對Butler雙水平井SAGD產(chǎn)量公式的質疑

陳元千

（中國石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083）

Butler[1]針對較厚的重質油藏，于 1991 年提出的蒸汽輔助重力驅動的原理和方法，在我國引起了廣泛重視。同時，發(fā)表了有關室內(nèi)模擬實驗和礦場工藝技術研究方面的文章80余篇，如文獻[2—17]。然而，令人遺憾的是，對于Butler提出的蒸汽輔助重力驅動的產(chǎn)量公式，在國內(nèi)外文獻中，尚查不到有關實際應用的計算結果。對此，本文展開深入剖析與探討。

1 從達西傾斜線性流動的流量公式推導談起

本文基于達西傾斜線性流動的微分式進行了推導，得到了包括重力驅動作用和注入壓力驅動作用的流量公式。從公式對比可以看出，Butler的公式只有流體的重力作用驅動項，而缺少注入壓力的驅動項。

對于均質各向同性的儲層，達西傾斜的線性流動（見圖1）的地下流量與壓力梯度的微分式為[18]

對式（2）進行分離變量積分，并代入上下限為

將式（3）積分，得達西穩(wěn)定傾斜線性流動的流量公式：

再將式（4）改寫為

若設：

則得：

由式（8）可以看出，達西穩(wěn)定傾斜線性流動的流量，由q1和q2兩部分組成，q1為注入壓力驅動作用提供的流量，q2為重力輔助驅動作用提供的流量，而且q1?q2。Butler的SAGD產(chǎn)量公式相當于式（7）。

圖1 達西穩(wěn)定傾斜線性流動

2 對Butler的SAGD產(chǎn)量公式的質疑

圖2、圖3分別表示了上注下采雙水平井的橫剖面和垂直于水平井段的縱剖面。圖4表示了Butler的上注下采雙水平井的流體流動模式。Butler認為，被加熱降黏的原油沿汽油界面夾角θ呈自下而上流動的狀態(tài)（見圖 5）。

圖2 上注下采雙水平井橫剖面

圖3 垂直水平井段2個平面徑向流的剖面

圖4 SAGD流體流動示意[1]

圖5 單側汽油汽界面的垂向剖面[1]

Butler應用達西定律提出了所謂的微分流量公式（見圖5），他是這樣敘述的：注入蒸汽的溫度為TS，油層溫度為TR，注入蒸汽在汽油界面處凝結；汽油界面的水平夾角為θ，界面處的溫度為TS；熱量經(jīng)傳導進入較涼的油層（未受到加熱影響）位置。在距汽油界面ξ時，原油的動力黏度為μo，或運動黏度為νo，應用達西定律可以寫出單位厚度（應為單位水平井段的長度）截面積的流量為[1]

Butler認為，由于ρg的數(shù)值比ρo值小得多，可以忽略不計。 考慮動力黏度與運動黏度的關系，μo/ρo=νo，可

將式（9）又改寫為

由式（6）和式（10）對比可以看出，Butler提出的式（9），只考慮了蒸汽驅的重力輔助驅動作用和單側單位水平井段長度的流量，而且Butler將式（10）中的dq錯誤地稱為微分流量（differential flow）。通過將式（9）和式（7）對比，可以看出，Butler的SAGD產(chǎn)量公式存在如下主要問題：

1）達西定律表示的流量，為穩(wěn)定的常數(shù)流量q，決不能寫為式（9）的微分流量dq形式，因為q為常數(shù)，dq=0。

2）由達西定律表示的流量與壓力梯度成正比的關系式，流體通過的截面積A為常數(shù)，決不能寫為微分形式的dξ×1。對于上注下采的雙水平井開采系統(tǒng)，截面積A可以寫為流動寬度W與水平井段長度L的乘積，即A=WL。而寬度W可取為水平井距的1/4。

3）在公式（9）中，Butler應將重力輔助驅動的地層原油密度寫為ρo，而不應寫為地層原油與蒸汽的密度差（ρo-ρg），然而其后他又將 ρg改為 ρo。

4）對于未加熱的油層，Butler由式（10）寫出的微分流量為

Butler將式（10）減式（11），得到由于加熱增加的微分流量：

不清楚是什么道理，Butler又重新定義dq=dq-dqr，而忽略了 dqr，將式（12）寫為

應當指出，既然忽略了dqr的存在，就應當回到式（10），而不能再將式（12）寫為式（13）。 也就是說，式（13）是不成立的。

5）為了得到雙水平井上注下采系統(tǒng)單側一邊的產(chǎn)量公式，Butler又將不存在的式（13）寫成了式（14）的積分形式：

由于達西定律的流量為常數(shù)，既不能寫為微分形式dq，更不能對dq取上限為q、下限為0進行積分。同時Butler對式（14）地下運動黏度的倒數(shù)，取上限為∞、下限為0進行積分，也是毫無根據(jù)和實際意義的。

6）上述分析表明，Butler的式（14）是不正確的，因此，已完全沒有必要再進行任何推導。然而，Butler卻在式（14）的基礎上又進行了毫無意義且存在問題的推導，最后得到了僅考慮重力輔助驅動作用雙水平井單側單位水平井段長度的產(chǎn)量公式：

對于全水平井段，兩邊傾斜流動Butler的SAGD產(chǎn)量可寫為

將式（15）代入式（16），可以得到 Butler的 SAGD產(chǎn)量公式：

3 對Butler SAGD產(chǎn)量公式單位變換

應當指出，在油氣藏工程計算中，任何理論公式的推導，所使用各項參數(shù)的單位，均為SI制基礎單位。當然，所得到的也是SI制基礎單位表示的公式。這些公式要想在實際中加以應用，都需要經(jīng)過公式的單位變換。如果不經(jīng)過由SI制基礎單位變換到SI制礦場實用單位，或者變換錯誤，都會導致計算結果的錯誤。現(xiàn)對Butler的SAGD產(chǎn)量公式進行由SI制基礎單位到SI制礦場實用單位的變換如下。

由SI制基礎單位表示的Butler式（17），變換為SI制礦場實用單位的方法為

整理式 （18），得由SI制礦場實用單位表示的Butler公式：

4 應用舉例

引用文獻[1]的各項參數(shù)的數(shù)值列于表1，試用Butler的式（19）計算雙水平井的產(chǎn)油量。應當指出，表1中地層原油密度單位具有的關系為，1 g/cm3=1 000 kg/m3=1 t/m3。

將表1中各項參數(shù)值代入式（19），得Butler公式計算的水平井產(chǎn)量為

表1 產(chǎn)量計算參數(shù)

對于一口水平井來說，Butler的SAGD產(chǎn)量公式計算的結果，低得令人難以置信。

5 結論

通過本文的研究表明，Butler雙水平井的SAGD產(chǎn)量公式，由于在建立、推導的過程中，對于達西定律認識上的偏差和數(shù)學方法應用上存在的問題，導致了所得結果的不正確性和不可靠性。Butler的SAGD產(chǎn)量公式，僅考慮了流體重力的輔助驅動作用，而忽略了注采井之間注入壓力的驅動作用，因此必然導致產(chǎn)量計算結果難以置信地偏低。這也說明了，迄今為止，為什么幾乎看不到Butler的SAGD產(chǎn)量公式，在實際中得不到有效應用的原因。最后，應當指出，在Butler的SAGD產(chǎn)量公式中的滲透率，應為地層原油黏度下的有效滲透率，而不是巖心分析的空氣滲透率。

6 符號注釋

括號中為礦場實用單位制單位。

A 為達西線性流動的截面積，m2（m2）；g為重力加速度，9.806 m/s2；h為油層厚度，m （m）；K 為地層原油黏度μo下的有效滲透率，μm2（mD）；L為水平井段長度，m（m）；m 為溫度指數(shù)，取值 3～4；p 為達西穩(wěn)定傾斜流動的某質點的壓力，Pa（MPa）；p1為達西穩(wěn)定傾斜流動的入口壓力，Pa（MPa）；p2為達西穩(wěn)定流動的出口壓力，Pa（MPa）；qL為達西傾斜線性流動的穩(wěn)定流量，m3/s（m3/d）；q1為在（p1-p2）驅動作用的達西傾斜線性流的流量，m3/s（m3/d）；q2為流體重力驅動作用的達西傾斜線性流的流量，m3/s（m3/d）；dq 為 Butler的單側加熱油層達西傾斜線性流單位水平井段長度的微分流量，m3/s（m3/d）；dqr為Butler的單側未加熱油層達西傾斜線性流單位水平井段長度的微分流量，m3/s（m3/d）；q為Butler的單側加熱油層達西傾斜線性流的單位水平井段長度的流量，m3/s （m3/d）；QB為 Butler的SAGD產(chǎn)量，m3/s（m3/d）；l為達西穩(wěn)定傾斜線性流動的長度，m（m）；Soi為原始含油飽和度，f（f）；Sor為殘余油飽和度，f（f）；W為達西傾斜線性流動的截面寬度，m（m）；Z為達西傾斜線性流某流動質點距參照面的垂直距離，m（m）；θ為傾斜線性流動的水平夾角，°（°）；ρ為達西流動的流體密度，kg/m3（g/cm3）；ρo為地層流動的原油密度，kg/m3（t/m3）；u為界面法線方向移動速度，m/s（m/d）；μ 為達西流動的流體動力黏度，Pa·s（mPa·s）；μo為地層流動的原油動力黏度，Pa·s（mPa·s）；νo為加熱油層流動的原油運動黏度，St（cSt）；νr為未加熱油層流動的原油運動黏度，St（cSt）；α為熱傳導率，m2/s（m2/d）；ξ為Butler流動模型dξ流動單元距汽油界面的垂直距離，m（m）。

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