多孔連續(xù)介質(zhì)滲透定律及其擴(kuò)展

王艷華，潘爭偉，張 劼，李玲霞

（安徽新華學(xué)院 土木與環(huán)境工程學(xué)院，安徽 合肥 230088）

對于大多數(shù)松散土體和完整的巖體來說（除裂隙化黏土、裂隙發(fā)育的黃土外），一般可以概化成多孔連續(xù)介質(zhì)的滲流問題，滲流問題的定量化表述的基礎(chǔ)理論是達(dá)西定律.1856年，法國學(xué)者亨利.達(dá)西（Henry Darcy）結(jié)合法國第戎（Dijon）市的噴泉，研究了均勻砂柱中的滲流問題.

對于大多數(shù)松散土體和完整的巖體來說（除裂隙發(fā)育的黏土和黃土外），一般可以概化為多孔連續(xù)介質(zhì)，滲流問題的定量化表述的基礎(chǔ)理論是達(dá)西定律.1856年，法國工程師亨利.達(dá)西（Henry Darcy）通過實驗研究了均勻砂土中的滲流問題，總結(jié)出滲流運動的一個重要規(guī)律.

達(dá)西定律的問世在地下水科學(xué)領(lǐng)域具有很重要的意義，它標(biāo)志著地下水研究由定性描述從此步入定量研究的新階段.達(dá)西定律由于形式簡單、概念清晰、求解方便，被認(rèn)為是地下水動力學(xué)最重要和最基本的定律[1]，目前大多數(shù)地下水流動問題的數(shù)值解、解析解和模擬軟件幾乎都是基于“地下水滲流服從線性滲流定律”假定得到的，例如，地下水運動的基本微分方程、裘布依穩(wěn)定井流模型、以及FEFLOW、MODFLOW等地下水?dāng)?shù)值模擬軟件[2].雖然后來研究發(fā)現(xiàn)隨著滲流流速的增大，地下水運動規(guī)律逐漸偏離線性規(guī)律，并且近年來國內(nèi)外學(xué)者也越來越關(guān)注地下水非達(dá)西流動問題[3-4]，但是目前仍然公認(rèn)的是：砂性土中的地下水滲流，在低雷諾數(shù)下，一般認(rèn)為Re＜（1～10），達(dá)西定律仍然是成立的.本文在一維線性的基礎(chǔ)上，將達(dá)西定律擴(kuò)展到二維、三維體系中，分析均質(zhì)（非均質(zhì)）各向同性、異性多孔介質(zhì)三維滲流定律，使其適用于實際各向同性多孔介質(zhì)中的流動.

1 達(dá)西定律及其公式

達(dá)西在《第戎市的公共噴泉》一書中這樣描述他的實驗結(jié)論“同一特性的砂子，可以認(rèn)為體積流量與壓差成正比，而與所穿越的砂層厚度度成反比.”達(dá)西滲流實驗（圖1）結(jié)果表明：單位時間內(nèi)流過砂柱的水量Q與過水?dāng)嗝婷娣eA和水頭差（H1-H2）值成正比，與滲流路徑L成反比，這就是著名的達(dá)西公式（或稱定律），其表達(dá)式為

式中，Q表示通過砂柱的水的流量；A表示過水?dāng)嗝婷娣e；K為比例系數(shù)，常稱為滲透系數(shù)；H是測壓管水頭；（H1-H2）為水頭差；表示水力坡度.

將式（1）進(jìn)行變換，達(dá)西定律的另一種表達(dá)形式為

圖1 達(dá)西實驗裝置

2 達(dá)西定律的適用范圍

（1）從達(dá)西實驗裝置可以看出，達(dá)西實驗是水在等溫條件下經(jīng)過均質(zhì)砂，因此，該實驗適用于均質(zhì)等溫不可壓縮流體在均質(zhì)各向同性多孔介質(zhì)中的一維穩(wěn)定滲流.

（2）從達(dá)西實驗定律可以看出，通過均質(zhì)砂的滲流速度與其水力梯度呈線性關(guān)系，所以，達(dá)西定律也稱作線性達(dá)西定律.

在流體力學(xué)中運用雷諾數(shù)Re定義水流流態(tài)，在多孔介質(zhì)滲流中，雷諾數(shù)可表達(dá)為

式中，d為多孔介質(zhì)中顆粒的有效粒徑，一般可用d10來代表；v是滲流速度；V是流體的運動黏性系數(shù).

達(dá)西實驗定律適用于低雷諾數(shù)Re＜（1~10）流體通過多孔介質(zhì)的層流運動.

（3）在細(xì)粒土尤其是黏性土中，由于土顆粒的比表面積大，由于分子力的作用，在土顆粒表面形成強(qiáng)、弱合水，且孔隙小，導(dǎo)致水流在較低水力梯度下難以通過黏性土多孔介質(zhì).因此，存在一個起始水力坡度J0，只有當(dāng)J>J0才能發(fā)生流體流動，此時，達(dá)西定律可表達(dá)為

3 達(dá)西定律的擴(kuò)展

達(dá)西定律是在一維條件下得到的，而實際介質(zhì)多是二維各向異性的情況，將達(dá)西定律進(jìn)行擴(kuò)展，將其擴(kuò)展到二維、三維條件下各向同性的介質(zhì)中，使其適用于實際介質(zhì)的中的流動.

3.1 均質(zhì)各向同性多孔介質(zhì)三維滲流定律

當(dāng)多孔介質(zhì)為均質(zhì)各向同性時，K為標(biāo)量，則三維滲流方程為

則，達(dá)西定律可擴(kuò)展為

3.2 非均質(zhì)各向同性多孔介質(zhì)水平滲流規(guī)律

當(dāng)多孔介質(zhì)為非均質(zhì)各向同性時，K=K(x,y,z)，則

以承壓含水層為例，當(dāng)承壓含水層為層狀多孔介質(zhì)，且均質(zhì)水流（ρ,μ 為常數(shù)）平行層狀多孔介質(zhì)層面流動，如圖2所示.

假定Ki,Mi,qi分別表示第i層的滲透系數(shù)、厚度和單寬流量.若用達(dá)西定理寫出每層的單寬流量，則總單寬流量等于每層單寬流量之和，即

從而可推出，平行多孔介質(zhì)層面運動的水流透過層狀多孔介質(zhì)的等效滲透系數(shù)可表達(dá)為

如果用一種滲透系數(shù)沿垂直方向z連續(xù)變化（K=k(z)）的含水層替代上述的層狀含水層時，則通過厚度M，且與層面平行流動的含水層中滲流的總單寬流量為（△H/L為常量）

圖2 水流平行層狀多孔介質(zhì)層面滲流問題

圖3 水流垂直層狀多孔介質(zhì)層面滲流問題

3.2 非均質(zhì)各向同性多孔介質(zhì)垂直滲流規(guī)律

當(dāng)承壓含水層為層狀多孔介質(zhì)，且均質(zhì)水流（ρ,μ 為常數(shù)）垂直層狀多孔介質(zhì)層面流動，如圖（3）所示.此時，通過多孔介質(zhì)的流量為常數(shù)，流動路徑與含水層厚度一致是變量，每一層的水頭差是變量，總水頭差△H應(yīng)等于每層△Hi之和，即

由達(dá)西定律得

所以

式中，Kv為垂直多孔介質(zhì)層面運動的水流透過層狀多孔介質(zhì)的等效滲透系數(shù).

從而得到下列關(guān)系式

如果式（18）有一個Ki=0，即存在一個不透水層，那么總的Kv=0，也就是整個層狀多孔介質(zhì)為不透水層.這一思想用在防水、隔音、隔熱、絕緣、不透氣多層狀復(fù)合材料制備時，只要將其中某一層做成隔水、隔聲、不透氣層，就可以達(dá)到整體防水、隔聲、隔熱、絕緣、不透氣效果.

如果我們用一種滲透系數(shù)沿Z方向連續(xù)變化K=k(z)）的含水層替代上述的層狀含水層時，則通過寬度A，流量為q，則水頭差的微小變量為

4 結(jié)論

達(dá)西定律是研究地下水滲流規(guī)律的基本理論，在一般運用中具有足夠的精度，但要注意達(dá)西公式適用的范圍，將一維線性達(dá)西定律擴(kuò)展到二維、三維體系中，有助于更好的理解達(dá)西定律的內(nèi)涵，同時分析均質(zhì)（非均質(zhì)）各向同性多孔介質(zhì)三維滲流定律，使其適用于實際各向同性多孔介質(zhì)中的流動.

〔1〕陳崇希，林敏.地下水動力學(xué)[M].武漢：中國地質(zhì)大學(xué)出版社，1999.3-12.

〔2〕 高 慧 琴， 楊 明 明， 黑 亮.MODFLOW 和FEFLOW 在國內(nèi)地下水?dāng)?shù)值模擬中的應(yīng)用[J].地下水，2012,34（4）：13-15.

〔3〕萬軍偉，黃琨，陳崇希.達(dá)西定律成立嗎[J].中國地質(zhì)大學(xué)學(xué)報，2013，38（6）：1327-1330.

〔4〕秦峰，王媛.非達(dá)西滲流研究進(jìn)展[J].三峽大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2009，31（003）：25-29.

〔5〕仵彥卿.巖土水力學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社,2009.