科類數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)踐中，通過對(duì)這部分內(nèi)容的教學(xué)結(jié)構(gòu)做如上調(diào)整，即解決了線性代數(shù)這一章內(nèi)容多、學(xué)時(shí)少的矛盾，又使調(diào)整后的內(nèi)容更加連貫，銜接更加合理。教學(xué)中老師重點(diǎn)要講怎樣理解知識(shí)點(diǎn)，特別對(duì)學(xué)生理解較困難的知識(shí)點(diǎn)要進(jìn)行整合并用最通孰的語言講給學(xué)生聽，這樣的教學(xué)才能達(dá)到理想的效果。以上是我教學(xué)中部分知識(shí)的處理，供大家討論。

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