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    等價(jià)關(guān)系在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

    2015-05-15 08:08:54韓寶燕
    科技視界 2015年15期
    關(guān)鍵詞:散性種屬離散數(shù)學(xué)

    韓寶燕

    (山東工藝美術(shù)學(xué)院公共課教學(xué)部,山東 濟(jì)南250000)

    1 等價(jià)關(guān)系

    1.1 等價(jià)關(guān)系的定義

    定義1 設(shè)R為非空集合A上的關(guān)系,如果R是自反的、對(duì)稱的和傳遞的,則稱R為A上的等價(jià)關(guān)系.對(duì)于任何x,y∈A,如果∈等價(jià)關(guān)系R,則記作x~y.

    下面舉個(gè)例子。

    例(1)在一群人的集合上年齡相等的關(guān)系是等價(jià)關(guān)系,而朋友關(guān)系不一定是等價(jià)關(guān)系,因?yàn)樗赡懿皇莻鬟f的.一般稱這種自反的對(duì)稱的關(guān)系為相容關(guān)系.顯然等價(jià)關(guān)系都是相容關(guān)系,但相容關(guān)系不一定是等價(jià)關(guān)系.

    (2)動(dòng)物是按種屬分類的,“具有相同種屬”的關(guān)系是動(dòng)物集合上的等價(jià)關(guān)系.

    (3)集合上的恒等關(guān)系和全域關(guān)系都是等價(jià)關(guān)系.

    (4)在同一平面上三角形之間的相似關(guān)系是等價(jià)關(guān)系,但直線間的平行關(guān)系不是等價(jià)關(guān)系,因?yàn)樗皇亲苑吹?

    1.2 等價(jià)類的定義及性質(zhì)

    設(shè)R是非空集合A上的等價(jià)關(guān)系,則A上相互等價(jià)的元素構(gòu)成了A的若干個(gè)子集,叫做等價(jià)類.下面給出等價(jià)類的一般定義.

    定義2 設(shè)R是非空集合A上的等價(jià)關(guān)系,對(duì)任意x∈A,令[x]R={y|y∈A∧xRy},則稱[x]R為x關(guān)于R的等價(jià)類,簡(jiǎn)稱為x的等價(jià)類,簡(jiǎn)記為[x].

    等價(jià)類具有下面的性質(zhì):

    設(shè)R是非空集合A的等價(jià)關(guān)系,對(duì)任意的x,y∈A,下面的結(jié)論成立.

    (1)[x]≠?,且[x]?A;

    (2)若xRy,則[x]=[y];

    (4)x∈A∪[x]=A.

    含義是(1)表明任何等價(jià)關(guān)系都是集合A的非空子集;(2)和(3)說(shuō)的是在A眾任取兩個(gè)元素,它們的等價(jià)類或是相等,或是不交.比如,在例2.1中1、4和7的等價(jià)類彼此相等,都是{1,4,7}.但1和2的等價(jià)類彼此不交.(4)表示所有等價(jià)類的并集就是A.在例2.1中就是

    {1,4,7}∪{2,5,8}∪{3,6}={1,2,…,8}.

    2 等價(jià)關(guān)系的應(yīng)用

    等價(jià)關(guān)系作為一種特殊的二元關(guān)系,在數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)等學(xué)科中有廣泛的應(yīng)用.

    2.1 求極限中的應(yīng)用

    在微積分中學(xué)習(xí)無(wú)窮?。ù螅┝侩A的比較時(shí),遇到兩個(gè)無(wú)窮?。ù螅┝恐鹊臉O限.由于這種極限可能存在,也可能不存在,因此我們把兩個(gè)無(wú)窮小量或兩個(gè)無(wú)窮大量之比的極限稱為不定式極限,分別記為型或型的不定式極限,下面我們將以等價(jià)關(guān)系為工具研究不定式的極限.

    2.2 判斷無(wú)窮積分的斂散性

    我們都知道無(wú)窮積分的比較判別法:設(shè)函數(shù)f(x)在(a,+∞)(a?0)上連續(xù),若g(x)?0及當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)=O-(g(x))(表示f(x)與g(x)同階,即,則積分同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散.特別地,若,則s?1時(shí)積分收斂,當(dāng)s≤1時(shí)積分發(fā)散.利用等價(jià)關(guān)系可以把被積函數(shù)轉(zhuǎn)化成與它等價(jià)的函數(shù),由比較判斷法很容易判斷其斂散性([1]).

    (2)利用(1+x)λ~1+λx

    于是當(dāng)α=-2β>1時(shí)積分收斂,當(dāng)α=-2β≤1時(shí)積分發(fā)散([2]).

    [1]耿素云,屈婉玲,張立昂,編.離散數(shù)學(xué)[M].3版.北京:清華大學(xué)出版社,2004.3

    [2]左孝凌,李為建,劉永才.離散數(shù)學(xué)[M].上海:上??茖W(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社,2000:100-131.

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