基于連續(xù)折線索單元的樹狀結構找形研究

張 倩，陳志華，王小盾，劉紅波

(1. 天津大學建筑工程學院，天津 300072；2. 天津市土木工程結構及新材料重點實驗室，天津 300072)

基于連續(xù)折線索單元的樹狀結構找形研究

張 倩1,2，陳志華1,2，王小盾1,2，劉紅波1,2

(1. 天津大學建筑工程學院，天津 300072；2. 天津市土木工程結構及新材料重點實驗室，天津 300072)

在樹狀結構各種力學性能研究中，找形分析是十分重要的．在研究以往樹狀結構找形過程的基礎上，以減小桿件內(nèi)的單元彎矩為目的，提出將連續(xù)折線索單元應用于樹狀結構找形的方法，給出一般操作步驟，并通過試驗對該方法進行驗證．經(jīng)過內(nèi)力分析比較，得到該方法能夠有效減小單元彎矩、結果較理想的結論，同時該方法具有操作簡便、無需編程迭代、耗時較短的優(yōu)勢．對找形后的結果進行優(yōu)化，可以進一步減小單元彎矩．分析分級節(jié)點位置變化對找形結果的影響，總結規(guī)律，為今后樹狀結構工程的設計應用提供了一定的參考.

樹狀結構；找形分析；連續(xù)折線索單元

樹狀結構由德國設計師Frei Otto于20世紀60年代提出，文獻[1]介紹了樹狀結構這一結構形式，文獻[2]從結構哲學的角度出發(fā)，在論述自然結構體的形成及原理，比較分析自然結構體和建筑結構體的基礎上，提出了樹狀結構的研究方向．文獻[3]簡介了樹狀結構在公共建筑中的應用．文獻[4]從建筑結構仿生入手，結合國內(nèi)外工程實例，簡要介紹了樹狀建筑結構及樹狀結構屋頂．文獻[5-14]對樹狀結構的靜動力分析進行了研究．文獻[15-17]對樹狀結構的節(jié)點設計和制造進行了研究．文獻[18-21]對樹狀結構的施工工藝和過程進行了探討．

樹狀結構的形態(tài)關系的力學性能，如何使結構受力更為合理，使材料發(fā)揮最大功效，是值得關注和研究的．本文在總結各種樹狀結構找形方法的基礎上，提出應用連續(xù)折線索單元對樹狀結構進行找形研究，并進行驗證性試驗．該方法能夠有效減小桿件的單元彎矩，耗時較短，結果較理想．對節(jié)點荷載下的結構找形結果進行優(yōu)化，進一步減小單元彎矩．研究分級節(jié)點位置變化對結構的影響．

1 樹狀結構找形研究進展

德國斯圖加特大學、輕型結構研究所(IL-Frei Otto)、測量學工程應用研究所(IAGB-Klaus Link-witz)和結構力學研究所(IB-Ekkehard Ramm)在早期對樹狀結構找形進行了一些研究．文獻[22]基于分杈角度、層數(shù)等參數(shù)編寫程序來確定樹狀結構的形狀．圖1是利用這種程序產(chǎn)生的一種分杈角度為50°、層數(shù)為8的樹狀結構形式，這種找形方法對于顯示樹狀結構桿件的不同布置很有效，但沒有考慮結構的力學性能，因此只是一種單純的生成形狀的程序設計．文獻[23]使用另一種程序設計方法CARAT探討了不同荷載作用下內(nèi)力為壓力時的最優(yōu)幾何形狀，發(fā)現(xiàn)樹狀結構更適用于低密度分布荷載情況．文獻[24]使用如圖 2的線模型探討結構形狀，將線模型浸入水中，表面張力使得細線聚攏到一起形成樹的形狀，即通過作用在細線上的表面張力尋找偽最小路徑，使用這種方法產(chǎn)生的實際形狀受到細線松弛量的影響．文獻[25]對樹狀結構進行了廣泛研究，將細線固定在框架上或在懸浮狀態(tài)下拉伸，珠子在細線上通過摩擦力成為節(jié)點，不同于浸入水中的線模型，這種方法的優(yōu)點是設計者可以通過滑動節(jié)點到不同位置迅速找到一系列幾何形狀，圖3為使用串珠的三維線模型．

圖1 分杈角度50°、層數(shù)為8的形狀Fig.1 Shape with 50° branching angle，8 branching layers

圖2 浸入水中的線模型Fig.2 Thread model dipped in water

圖3 使用串珠的三維線模型Fig.3 3D thread model using beaded strings

文獻[26]使用基于遺傳算法的設計工具 IGDT，對內(nèi)力為壓力和拉力的兩種狀態(tài)，荷載位置分別在頂端和底部，中間節(jié)點是否約束的樹狀結構計算模型進行了分析，并與傳統(tǒng)浸水線模型進行了比較，同樣的計算模型也被用來尋找構件總長度最小的幾何形狀．文獻[27]利用浸水線模型對密歇根州花園中心樹屋的樹狀支承柱進行找形分析，得到更加適用于此工程的小比例模型(見圖 4)．文獻[28]基于自平衡理論，假定模型節(jié)點為鉸接，在節(jié)點處添加支座，并調整其豎向位置以得到靜定結構，再調整其水平位置使得支座反力接近為零，得到結構最終模型(見圖 5)，并將程序計算的找形結果與浸水線模型對比．

圖4 樹屋支承柱1∶100模型Fig.4 1∶100 model of tree house

圖5 自平衡模型Fig.5 Shape of self equilibrium

文獻[29]將線模型倒掛(見圖 6)，利用倒掛受拉反向受壓的原理進行找形．文獻[30]用改進的進化論方法(evolutionary structural optimization，ESO)創(chuàng)建結構形態(tài)，生成了樹狀結構模型，如圖7所示．

圖6 倒掛模型Fig.6 Reverse hanging model

圖7 ESO模型效果圖Fig.7 Effect drawing of model using ESO

文獻[31-32]基于形效結構的概念，通過分析樹狀結構的幾何特點和受力特點，提出了一種樹狀結構的找形方法逆吊遞推找形法，當所有高級樹枝均指向由其分出的低級樹枝所承擔的屋蓋受力中心時，各級樹枝均只受軸力作用，所有節(jié)點處均無彎矩產(chǎn)生，并明確了具體實施步驟和需要注意的問題，結合樹狀結構工程實例，介紹了逆吊遞推找形法的實際應用過程，并對穩(wěn)定性分析和設計方法進行了研究．文獻[33]以樹狀結構的最小用鋼量為目標函數(shù)，以結構的強度、剛度、穩(wěn)定性為約束條件，對樹狀結構進行優(yōu)化分析，優(yōu)化后在減少結構用鋼量的同時，也減小了結構的最大豎向位移，并使各桿件的內(nèi)力分布更趨合理．文獻[14]也介紹了ESO優(yōu)化法的應用，并以一單層樹狀結構為例進行找形過程和結果分析．

2 連續(xù)折線索單元應用于樹狀結構的找形

樹狀結構力流明確，通過高級樹枝逐級傳遞，將屋面荷載有效集中到基礎，樹枝的分布即桿件的力流傳遞方向，在進行桿件布置即找形分析時，樹枝只受軸力、節(jié)點處無彎矩是較理想狀態(tài)，因此盡可能減小桿件內(nèi)彎矩是本文找形的主要目的．傳統(tǒng)的浸水模型并不能找到唯一的形狀，操作起來也較不簡便；串珠模型和倒掛模型可以找到一系列的形狀，并由設計師根據(jù)一些客觀條件如美觀因素等選擇一個最終形態(tài)，而往往不是受力上最為合理的形態(tài)．以上物理找形方法都利用了絲線的只拉特性，很好地模擬了樹狀結構單元軸力是主要控制因素的特性，但形態(tài)不唯一；現(xiàn)有的數(shù)值模擬方法可以得到唯一解，但均需通過一步步的迭代使得單元內(nèi)的彎矩較?。疚木C合考慮以上找形方式的優(yōu)勢和不足，提出基于連續(xù)折線索單元的樹狀結構找形方法．該方法的理論依據(jù)來源于逆吊找形法，其基本思想為將特定荷載下的柔性結構固化，翻轉后即可獲得在相同荷載下只承受壓力作用的結構．連續(xù)折線索單元各節(jié)點間的索段可以不在同一直線上，呈折線布置，除兩端節(jié)點外各節(jié)點可在外力作用下沿單元任意滑動以達到平衡狀態(tài)[34]．根據(jù)連續(xù)折線索單元的受力特點，推導單元剛度矩陣，編寫 ABAQUS用戶單元子程序，將子程序嵌入軟件，從而實現(xiàn)連續(xù)折線索單元的調用．根據(jù)節(jié)點個數(shù)n命名為n節(jié)點連續(xù)折線索單元，應用于樹狀結構找形上，各節(jié)點均可滑動以達到平衡．索段只受軸力，滿足樹狀結構力學模型，節(jié)點在外力作用下滑移達到平衡狀態(tài)的過程即找形過程．

本文以一簡單二維樹狀結構為例說明應用連續(xù)折線索單元的樹狀結構找形過程．圖 8是 2級分杈樹狀結構的初始形狀，節(jié)點 8固定，各節(jié)點坐標如圖8所示．上部節(jié)點受拉、下部節(jié)點固定和下部節(jié)點受拉、上部節(jié)點固定兩種情況下，應用連續(xù)折線索單元的找形結果是一致的，因此本文采用上部節(jié)點固定、下部節(jié)點受拉的模型進行找形分析．

圖8 2級分杈樹狀結構初始形狀(單位：m)Fig.8 Initial shape of tree structure with two-level branching(unit：m)

首先考慮靜力計算過程找形，在最下端節(jié)點8施加力的荷載，在找形過程中連續(xù)折線索單元的可滑移節(jié)點會產(chǎn)生大變形，導致計算結果不收斂．再考慮在最下端節(jié)點8施加位移荷載，具體找形過程如下：

(1)結構組成，結構由3個3節(jié)點連續(xù)折線索單元和 1個兩節(jié)點連續(xù)折線索單元組成，節(jié)點 1、5、2為單元1，節(jié)點3、6、4為單元2，節(jié)點5、7、6為單元3，節(jié)點7、8為單元4；

(2)節(jié)點1、2、3、4固定，建立10個荷載步，在節(jié)點8作用豎向位移荷載，取值分別為1,m、2,m、3,m、4,m、5,m、6,m、7,m、8,m、9,m和10,m，查看每一步的支座反力，第1步支座反力為零，拉索處于松弛狀態(tài)，第2步開始反力不為零，拉索處于張拉受力的狀態(tài)；

(3)在位移荷載 1.1～2.0,m范圍內(nèi)再建立10個荷載步，每一步位移荷載增量為 0.1,m，查看支座反力，按照步驟(2)的方法選取下一輪10個荷載步范圍1.41～1.50,m，每一步位移荷載增量為0.01,m；

(4)選取所有支座反力均不為零的最小荷載步，位移荷載為 1.450,m，根據(jù)該荷載步中各節(jié)點位移確定各節(jié)點位置，形成如圖9所示的找形結果．

圖9 基于靜力計算的找形結果(單位：m)Fig.9 Final shape using static calculation(unit：m)

上述找形過程需要3～4輪多個荷載步的選取和計算，因此考慮加質量塊的動力分析進行更加簡便的找形過程，因為動力分析時考慮一定阻尼，能夠解決靜力分析時節(jié)點大變形導致的不收斂問題．其具體找形過程如下：

(1)結構組成，結構由3個3節(jié)點連續(xù)折線索單元和 1個兩節(jié)點連續(xù)折線索單元組成，節(jié)點 1、5、2為單元1，節(jié)點3、6、4為單元2，節(jié)點5、7、6為單元3，節(jié)點7、8為單元4；

(2)節(jié)點1、2、3、4固定，在可滑移節(jié)點5、6、7、8處加質量塊單元，質量大小為0.1,N，單元阻尼大小1.0，在節(jié)點8的質量塊上作用一豎直向下1,N的荷載；

(3)進行結構計算，根據(jù)各節(jié)點位移確定最終狀態(tài)的各節(jié)點位置，形成如圖10所示的找形結果．折線索單元應用于樹狀結構找形方法的可行性．

圖12 試驗找形后形狀Fig.12 Final shape of test

對基于連續(xù)折線索單元確定形狀的樹狀結構在Midas軟件里進行靜力計算，圖13所示為單元編號，采用梁單元模擬，上部節(jié)點作用大小為10,kN/m的節(jié)點荷載，樹狀結構底部全固結，如圖14所示，找形前后的彎矩計算結果如表1所示，將兩者的彎矩進行比較，結果如圖15所示．

圖10 基于動力計算的找形結果(單位：m)Fig.10 Final shape using dynamic calculation(unit：m)

由圖9和圖10可知，靜力計算加位移荷載的找形方法和動力計算加質量塊的找形方法在結果上非常相似，前者耗時比后者稍長，后者在一定程度上考慮了摩擦阻尼，二者各有優(yōu)勢，均能得到比較滿意的找形結果．

為了對此數(shù)值模擬方法進行驗證，進行簡單試驗．圖 11所示為找形前的初始形狀，用表面稍光滑有一定摩擦的線來模擬連續(xù)折線索單元，用不同質量的水袋來模擬加在質量塊上的不同荷載，節(jié)點 5、6的水袋質量是節(jié)點8的5倍，此平衡狀態(tài)為結構初始形態(tài)；去掉節(jié)點5、6的水袋，節(jié)點5、6、7、8在節(jié)點8水袋質量的作用下滑動達到新的平衡，如圖 12所示，此平衡狀態(tài)即為找形后的結構形狀．由此簡單試驗得到的結果與數(shù)值模擬方法很接近，驗證了將連續(xù)

圖11 試驗初始形狀Fig.11 Initial shape of test

圖13 2級分杈樹狀結構單元編號Fig.13 Element numbers of tree structures with two-level branching

表1 節(jié)點荷載作用下2級分杈找形前后彎矩比較Tab.1 Comparison of bending moment with two-level branching before and after form-finding under nodal loads

圖14 2級分杈樹狀結構節(jié)點荷載Fig.14 Tree structures with two-level branching under nodal loads

圖15 2級分杈節(jié)點荷載作用下找形前后彎矩比較Fig.15 Comparison of bending moments with two-level branching before and after form-finding under nodal loads

由表1和圖15可知，經(jīng)過找形后的單元彎矩明顯減小，對于樹狀結構的分級樹枝單元，減小幅度為70.56%～83.98%，為使總荷載大小相等，可在單元1、2、3作用大小為2.22,kN/m的均布線荷載代替原節(jié)點荷載．彎矩比較結果如表 2和圖 16所示，可知均布荷載下，找形后的單元彎矩也明顯減小，對于分級樹枝單元，減小幅度最高達 91.65%，說明基于連續(xù)折線索單元的找形方法應用于樹狀結構是可行的，能夠有效減小桿件單元內(nèi)的彎矩．

表2 均布荷載作用下2級分杈找形前后彎矩比較Tab.2 Comparison of bending moment with two-level branching before and after form-finding under uniform loads

圖16 2級分杈均布荷載作用下找形前后彎矩比較Fig.16 Comparison of bending moments with two-level branching before and after form-finding under uniform loads

根據(jù)以上過程，對應用連續(xù)折線索單元找形樹狀結構的動力計算步驟總結如下：

(1) 結構組成，將初始形態(tài)的結構劃分為連續(xù)折線索單元組成的結構形式；

(2) 在可滑移節(jié)點處加質量塊單元，確定質量大小和單元阻尼大小，通常阻尼不小于 1.0，也不可過大，找形無關外力，因此忽略結構上部荷載作用，在最下端節(jié)點的質量塊上作用一豎直向下的荷載，荷載大小至少是質量塊質量的10倍，上部節(jié)點固定；

(3)進行結構計算，根據(jù)各節(jié)點位移確定最終狀態(tài)的各節(jié)點位置，完成找形過程．

需要說明的是：應用連續(xù)折線索單元找形，利用的是節(jié)點的可滑移性以達到平衡狀態(tài)，如果靜力計算直接加力的荷載，會因為節(jié)點的大變形導致計算不收斂，因此考慮采用在可滑移節(jié)點處加質量塊和單元阻尼進行動力計算，在加載時荷載大小至少是質量塊質量的10倍以上也是為了克服阻尼以達到最終的找形形態(tài)．如采用靜力分析計算，在最下端節(jié)點加位移荷載，通過上部節(jié)點支座反力的變化，逐漸縮小位移荷載范圍，經(jīng)過幾輪選取，也可找到最終的幾何形狀，二者的找形結果吻合度很高．

應用連續(xù)折線索單元進行樹狀結構找形有如下優(yōu)勢：只拉單元模擬，受力合理；概念清晰，操作簡便，不需迭代編程，耗時較短；有效減小彎矩，結果較理想，具有在工程中廣泛推廣的意義．

再以3級分杈樹狀結構為例，比較找形前后的單元內(nèi)彎矩．3級分杈樹狀結構初始形狀及節(jié)點坐標值如圖 17所示，按照上述方法找形后的形狀如圖 18所示．

圖17 3級分杈樹狀結構初始形狀(單位：m)Fig.17 Initial shape of tree structure with three-level branching(unit：m)

圖18 3級分杈樹狀結構找形結果Fig.18 Final shape of tree structure with three-level branching

對基于連續(xù)折線索單元確定形狀的 3級分杈樹狀結構在Midas軟件里進行靜力計算，如圖19所示為單元編號，采用梁單元模擬，節(jié)點1、4、5、8作用大小為 10,kN/m的節(jié)點荷載，樹狀結構底部全固結，彎矩比較結果如表3和圖20所示，如果在單元1～7作用大小為2.22,kN/m的均布線荷載，彎矩比較結果如表4和圖21所示．

表3 節(jié)點荷載作用下3級分杈找形前后彎矩比較Tab.3 Comparison of bending moment with three-level branching before and after form-finding under nodal loads

圖19 3級分杈樹狀結構單元編號Fig.19 Element numbers of tree structure with three-level branching

由表3、表4、圖20和圖21可知，經(jīng)過找形后的單元彎矩明顯減小，節(jié)點荷載作用下分級樹枝單元的彎矩減小幅度為 12.15%～87.98%，均布荷載下彎矩減小幅度最高達 92.09%，說明應用連續(xù)折線索單元對樹狀結構進行找形的方法同樣適用于 3級分杈樹狀結構，結果較理想．

圖20 3級分杈節(jié)點荷載作用下找形前后彎矩比較Fig.20 Comparison of bending moments with three-level branching before and after form-finding under nodal loads

表4 均布荷載作用下3級分杈找形前后彎矩比較Tab.4 Comparison of bending moment with three-level branching before and after form-finding under uniform loads

圖21 3級分杈均布荷載作用下找形前后彎矩比較Fig.21 Comparison of bending moment with three-level branching before and after form-finding under uniform loads

為說明結論的普遍適用性，對不同初始形狀的樹狀結構按照基于連續(xù)折線索單元的找形方法進行找形，并對找形前后的單元彎矩進行比較．2級分杈樹狀結構和 3級分杈樹狀結構的節(jié)點編號分別見圖 8和圖 17，不同初始形狀的樹狀結構找形前后彎矩比較如表5所示．

表5 不同初始形狀樹狀結構找形前后彎矩比較Tab.5 Comparison of bending moment of tree structures with different initial shapes before and after formfinding

由表 5可知，找形后的單元彎矩均有所減小，大部分減小幅度在80%以上，說明基于連續(xù)折線索單元的找形方法應用于樹狀結構是可行的，效果比較理想，具有普遍適用性．

3 優(yōu)化方法

在荷載總值相等的前提下，對節(jié)點荷載和均布荷載作用下找形后結構的單元彎矩進行比較．以第 2節(jié)中的兩個模型為例，2級分杈樹狀結構在兩種荷載情況下的彎矩比較如圖 22所示，3級分杈樹狀結構的彎矩比較如圖23所示．

圖22 2級分杈節(jié)點荷載和均布荷載下找形后彎矩比較Fig.22 Comparison of bending moment with two-level branching under nodal loads and uniform loads

圖23 3級分杈節(jié)點荷載和均布荷載下找形后彎矩比較Fig.23 Comparison of bending moment with three-level branching under nodal loads and uniform loads

由圖22和圖23可知，2級分杈樹狀結構和3級分杈樹狀結構找形后的結構在均布荷載下樹枝單元彎矩值絕大部分小于節(jié)點荷載下的彎矩值，因此本節(jié)以2級分杈樹狀結構為例，探討節(jié)點荷載下結構的優(yōu)化，以期進一步減小單元彎矩值．

將圖8所示的2級分杈樹狀結構增加級數(shù)，1級節(jié)點和2級節(jié)點位置不變，在2級節(jié)點和上部節(jié)點之間增加3級節(jié)點，形成如圖24所示的3級分杈樹狀結構．對此 3級分杈結構按照第 2節(jié)的方法進行找形，找形結果如圖25所示．

圖24 3級分杈樹狀結構初始形狀(單位：m)Fig.24 Initial shape of tree structure with three-level branching(unit：m)

圖25 3級分杈樹狀結構找形結果Fig.25 Final shape of tree structure with three-level branching

保留找形后的2級節(jié)點，將3級節(jié)點、2級樹枝和3級樹枝去掉，2級節(jié)點和上部節(jié)點直接相連形成新的2級樹枝，完成3級到2級的簡化過程，形成如圖26所示優(yōu)化后的形狀．

圖26 優(yōu)化后的找形結果(單位：m)Fig.26 Final shape after optimization(unit：m)

將原找形結果和優(yōu)化后結果的單元彎矩進行比較，如圖27所示，可知優(yōu)化后各個桿件的彎矩均有所減小，減小幅度為37.89%～44.92%，結果比較理想．

綜上，節(jié)點荷載作用下，首先對 2級分杈樹狀結構增加級數(shù)，形成 3級分杈樹狀結構；按照連續(xù)折線索單元應用于樹狀結構的找形方法進行 3級分杈的找形；去掉找形后的3級節(jié)點、3級樹枝和2級樹枝，將找形后的2級節(jié)點和上部節(jié)點直接相連，簡化成新的2級樹枝，形成優(yōu)化后的形狀．按照此優(yōu)化方法形成的找形結果能夠進一步減小節(jié)點荷載下的單元彎矩，效果較理想．均布荷載作用下，采用此優(yōu)化方法并不能進一步減小彎矩，因此該優(yōu)化方法適用于節(jié)點荷載作用下的樹狀結構找形結果的優(yōu)化．

圖27 2級分杈節(jié)點荷載作用下優(yōu)化前后彎矩比較Fig.27 Comparison of bending moment with two-level branching before and after optimization under nodal loads

4 最優(yōu)形狀的討論

樹狀結構初始形狀的分級節(jié)點位置不同，找形結果會不同，對結構的內(nèi)力也會有影響．本節(jié)以2級分杈樹狀結構為例，探討1級節(jié)點和2級節(jié)點豎向坐標的變化對單元內(nèi)彎矩的影響．

4.1 節(jié)點荷載

以圖8所示的2級分杈樹狀結構為例，2級節(jié)點豎向坐標－4不變，1級節(jié)點豎向坐標分別為－7、－9和－11，以形狀1、形狀2和形狀3代表3種情況，節(jié)點荷載作用下找形后的樹枝單元彎矩比較如圖28所示．

圖28 節(jié)點荷載作用下1級節(jié)點變化時找形后彎矩比較Fig.28 Comparison of bending moment with the change of the first-level joint under nodal loads

由圖28可知，節(jié)點荷載作用下，1級節(jié)點位置下移，找形后樹枝單元彎矩減小，但相差不大．

1級節(jié)點豎向坐標－11不變，2級節(jié)點豎向坐標分別為-4、-5和-6，以形狀1、形狀2和形狀3代表3種情況，節(jié)點荷載下找形后的樹枝單元彎矩比較如圖29所示．

由圖 29可知，節(jié)點荷載下 2級節(jié)點位置下移，找形后樹枝單元彎矩減?。?/p>

1級節(jié)點豎向坐標分別為-9、-10和-11，相應的2級節(jié)點豎向坐標分別為-4、-5和-6，即1級節(jié)點和2級節(jié)點豎向坐標差不變，以形狀1、形狀2和形狀3代表3種情況，節(jié)點荷載作用下找形后的樹枝單元彎矩比較分別如圖30所示．

圖29 節(jié)點荷載作用下2級節(jié)點變化時找形后彎矩比較Fig.29 Comparison of bending moment with the change of the second-level joint under nodal loads

圖30 節(jié)點荷載作用下1、2級節(jié)點變化時找形后彎矩比較Fig.30 Comparison of bending moment with the change of the first- and second-level joint under nodal loads

由圖30可知，節(jié)點荷載作用下1、2級節(jié)點位置均下移，找形后樹枝單元彎矩減?。?/p>

4.2 均布荷載

與第 4.1節(jié)的節(jié)點位置相同，均布荷載作用下 3種變化的樹枝單元彎矩比較如圖31～33所示．

由圖31～33可知，均布荷載作用下，1級節(jié)點位置下移，找形后樹枝單元彎矩增加；2級節(jié)點位置下移，找形后大部分樹枝單元彎矩增加；1、2級節(jié)點位置均下移，1級樹枝和 2級樹枝中間桿件的彎矩增加，2級樹枝兩側桿件彎矩值略有減小．

綜上，節(jié)點荷載作用下，1級節(jié)點位置下移，樹枝單元彎矩減??；2級節(jié)點位置下移，樹枝單元彎矩減小．均布荷載作用下，1級節(jié)點位置下移，樹枝單元彎矩增加；2級節(jié)點位置下移，大部分樹枝單元彎矩增加．因此，在確定找形之前的初步形狀時，節(jié)點荷載作用下，分級節(jié)點的位置應在滿足其他要求的情況下盡可能下移；而均布荷載作用下，分級節(jié)點的位置應在滿足其他要求的情況下盡可能上移，這樣找形后的樹枝單元彎矩較小，結果較理想．

圖31 均布荷載作用下1級節(jié)點變化時找形后彎矩比較Fig.31 Comparison of bending moment with the change of the first-level joint under uniform loads

圖32 均布荷載作用下2級節(jié)點變化時找形后彎矩比較Fig.32 Comparison of bending moment with the change of the second-level joint under uniform loads

圖33 均布荷載下作用1、2級節(jié)點變化時找形后彎矩比較Fig.33 Comparison of bending moment with the change of the first- and the second-level joint under uniform loads

5 結 論

在樹狀結構各種力學性能的研究中，找形分析是十分重要的，本文對此進行了一些研究比較，得到了如下結論：

(1) 基于連續(xù)折線索單元，提出了一種高效的樹狀結構找形方法，給出一般步驟，并通過試驗進行驗證；

(2) 節(jié)點荷載下，對 2級分杈樹狀結構進行優(yōu)化，先增加級數(shù)找形，再簡化成 2級分杈，優(yōu)化后的單元彎矩進一步減?。?/p>

(3) 節(jié)點荷載下，分級節(jié)點位置下移，樹枝單元彎矩值減??；均布荷載下，分級節(jié)點位置上移，樹枝單元彎矩值減??；

(4) 本文的研究僅以二維樹狀結構為例，基于連續(xù)折線索單元的樹狀結構找形思路同樣適用于三維樹狀結構，有待于進一步研究分析．

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(責任編輯：樊素英)

Form-Finding of Tree Structures Based on Sliding Cable Element

Zhang Qian1,2，Chen Zhihua1,2，Wang Xiaodun1,2，Liu Hongbo1,2
(1. School of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. Tianjin Key Laboratory of Civil Engineering Structure and New Materials，Tianjin 300072，China)

Form-finding is very important in the researches on the mechanical behavior of tree structures. Based on the researches of other form-finding methods of tree structures，a new form-finding method was proposed. Sliding cable element was used for simulation in order to reduce element bending moments，the general steps were given，and then a test was carried out to verify the proposed method. The conclusion was drawn from the internal force comparison that this method can effectively reduce element bending moments and the result is ideal. This method also shows such advantages as easy operation，no iteration or programming and very short consuming time. By optimizing the result with form-finding，this method can further reduce unit bending moments. By analyzing the effect of classification joint position changes on the result of form-finding and summarizing the rule，this method has the significance in engineering applications and provides some references for the analysis and design of tree structures.

tree structure；form-finding analysis；sliding cable element

TU318

A

0493-2137(2015)04-0362-11

10.11784/tdxbz201309030

2013-09-09；

2013-11-22.

天津市科委基金資助項目(11ZCZDSF04800)．

張 倩（1985— ），女，博士研究生，popzhqly@163.com.

王小盾，maodun2004@126.com.