正弦機(jī)構(gòu)在球面展開中的運(yùn)用

龔凌云

（廣州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，廣東廣州 510430）

1 引言

實(shí)現(xiàn)鋼球表面展開也就使鋼球在展開機(jī)構(gòu)的作用下，連續(xù)、高速的運(yùn)動(dòng)，并將其表面各區(qū)完全的送到傳感器下進(jìn)行檢測(cè)，在這一過程中球表面不能有盲區(qū)。鋼球表面展開運(yùn)動(dòng)實(shí)際上是鋼球受兩套獨(dú)立驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的作用，完成一種比較復(fù)雜空間螺旋運(yùn)動(dòng)。本文利用正弦機(jī)構(gòu)原理提出了一種新的球面運(yùn)動(dòng)展開方法。

2 正弦機(jī)構(gòu)原理

正弦機(jī)構(gòu)如圖1所示。在此機(jī)構(gòu)中，從動(dòng)件2與3（實(shí)為鋼球，其球心固定不動(dòng)）只有滾動(dòng)而無(wú)滑動(dòng)，故為同步運(yùn)動(dòng)[1]。從動(dòng)件2與原動(dòng)件1的轉(zhuǎn)角α的正弦成正比，即

圖1 正弦機(jī)構(gòu)

上式中， lAB為桿AB的長(zhǎng)度，α為桿AB的轉(zhuǎn)角，ωα為桿AB的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度， t為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間。對(duì)從動(dòng)件3而言，則有：

上式中，r為球O的半徑，θ為球O的轉(zhuǎn)角。

由（2）式可得：

由此可知，當(dāng)主動(dòng)件1勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，鋼球的轉(zhuǎn)角θ是按正弦規(guī)律變化的，轉(zhuǎn)角θ的最大值θmax取決于桿 AB的長(zhǎng)度lAB與鋼球的半徑r，即

3 球面運(yùn)動(dòng)展開法

正弦機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了球繞Oz的來(lái)回偏轉(zhuǎn)，如果球同時(shí)繞Oy回轉(zhuǎn)，那么就能實(shí)現(xiàn)球體的偏轉(zhuǎn)，即也就實(shí)現(xiàn)球面的運(yùn)動(dòng)展開，即為球面的運(yùn)動(dòng)展開法。

鋼球在展開運(yùn)動(dòng)中，鋼球的球心O在空間的位置保持不變。選取O-xyz為固定坐標(biāo)系，取O-x’y’z’為動(dòng)坐標(biāo)系與球固結(jié)，在初始位置與固定坐標(biāo)系重合。如圖1所示。球繞固定坐標(biāo)系Oy旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，繞Oz旋轉(zhuǎn)，球繞Oy’與繞Oz’的轉(zhuǎn)角分別為ψ和θ。

鋼球在這整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中必須連續(xù)。因此，球?qū)@兩個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)是有規(guī)律地定時(shí)重復(fù)，這樣球面上一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡曲線才能是閉合的[2]。在正弦機(jī)構(gòu)的作用下，θ繞Oz’(Oz)規(guī)律做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，即

角速度大小

角速度矢量方向與OZ’(OZ)軸一致。轉(zhuǎn)角ψ為鋼球繞OY’軸在勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)生的轉(zhuǎn)角，即ψ=ωψt，ωψ為鋼球繞Oy/軸在勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度，角速度矢量方向與Oy/軸一致。

鋼球上點(diǎn)的位置用矢量r表示，設(shè)半徑為R球面上一點(diǎn)P的初始坐標(biāo)為(x0，y0，z0)，經(jīng)時(shí)間t變換后的坐標(biāo)為(x，y，z)。則有

球面上P點(diǎn)的瞬時(shí)速度

而

由以上二式得：

可知運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

而動(dòng)坐標(biāo)系O-XYZ與靜坐標(biāo)系O-X/Y′Z′之間的轉(zhuǎn)換矩陣為

球做自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)變換矩陣為

將（10）式代入（9）式，并引入初始解條件（（x ， y，z|t=0=(x0，y0，z0)，可得P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡方程即

（11）式精確地給出了鋼球在正弦機(jī)構(gòu)(ωα)與勻速運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)(ωψ)綜合作用下，其上的一點(diǎn)P(x0，y0，z0經(jīng)過時(shí)間t后，運(yùn)動(dòng)到球面上另一點(diǎn)（x，y，z）處的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。這一研究為鋼球展開機(jī)構(gòu)的優(yōu)化提供了必要的數(shù)學(xué)工具與理論基礎(chǔ)。

4 結(jié)論與實(shí)例

圖2 不同時(shí)刻P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡

圖3 P點(diǎn)的綜合運(yùn)動(dòng)軌跡圖

本文利用展開輪推動(dòng)鋼球轉(zhuǎn)角呈現(xiàn)正弦規(guī)律變化的趨勢(shì)，得出了鋼球運(yùn)動(dòng)變化的解析式（11）。為實(shí)現(xiàn)鋼球展開機(jī)構(gòu)的優(yōu)化，以此兩種特定的運(yùn)動(dòng)定量地研究鋼球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，建立一套更為準(zhǔn)確、有效、簡(jiǎn)便的數(shù)學(xué)工具是本文研究的重點(diǎn)。

為了驗(yàn)證（11）式的正確同時(shí)利用MATLAB的數(shù)值計(jì)算功能和函數(shù)可視化功能，根據(jù)上面所提供的解析式得出球面上P點(diǎn)在不同時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)軌跡圖如圖2所示。當(dāng)球按照上述運(yùn)動(dòng)規(guī)律連續(xù)運(yùn)動(dòng)，直至完成一次全面展開，球面上P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3所示，可以看出時(shí)間化分得越小，P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡包絡(luò)成的曲線就是一個(gè)球面。

［1］蘇步青，華宣積，忻元龍.實(shí)用微分幾何引論［M］.北京：科學(xué)出版社，1986.

［2］J.B.Marion.質(zhì)點(diǎn)與系統(tǒng)的經(jīng)典動(dòng)力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，1985.