任意冪律引力作用下質(zhì)點的運動軌道問題

王安祥，張曉軍，高 賓，李繼軍

（1.西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安710048；2.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特010051）

0 引 言

有心力問題在力學(xué)和原子物理學(xué)中占有重要位置，在有心力問題中最常見的是平方反比引力作用下質(zhì)點運動規(guī)律的研究，例如，在萬有引力作用下質(zhì)點運動和靜電場力作用下點電荷的運動.文獻(xiàn)［1－3］研究了質(zhì)點在平方反比引力和斥力作用下做有心運動的軌跡曲線，文獻(xiàn)［4－5］采用其他方法處理平方反比有心力問題，文獻(xiàn)［6－7對質(zhì)點在平方反比引力作用下的運動范圍和穩(wěn)定性做了深入研究.目前已有學(xué)者研究與距離成五次方反比引力作用下質(zhì)點運動的軌道［8］，但是對與距離成任意冪律的有心力下質(zhì)點的運動，卻鮮有文獻(xiàn)對其全面深入研究.文中首先采用龍格－庫塔法求解與距離成任意冪律的引力作用下物體的運動軌道問題［9］，然后，考慮在實際情形下物體運動的干擾因素，同樣采用龍格－庫塔法研究受特殊微擾力作用下物體運動的軌道問題.

1 與距離成任意冪律的有心力引力

若作用在質(zhì)點上的有心力只是r的冪函數(shù)，即

為計算方便，采用直角坐標(biāo)系，設(shè)質(zhì)點質(zhì)量m＝1，c＝1，則式（1）可寫成：

初始條件當(dāng)t＝0時，x＝x0，y＝y(tǒng)0，˙x＝ν0x，˙y＝ν0y.給定初始條件后，上述二階微分方程組采用龍格－庫塔法求解.圖1為與距離成不同冪指數(shù)的有心力作用下質(zhì)點的運動軌跡，其中L為質(zhì)點的角動量.圖1（a）～ （f）初始條件當(dāng)t＝0時，x＝1m，y＝0，˙x＝0，˙y＝0.5m/s，運行時間t＝30s.圖1表明，質(zhì)點的運動軌道一般是不閉合的，只有圖1（b）（n＝1）和圖1（f）圖（n＝－2）是閉合的橢圓軌道，n＝1是二維簡諧振動情形，n＝－2是距離平方反比引力情形，其他軌道都是不閉合的曲線.當(dāng)n不同時，質(zhì)點的運動軌道不同，運動圖像差異較大，而且可以進(jìn)一步觀察到質(zhì)點一方面繞力心運動，同時軌道本身還繞力心轉(zhuǎn)動，軌道繞力心轉(zhuǎn)動稱為軌道的進(jìn)動，軌道上離力心最遠(yuǎn)點或最近點，稱為拱點.質(zhì)點在拱點處只有橫向速度，徑向速度為零，徑向矢量在兩相鄰拱點之間掃過的角度稱為拱心角.n＝－2時，拱心角為Δθ＝π，例如衛(wèi)星運動的軌道的遠(yuǎn)地點和近地點都是拱點，這說明軌道是閉合的，運動是重復(fù)的.n＝1時，拱心角為Δθ＝π/2，軌道也是閉合的.實際上，拱心角若是π的有理分?jǐn)?shù)，其軌道運動是閉合的，但若拱心角是π的無理數(shù)倍，運動不可能重復(fù)，軌道不再閉合.

2 微小擾動對軌道運動的影響

以上討論有心力作用時，都沒有涉及其他物體對系統(tǒng)的干擾問題，所討論的系統(tǒng)是理想的兩體系統(tǒng).實際上，這樣的情形是不存在的，例如人造地球衛(wèi)星圍繞地球運行時，衛(wèi)星受到的力實際上并不是單一的來自地球中心的萬有引力，地球周圍的大氣以及其他星體都對衛(wèi)星的運動有影響，而且地球本身也不是一個均勻的球體，衛(wèi)星受到的作用力并不是確切地以地心為力心的有心力，上述各種因素的影響都可以在地心引力上附加一個微小的擾動力.

從計算物理的角度出發(fā)，設(shè)擾動力與距離的n次冪成正比，質(zhì)點受到的力為

式中，擾動力的強度｜a｜遠(yuǎn)小于1.

將式（6）代入比耐公式中，可得

將式（7）變形，可得

圖1 與距離成不同冪指數(shù)的有心力作用下質(zhì)點的運動軌跡Fig.1 Motion tracks of particle acted by the central force in which interaction spaces have different power indexes

為簡化問題，令k＝1，則上式為

給定初始條件后，上述二階微分方程組也采用龍格－庫塔方法求解.圖2為不同微擾條件下質(zhì)點的運動軌跡，分別對不同的擾動強度｜a｜和冪次n所進(jìn)行計算的結(jié)果.

這里初始條件t＝0時，u＝0.5，d u/dθ＝0.425，運行時間為30s，假定質(zhì)點的質(zhì)量m＝1kg，角動量L＝1kg·m2/s.圖2表明，擾動使質(zhì)點有心力軌道發(fā)生進(jìn)動，在冪次n一定的條件下，擾動的強度｜a｜越大，進(jìn)動速度也就越大.

天文學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，行星在軌道上運行時受到平方反比引力輕微的擾動，將改變原有穩(wěn)定的軌道而形成新的運行軌道，但是新的軌道與原來的軌道相近，因此行星運行的軌道是穩(wěn)定的，由于大多數(shù)行星偏心率都較小，可近似認(rèn)為行星是沿著近圓軌道運動的［10－11］，近圓軌道運動的拱心角為

式中，R為近圓軌道的半徑.

對于一個給定的行星，由于星系內(nèi)其他行星所產(chǎn)生的引力擾動可以近似的表達(dá)為a/rn，在此情況下行星受到的合引力可改寫為

利用式（10）可以得到近圓軌道的拱心角

當(dāng)n＝2時，拱心角Δθ＝π；當(dāng)n＞2時，若a＞0，則拱心角Δθ略小于π，這時拱點的位置隨時間變化前移，即質(zhì)點的運動方向與軌道進(jìn)動的方向相反，若a＜0，則拱心角Δθ略大于π，拱點位置隨時間變化后移，即質(zhì)點的運動方向與軌道進(jìn)動方向相同，圖3（a）和（b）所示；當(dāng)n＜2時，若a＞0，則拱心角Δθ略大于π，拱點的位置隨時間變化后移，即質(zhì)點的運動方向與軌道進(jìn)動的方向相同，若a＜0，則拱心角Δθ略小于π，拱點位置隨時間變化前移，即質(zhì)點的運動方向與軌道進(jìn)動方向相反，圖3（c）和（d）所示.結(jié)果表明，質(zhì)點沿近圓軌道運動時拱心角的數(shù)值計算值和式（13）所得理論值比較接近.

圖2 不同微擾條件下質(zhì)點的運動軌跡Fig.2 Motion tracks of particle under the condition of different perturbation

圖3 不同微擾條件下近圓軌道運動質(zhì)點的軌跡Fig.3 Motion tracks of particle moving on nearly circular orbit under the condition of different perturbation

3 結(jié)束語

質(zhì)點在與距離成任意冪律的有心力作用下的有心運動屬于非線性動力學(xué)問題，對其問題求解需要非常復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論分析，當(dāng)冪次n越高時，則求解的難度會更大.文中采用數(shù)值計算方法分別求解與距離成任意冪律的引力作用下和受特殊微擾力作用下物體運動的軌道問題，對有心力問題的教學(xué)與科研具有一定的理論價值.

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