雙生命狀態(tài)下住房反抵押貸款定價研究

■ 周海珍，金逸娟，陳秉正

一、引言

我國已經(jīng)進入老齡化社會。至2014年末我國60歲及以上人口為2.12億，占總人口的15.5%，其中65歲及以上人口為1.38億，占總人口的10.1%①國家統(tǒng)計局.2014年國民經(jīng)濟在新常態(tài)下平穩(wěn)運行[EB/OL].http://www.stats.gov.cn/tjsj/zxfb/201501/t20150120_671037.htm l.。隨著老齡人口的快速增加以及我國家庭呈現(xiàn)的“4-2-1”結構和整個國家“未富先老”等特點，老年人的經(jīng)濟保障問題日益引起各界的廣泛重視。作為可以提高老年人經(jīng)濟保障水平的一種財務安排，住房反抵押貸款已經(jīng)引起了社會的廣泛關注。2013年9月，國務院在 《關于加快發(fā)展養(yǎng)老服務業(yè)的若干意見》（國發(fā)（2013）35號）中明確提出要“鼓勵探索開展老年人住房反向抵押養(yǎng)老保險試點”，并決定從2014年開始在北京、上海等城市試點。

近年來，國內(nèi)外學界已經(jīng)對住房反抵押貸款的相關問題進行廣泛深入的研究，其中定價問題是最主要的內(nèi)容之一。最早給出反抵押貸款定價模型的是Szymanoski（1994），該文章用隨機游走過程描述了房屋價值的波動；Peter Chinloy等（1994）設計的支付因子定價模型極具代表性，在綜合考慮了貸款利率、通貨膨脹率、房產(chǎn)波動率和調(diào)整精算系數(shù)等因素后計算出了支付因子，用該因子乘以住房價值即可得到借款人能夠獲得的貸款額度；Olivia S.Mitchell等（2004）則提出了保險精算定價模型，根據(jù)這個模型，在已知一定的貸款利率、房價增長率和借款人生存率的前提下，可計算出借款人的躉領金額和按期領取的年金金額；Bardhan，Karapanda和Urosevic（2006）構建了BKU模型，該模型是在風險中性的前提條件下，利用歐式看跌期權對住房反向抵押貸款進行了定價；Seungryul Ma等（2007）則在BKU模型的基礎上，根據(jù)保費收入現(xiàn)值與預期損失現(xiàn)值平衡的原則，構建了住房反向抵押貸款定價模型。

國內(nèi)學者也對住房反抵押進行了很多研究，但較多集中在對必要性、可行性及運行模式等方面的研究，對定價問題則研究得較少。劉春杰和譚競（2005）以支付因子定價方法為基礎探討了反抵押貸款合約的定價問題；奚俊芳（2007）介紹了終身年金給付模式下單生命體和雙生命體的定價方法，并構建了不同遞增方式的年金給付定價模型；范子文（2006)和柴效武（2008）研究了基于無贖回權的年金產(chǎn)品定價模型；同時，范子文（2006)首次在國內(nèi)提出了有贖回權的反向抵押貸款定價模型，并利用BS模型的定價方法對贖回權進行了分析；此外，陳秉正（2014）等構建了包含隨機動態(tài)房價和隨機動態(tài)利率的具有贖回選擇權的住房反抵押貸款定價模型，并將住房反抵押貸款和長期護理保險相結合，建立了具有長期護理保障功能的住房反抵押產(chǎn)品定價模型。

根據(jù)對國內(nèi)外住房反抵押貸款定價研究的綜合分析我們發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有的研究基本上是假定借款人為一個老年人，而現(xiàn)實中很多老年家庭是夫婦二人共同生活，共同擁有一套房屋。因此，以家庭作為借款單位會更適合現(xiàn)實情況，這就需要研究雙生命狀態(tài)下的住房反向抵押貸款定價模型?；谶@一考慮，本文研究了雙生命狀態(tài)下住房反抵押貸款定價問題，建立了相關定價模型，并進行了價格測算。我們的研究結果表明，和以往的單生命狀態(tài)假設下的定價模型相比，根據(jù)雙生命狀態(tài)假設得到的定價結果可以為老年人提供更高程度的經(jīng)濟保障。

二、雙生命狀態(tài)下住房反抵押貸款的定價模型

（一）單生命狀態(tài)下的反抵押貸款定價模型

為簡單起見，我們假設反抵押貸款市場是一個完全競爭的市場。對于貸款人來說，被抵押房屋的終期價值是其可獲得的收入，在期初向借款人發(fā)放的貸款額是其所支付的成本。根據(jù)無超額收益原則，兩者的精算現(xiàn)值應該相等。

記tPx為x歲的人于第t年后仍然生存的概率，亡的概率，H （t）為所抵押的房屋在第t年的價值，r為貸款利率，是無風險利率與風險升水成本和一定利潤率之和，a為發(fā)起費，β為保險費，γ為其他交易費用，如第三方服務費、手續(xù)費等。若借款人在第T年死亡，貸款人將房屋價值變現(xiàn)所得收入的精算現(xiàn)值為：

根據(jù)貸款人期望收支相等的原則，式（1）的值即為借款人可得到的貸款總額LSx：

假設貸款機構在每年年初給付借款人一筆等額的貸款額，直至借款人死亡當年即第T年為止。若以Ax表示年齡為x歲的借款人每年年初可獲得的貸款金額，則根據(jù)該借款人在整個生存期內(nèi)獲得的貸款的期初現(xiàn)值應該等于其可以得到的總貸款金額這一原則，可以得出：

（二）雙生命狀態(tài)下的反抵押貸款定價模型

在現(xiàn)實生活中，很多老年家庭都是夫婦雙方一起生活的，在反抵押貸款合同簽訂后，假如一位老人去世，另一位老人仍然健在的話，此時貸款機構強行將住房收回是很不合情理的。因此，我們假設可以家庭為申請貸款的單位，當夫妻雙方均死亡后貸款機構才將房屋收回，據(jù)此可以建立雙生命狀態(tài)下的住房反抵押貸款定價模型。根據(jù)兩個老人中有一個去世后貸款是否繼續(xù)發(fā)放，可以將雙生命狀態(tài)下的反抵押貸款細分為聯(lián)合生存發(fā)放方式和最后生存者發(fā)放方式，我們下面分別對這兩種方式的定價模型進行闡述。

1.聯(lián)合生存（xy）發(fā)放方式下的定價模型

在此狀態(tài)下，房屋進行反抵押后，如果兩位老人中一方去世，貸款機構將停止給付年金，但房屋一直保留到另一方去世后再收回。這種情況適用于有收入但收入不足以承擔兩個人生活的家庭。

我們用Axy表示申請住房反抵押的家庭每年所能領取的貸款金額，其中x表示申請時男方的年齡，y表示申請時女方的年齡，根據(jù)期望收支平衡原則，申請反抵押貸款的家庭可獲得的貸款總額LSxy或分配到各年所能領取的貸款金額Axy分別為：

其中tqxy為初始年齡為x和y的借款組合在第t年內(nèi)有一人死亡的概率，tpxy表示初始年齡為x和y的借款組合在年內(nèi)存活的概率。

2.最后生存者（xy）發(fā)放方式下的定價模型

在此狀態(tài)下，房屋進行反抵押后，假如兩人都生存，則每年可以獲得的貸款金額為Axy，如果其中一方去世另一方健在的話，貸款將繼續(xù)發(fā)放但金額有所降低，直至另一方去世后貸款機構再將房屋收回，這種設計特別適用于無其他經(jīng)濟來源的家庭。

同樣，用x表示申請時男方的年齡，y表示申請時女方的年齡，最后生存者狀態(tài)下借款者可獲得的貸款LSxy與聯(lián)合生存者狀態(tài)下是一樣的，如式（6）所示：

假定一方去世后，貸款發(fā)放數(shù)額為原先的1/2，則該狀態(tài)下每年貸款的發(fā)放方式相當于聯(lián)合生存發(fā)放方式和最后生存者發(fā)放方式的組合，即由50%的最后生存者狀態(tài)下發(fā)放的貸款加上50%的聯(lián)合生存者狀態(tài)下發(fā)放的貸款，即：

將式（4）代入式（7）可得：

其中tpxy表示初始年齡為x和y的借款組合在t年內(nèi)至少有一人存活的概率。

由式（8）可以得出最后生存者狀態(tài)下每年貸款的發(fā)放額：

三、雙生命狀態(tài)下住房反抵押貸款定價的模擬分析

我們假設借款人在生日當天簽訂反抵押產(chǎn)品合約；借貸雙方此后均不存在違約行為；借款人選擇于期初一次性獲得貸款或每年獲得一定數(shù)額的貸款金額；借款人或借款人夫婦去世后，房屋產(chǎn)權轉移給貸款人用以清償貸款，不存在贖回選擇權，且貸款人拿到房屋所有權后即以市場價出售，兩者間不存在時間差。

（一）參數(shù)假設與選擇

1.房產(chǎn)價格及發(fā)展趨勢。假設借款人所擁有的房屋的初始評估價值H （0）為100萬，根據(jù)中國1998～2014年的商品房平均銷售價格，我們計算得出過去17年間房價平均年增長率為7.20%，其中2004年、2005年以及2007年房價增長率均超過了14%，2009年甚至超過了23%。一般認為，房價波動與國家政策、GDP以及人均收入增長幅度等因素相關。隨著國家對房價調(diào)控力度的加大，未來房價的增長不太可能會維持在如此高位，因而在考慮國家調(diào)控政策、GDP以及人均收入增長速度的基礎上，我們假設未來中國長期房價平均的增長率為6.50%；同時按照住房70年的使用年限并采用直線法折舊，并考慮到房屋擁有者將房屋辦理反抵押后可能會疏于維修保養(yǎng)等道德風險因素，將年折舊率定為2%。因此，最終設定房價年均增長率的均值為6.5%-2%=4.5%。

2.貸款利率。本模型中的利率由無風險利率、風險報酬率和貸款機構合理的利潤率三部分構成。我們假設無風險利率為一固定值，以2015年1月某日上海銀行間同業(yè)拆放7天利率3.88%作為無風險利率，風險報酬率為2%①因為我國目前尚未開始實施住房反抵押貸款，只能參照現(xiàn)有文獻研究結果確定風險報酬率（范子文，2011）。；同時根據(jù)銀監(jiān)會發(fā)布的數(shù)據(jù)，2013年我國商業(yè)銀行的平均資產(chǎn)利潤率為1.345%②中國銀監(jiān)會.2013年商業(yè)銀行主要監(jiān)管指標情況表.[EB/OL].http://www.cbrc.gov.cn/chinese/home/docView/123C72BD103540C2B679F0A4BA19E903.htm l.2014-02-13.。由于考慮到住房反向抵押貸款的期限較長，風險較大，本文將貸款機構的利潤率取為1.5%。因此，貸款利率r=rf+2%+1.5%=7.38%。

3.其他參數(shù)，包括發(fā)起費、保費和其他交易費用。目前我國還沒有正式實施住房反向抵押貸款業(yè)務，所以本文參照美國的運作標準確定一些交易費用。其中發(fā)起費全部由申請人支付，為房屋初始價值的1%；保險費為房屋初始價值的2%；其他交易費用如第三方服務費、手續(xù)費等，假設為房屋初始價值的 3%③因為我國目前尚未開始實施住房反抵押貸款，只能參照現(xiàn)有文獻研究結果確定其他參數(shù)（范子文，2011）。。

4.死亡率。本文的死亡率數(shù)據(jù)源自《中國人壽保險業(yè)經(jīng)驗生命表（2000～2003）》。假設借款夫婦二人的預期壽命相互獨立，且在各年度內(nèi)的死亡服從均勻分布（UDD），根據(jù)生存率與死亡率之間的關系，可分別計算式（4）至式（9）中各生存率和死亡率的數(shù)值①由于篇幅關系，計算結果不在文中一一列出。。

5.從借款人簽訂合約到死亡的年數(shù)T。我們以生命表中的終極壽命105歲為借款人的預期壽命，即如果借款人在60歲時將房屋進行反抵押，則T=45；如果在70歲時辦理房屋抵押，則T=35，依此類推。

（二）數(shù)值模擬結果分析

1.單生命狀態(tài)下借款人所能獲得的貸款金額

根據(jù)上文的假設，我們能得出一男性在60歲、65歲、70歲、75歲時申請住房反抵押貸款所能從貸款機構獲得的躉領金額 （保險合同中保險金領取方式的一種，即保險合同到期后一次領取全部保險金）或年領金額的數(shù)值如表1所示。

表1 不同年齡男性借款人可獲得的貸款金額（房屋初始價格為100萬元）單位：元

從表1可以看出，借款人可獲得的貸款金額與申請人的年齡成正比關系，隨著借款人年齡的增加，所獲得的貸款金額也隨之增加，這是因為年齡越大，預期余壽越短，貸款可能歸還的期限也越短，從而所獲得的貸款金額也就越大。

2.雙生命狀態(tài)下借款人所能獲得的貸款金額

（1）聯(lián)合生存者發(fā)放方式

根據(jù)上文的假設，我們可以得出當一對夫婦在（60,55）（65,60）（70,65）（75,70）等四種不同年齡組合下②假設年齡組合中第一個數(shù)字為男方年齡，第二個為女方年齡。申請反抵押貸款時可從貸款機構獲得的貸款金額，如表2所示。

表2 聯(lián)合生存狀態(tài)不同年齡組合借款人的貸款金額（房屋初始價格為100萬元）單位：元

（2）最后生存者發(fā)放方式

如果一對夫婦同樣在上述四個年齡組合下申請反抵押貸款，但選擇了最后生存者發(fā)放方式，一方去世后貸款發(fā)放額為原來的1/2，則該夫婦可以獲得的貸款金額如表3所示。

表3 最后生存者狀態(tài)不同年齡組合借款人的貸款金額（房屋初始價格為100萬元）單位：元

在雙生命狀態(tài)下，雖然相同年齡組合的借款夫婦選擇兩種不同發(fā)放方式能獲得的總貸款金額的期初現(xiàn)值是相同的，但若選擇聯(lián)合生存者發(fā)放方式，在夫婦兩人均存活時，每年從貸款機構領取的金額比選擇最后生存者發(fā)放方式獲得的貸款要多，且該差額隨著申請年齡的增加而增加。當年齡組合為（60，55）時，選擇聯(lián)合生存者發(fā)放方式的借款人每年從貸款機構領取的金額比選擇最后生存者發(fā)放方式獲得的貸款要多15.6%，當年齡組合為（65，60）時為21.03%，當年齡組合為（70，65）時為 28.1%%，而當年齡組合為（75，70）時則為37.23%，這主要是因為聯(lián)合生存者發(fā)放方式下，只有當夫婦二人均存活時，貸款機構才繼續(xù)發(fā)放貸款，只要其中一人去世則貸款機構將停止發(fā)放貸款；而在最后生存者發(fā)放方式下，夫婦二人中只要有人存活，貸款機構就會一直發(fā)放貸款，直至最后一人去世，即聯(lián)合生存的貸款發(fā)放期會短于最后生存者的貸款發(fā)放期，每期可獲得的金額自然要多一點；且隨著年齡的增長，貸款發(fā)放的年數(shù)減少，因而兩者的差距會加大。

四、主要影響因素的敏感性分析

從前述住房反向抵押貸款定價模型可以看出，房屋價格、利率等因素會對住房反抵押貸款的經(jīng)營帶來巨大影響。由于我國經(jīng)濟仍處于一個較快發(fā)展的階段，房價和利率等均會受到經(jīng)濟發(fā)展和政府政策的較大影響，具有較大的不確定性。因此，有必要對前面的數(shù)值模擬結果進行了必要的敏感性分析，以檢驗房價和利率的變動對貸款金額的影響。

（一）房價波動的敏感性分析

作為住房反向抵押貸款定價的最主要影響因素之一，房價在貸款期內(nèi)的波動會直接影響房產(chǎn)未來的變現(xiàn)價值，進而會對經(jīng)營反抵押貸款的機構的經(jīng)營結果帶來顯著影響。為了分析未來房價變化對住房反抵押貸款的影響，我們假設房屋的初始價值H（0）為100萬，但未來的增長可能出現(xiàn)多種情形，并計算出不同房價增長率情形下借款人應獲得的貸款金額，具體數(shù)值如表4所示。

表4 不同房價增長率下借款人的貸款金額（房屋初始價格為100萬元）單位：元

從表4可以看出，房價增長率與貸款金額呈同方向變動，房價增長率越高，相應的貸款金額也越高。以單一借款人為例。當借款人年齡為60歲時，當房價增長率由4.5%變?yōu)?.5%時，借款人每年可獲得的貸款額由40542元增加到48210元，增長了18.9%，敏感度系數(shù)為0.85；在同樣條件下，當借款人年齡為65歲時，所獲得的貸款額由55065元增加到63345元，增長了15%，敏感度系數(shù)為0.68。這說明，隨著房價的增長，借款人所獲得的貸款金額隨之增加，但隨著借款人年齡的增大，貸款金額對房價增長率變化的敏感性在逐漸降低。這是因為借款人年齡越大，平均余壽越短，因此房價波動的積累效應相對較小，對貸款額的影響也較小。

再以借款人組合（60，55）為例。在其他參數(shù)不變的情況下，如果房價增長率假設由4.5%變?yōu)?.5%，則雙生命狀態(tài)下的兩種貸款發(fā)放方式每年可獲得貸款金額對房價變化的敏感度系數(shù)均為1.38，大于單生命狀態(tài)下的敏感度系數(shù)，說明雙生命狀態(tài)下可獲得貸款金額對房價的變動更為敏感。這是因為雙生命狀態(tài)下，貸款機構要等到夫婦二人均去世后才將房屋收回，因而貸款期限是借款組合中壽命較長者的剩余壽命，較單生命狀態(tài)的貸款期限長，因而受房價波動的影響會更大。

同樣在雙生命狀態(tài)下，如果我們將（60，55）借款組合和（65，60）借款組合進行比較會發(fā)現(xiàn)，（65，60）借款組合在兩種貸款發(fā)放方式下年可獲得貸款金額對房價變化的敏感度系數(shù)均為1.13，略低于（60，55）借款組合下的敏感度系數(shù)。這說明借款人年齡越大，其平均余壽越短，因而房價波動所帶來的影響也相對較小。

（二）利率波動的敏感性分析

利率假設是影響住房反向抵押貸款定價的另一主要因素。為了分析不同利率假設對住房反向抵押貸款的影響，我們假設房屋的初始價值H（0）為100萬，計算了不同利率假設水平下單、雙生命狀態(tài)下不同的貸款金額，具體數(shù)值如表5所示。

從表5可以看出，利率與貸款金額呈反方向變動，利率越高，所能獲得的貸款金額就越低。具體而言，當借款人年齡為60歲時，當假設利率由7.38%變?yōu)?.38%時，每年可以獲得的貸款金額由40542元變?yōu)?5876元，減少了11.51%，敏感度系數(shù)為-0.85；而同樣的條件下，當借款人年齡變?yōu)?5歲時，每年可獲得的貸款額55065元變?yōu)?0235元，敏感度系數(shù)為-0.65。這說明，隨著借款人年齡的增大，利率對貸款金額的影響是逐漸減小的。

表5 不同貸款利率下借款人的貸款金額（房屋初始價格為100萬元）單位：元

再以60歲的單個借款人和（60，55）的借款組合為例，雙生命狀態(tài)下每年可獲得貸款額對利率的敏感度系數(shù)為-1.24，其絕對值大于單生命狀態(tài)下的敏感度系數(shù)的絕對值，說明相對于單生命狀態(tài)而言，雙生命狀態(tài)下可獲得的貸款金額對利率的變動更加敏感。這是由于雙生命狀態(tài)下的貸款期限是借款組合中壽命較長者的剩余壽命，一般比單生命狀態(tài)下的貸款期限要長一些，因而受利率變動的影響也就更大。

同樣在雙生命狀態(tài)下，以（60，55）的借款組合為例，當假設的利率增加一個百分點即由7.38%增加到8.38%時，在聯(lián)合生存和最后生存者給付方式下，每年可獲貸款額年對利率的敏感度系數(shù)為-1.24；而（65，60）借款組合在兩種給付方式下可獲得貸款額對利率變動的敏感度系數(shù)為-1.04，其絕對值略低于（60，55）借款組合下的敏感度系數(shù)的絕對值。這是因為借款人年齡越大，平均剩余壽命越短，因此利率波動的積累效應相對較小。

從上述敏感性分析結果還可以看出，不管是單生命狀態(tài)還是雙生命狀態(tài)，可獲得的貸款額都對房價的波動表現(xiàn)得更加敏感，這是因為雖然利率波動對未來房產(chǎn)價值的現(xiàn)值和累積貸款總額的現(xiàn)值都有影響，但其中有部分影響會相互抵消；而房價波動只對未來房產(chǎn)價值產(chǎn)生影響，累積效果較大，所以影響程度也較大。

五、結論與展望

本文建立了雙生命狀態(tài)下反抵押貸款的定價模型，同時利用中國房地產(chǎn)市場、死亡率和利率等數(shù)據(jù)，計算了住房反抵押貸款的金額。此外，我們還對影響反抵押貸款金額的主要因素如利率和房價等進行了敏感性分析，所得結果有助于金融保險機構在設計住房反抵押產(chǎn)品時了解各類風險因素的影響并進行有效的風險管理。

我們的數(shù)值測算結果表明，住房反抵押產(chǎn)品的推出可以使老年人在不喪失房屋使用權的同時，讓他們增加一筆可觀的經(jīng)濟收入，顯著改善退休后的生活水平。這種安排在中國人口老齡化日趨嚴重、社會保險提供的養(yǎng)老金水平較低的背景下顯得尤為重要。

對重要影響因素的敏感性分析的結果表明，反抵押貸款的金額對利率和房產(chǎn)價格的變化十分敏感；但隨著借款人申請反抵押貸款時的年齡越大，房價和利率變動對貸款金額的影響越?。欢也还苁菍τ诜績r變動還是利率變動，雙生命狀態(tài)下貸款金額的變動都表現(xiàn)得比單生命狀態(tài)下貸款金額的變動更加敏感。

本文的模型和數(shù)值模擬分析中所采用的死亡率、房價增長率、利率等均為固定數(shù)值，并沒有考慮這些因素的隨機動態(tài)變化，這是未來研究需要進一步拓展的方面。

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