基于線性Drucker-Prager模型的PBX準(zhǔn)靜態(tài)彈塑性變形分析

王鵬飛, 黃西成, 何穎波, 郭 虎

(中國工程物理研究院總體工程研究所, 四川 綿陽 621999)

1 引 言

高聚物粘結(jié)炸藥(PBX)是由單質(zhì)炸藥與高聚物粘結(jié)劑組成的復(fù)合材料[1],其具有能量高、機(jī)械感度低、力學(xué)性能和加工性能良好等特點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于常規(guī)武器戰(zhàn)斗部中[2]。PBX部件是供能部件,在服役過程中可能會承載部分載荷,當(dāng)PBX部件經(jīng)過載荷作用后會產(chǎn)生一系列內(nèi)部裂紋,裂紋的存在會引起結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和剛度下降,并可能最終導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞[3]。對于PBX材料的力學(xué)性能和本構(gòu)關(guān)系,許多學(xué)者進(jìn)行了一系列的實(shí)驗(yàn)與理論研究。

Belmas R[4]、K.ellis等[5]通過準(zhǔn)靜態(tài)單軸拉伸與單軸壓縮實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)了PBX材料的塑性硬化/軟化特征,并顯示了特征中的所具有的拉壓不對稱性,如圖1所示; Wiegand[6]、Asay等[7]等實(shí)驗(yàn)研究表明PBX力學(xué)性能受到靜水壓力的影響,且其破壞強(qiáng)度隨著靜水壓力的增加而增加,如圖2所示; 溫茂萍等[8]經(jīng)過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),等靜壓炸藥件的性能可以認(rèn)為是各向同性的。

羅景潤[1]采用Ramberg-Osgood 模型結(jié)合Johnson-Cook模型來描述PBX在拉伸加載狀態(tài)下的本構(gòu)關(guān)系,引入了應(yīng)變率和溫度的影響,獲得了比較好的結(jié)果,但是該模型在高應(yīng)變率、壓縮等狀態(tài)下并不理想。李俊玲等[9]采用Sargin模型作為PBX的本構(gòu)關(guān)系來研究應(yīng)變率效應(yīng)和溫度效應(yīng)在壓縮加載狀況下的影響,其在壓縮狀態(tài)下能較好描述材料的彈性段與應(yīng)變強(qiáng)化段,但是并不能較好描述應(yīng)變軟化段,也不能描述拉伸狀態(tài)下的力學(xué)行為。以上兩種本構(gòu)模型在各自單一狀態(tài)下描述較好,但是并不能推廣到復(fù)雜加載的狀態(tài),也無法形成PBX三維本構(gòu)模型。陳剛等[10]采用K& C 模型模擬霍普金森壓桿(SPHB)動態(tài)巴西圓盤試驗(yàn),其構(gòu)造了屈服面與破壞面函數(shù),能描述比較復(fù)雜加載狀態(tài)下的力學(xué)行為,但其缺點(diǎn)在于因采用線性插值的方法而無法正確描述屈服面到破壞面之間的過程。吳艷青等[11]在研究PBX細(xì)觀損傷時(shí)引入內(nèi)聚力本構(gòu)模型,內(nèi)聚力模型依賴于PBX組分之間的力學(xué)特性,目前尚未得到廣泛應(yīng)用。郭虎等[12]采用Visco-SCRAM模型對PBX-9501的單軸拉伸、單軸壓縮、應(yīng)變率效應(yīng)和粘性影響等進(jìn)行了研究,該模型能較好地反映PBX在單軸拉伸壓縮下的力學(xué)行為和細(xì)觀物理過程,但是該模型所需參數(shù)很難獲取。

圖1 PBX的拉壓不對稱[10]

Fig.1 Tension-compression asymmetry of PBX

圖2 PBX受靜水壓力的影響[7]

Fig.2 Influence of hydrostatic pressure in PBX

PBX與巖石類準(zhǔn)脆性材料具有材料強(qiáng)度與應(yīng)力狀態(tài)強(qiáng)烈相關(guān)的宏觀特性,也具有相類似的細(xì)觀結(jié)構(gòu),且均為顆粒類復(fù)合材料。相對而言,混凝土的本構(gòu)模型中關(guān)于應(yīng)力狀態(tài)對材料強(qiáng)度的描述相對要充分。在目前PBX本構(gòu)模型研究中,許多學(xué)者采用的Ramberg-Osgood模型、Sargin模型、K& C損傷模型等也是借鑒混凝土現(xiàn)有本構(gòu)模型的。

Gruau等[13]在研究高能炸藥低速沖擊起爆過程中采用了Concrete Damage Plasticity模型來表征PBX的力學(xué)性能,而該模型基于線性Drucker-Prager準(zhǔn)則的,表明該準(zhǔn)則在預(yù)測PBX的力學(xué)行為方向有一定的意義,但是由于目前這領(lǐng)域研究的比較少,故在描述PBX材料的完整力學(xué)行為上尚需要更多的研究。

許多學(xué)者研究了Drucker-Prager準(zhǔn)則在巖石力學(xué)方面的應(yīng)用。余同希等[14]在研究復(fù)合材料環(huán)套混凝土的研究中對經(jīng)典Drucker-Prager模型與線性Drucker-Prager模型的適用性進(jìn)行了分析,線性Drucker-Prager模型可以描述多種狀態(tài)下的力學(xué)行為; 袁小平等[15]基于Drucker-Prager準(zhǔn)則分析了巖土的硬化/軟化特性,提出了巖石的彈塑性損傷本構(gòu)模型; 張艷山等[16]、劉金龍等[17]對Drucker-Prager系列準(zhǔn)則的參數(shù)特性進(jìn)行了討論分析。與傳統(tǒng)強(qiáng)度理論相比,Drucker-Prager系列準(zhǔn)則既考慮了材料受靜水壓力影響的特性,也考慮了材料拉壓不同狀態(tài)下力學(xué)性能不同的特性。

本研究基于PBX材料的力學(xué)性能及其材料特性與上述學(xué)者的研究結(jié)果,采用線性Drucker-Prager模型對準(zhǔn)靜態(tài)承載下的PBX進(jìn)行彈塑性分析以建立PBX的彈塑性本構(gòu)模型。

2 線性Drucker-Prager模型

線性Drucker-Prager模型是指描述試樣加載過程中,描述應(yīng)變強(qiáng)化及軟化段的模型。其完整模型由屈服面函數(shù)、流動勢函數(shù)、破壞面函數(shù)等構(gòu)成。其中,線性Drucker-Prager模型的屈服面函數(shù)與破壞面函數(shù)都是由線性Drucker-Prager準(zhǔn)則函數(shù)構(gòu)成的。

2.1 屈服面函數(shù)

線性Drucker-Prager準(zhǔn)則由三個(gè)應(yīng)力不變量表示,屈服面函數(shù)的表達(dá)式為[18]:

(1)

屈服面函數(shù)可用第一主應(yīng)力不變量I1、第二偏應(yīng)力不變量J2、第三偏應(yīng)力不變量J3表示為

(2)

則可知:

(3)

(4)

2.2 流動勢函數(shù)

G為塑性流動勢,在線性模型中,其表達(dá)式為[18]

G=t-ptanφ

(5)

式中,φ為p-t平面上的剪脹角,(°);φ=0°時(shí)表示塑性變形材料的體積不發(fā)生變化;φ>0°,材料發(fā)生剪脹效應(yīng)。式(5)與式(1)的不同之處在于: 式(1)中β為摩擦角,式(5)中φ為剪脹角。

根據(jù)PBX材料承載實(shí)驗(yàn)中的體積膨脹效應(yīng)的大小,確定了采用非相關(guān)聯(lián)流動法則(若采用相關(guān)聯(lián)流動法則會高估PBX材料的體積膨脹)。

流動勢函數(shù)可用第一主應(yīng)力不變量I1、第二偏應(yīng)力不變量J2、第三偏應(yīng)力不變量J3表示為:

(6)

則可知:

(7)

式中,C0、C1、C2為分量系數(shù),其值為:

(8)

3 彈塑性變形分析

PBX在承載狀態(tài)下,總是先經(jīng)歷線彈性加載階段,達(dá)到初始屈服點(diǎn)后,進(jìn)入塑性流動加載段。根據(jù)溫茂萍等[8]的研究結(jié)果,認(rèn)為PBX是各向同性的。

3.1 線彈性變形過程分析

線彈性變形基于廣義胡克定律,其本構(gòu)為[19]:

σij=Cijklεkl

(9)

式中,σij為二階張量表示的應(yīng)力分量,εkl為二階張量表示的應(yīng)變分量,Cijkl為四階張量表示的彈性矩陣。

(10)

3.2 塑性變形過程分析

PBX加載過程中由線彈性段到達(dá)初始屈服點(diǎn),此時(shí)滿足屈服準(zhǔn)則,之后進(jìn)入塑性流動段,之后一直處于屈服狀態(tài)。

根據(jù)塑性理論,總的應(yīng)變增量[19]:

(11)

相應(yīng)的應(yīng)力增量[19]:

(12)

塑性流動法則[19]:

(13)

根據(jù)流動法則,可求得塑性流動段的泊松比為:

(14)

假設(shè)等效塑性應(yīng)變:

(15)

式中,C為等效塑性應(yīng)變系數(shù),下同。聯(lián)立(7)、(13)、(15)可得:

(16)

根據(jù)一致性條件: dF=0,聯(lián)立(11)可知:

(17)

將(12)、(13)代入(17),聯(lián)立(10)可得:

(18)

式中:

(19)

根據(jù)塑性流動法則,聯(lián)立(13)、(18)可得:

(20)

聯(lián)立(12)、(20),可得應(yīng)力增量:

(21)

式中,

(22)

可得:

(23)

對于給定的位移加載,轉(zhuǎn)換成應(yīng)變增量,根據(jù)(10)、(23)即可計(jì)算出PBX的彈塑性本構(gòu)關(guān)系:

(24)

4 算例分析

4.1 單軸壓縮算例

采用笛卡爾坐標(biāo)系對PBX單元體受單軸位移加載作用的彈塑性變形進(jìn)行分析。

單軸壓縮狀態(tài)下,可知: σ11=σ22=0>σ33=σcy,其他應(yīng)力分量也為零。σcy為屈服后的壓應(yīng)力,MPa。

可求得:

(25)

(26)

將單軸壓縮狀態(tài)的應(yīng)力關(guān)系代入(4)、(8)等可得:

(27)

由v=0.4可知在單軸壓縮狀態(tài)下:

dε11=dε22=-0.4dε33

(28)

其加載過程中,本構(gòu)關(guān)系如下

彈性加載段:

dσ33=C3311dε11+C3322dε22+C3333dε33

=2.8Gdε33=Edε33

(29)

塑性加載段:

(30)

將數(shù)據(jù)代入(14)方程,可得:

(31)

將數(shù)據(jù)代入(19)式,可得

(32)

將數(shù)據(jù)代入(23)式,可得

(33)

同理可得:

(34)

聯(lián)立(30)、(31)、(32)、(33)、(34),可計(jì)算得:

(35)

即

(36)

聯(lián)立(36),可得:

(37)

(38)

至此,可知式(37)與(38)是一致的,故單軸壓縮下,PBX塑性階段本構(gòu)關(guān)系即為(37),取決于單軸壓縮塑性硬化/軟化參數(shù)Hp。

4.2 雙軸壓縮算例

分析方法與單軸壓縮狀態(tài)類似,采用的數(shù)據(jù)也源于文獻(xiàn)[13]。

對于雙軸壓縮,則其受力情況:σ11=0>σ22=σ33=σcy,其他應(yīng)力分量為零。

(39)

C,φ的值,由硬化形式?jīng)Q定,屈服函數(shù)采用單軸壓縮硬化數(shù)據(jù),故其與單軸壓縮狀態(tài)下一致,即:C=0.8117,φ=0.9942

(40)

由v=0.4,可知雙軸壓縮狀態(tài)下: dε11=-1.3333dε22=-1.3333dε33

故彈性加載段:

dσ33b=C3311dε11b+C3322dε22b+C3333dε33b

=(-1.3333C3311+C3322+C3333)dε33b=4.6667dε33b

(41)

將數(shù)據(jù)代入(19)式,可得:h=3.0296G+0.8736Hp,

將數(shù)據(jù)代入(23)式,可得

(42)

同理可得:

(43)

雙軸壓縮狀態(tài)下的塑性泊松比為:

(44)

故可知塑性加載段的特征:

(45)

由(45)可得:

(46)

(47)

式(47)即為雙軸壓縮狀態(tài)下的塑性本構(gòu)。

(48)

聯(lián)立(47)、(48),可得:

(49)

故理論上可得,雙軸壓縮與單軸壓縮的極限強(qiáng)度之比為:

(50)

5 數(shù)值模擬

采用Abaqus中線性Drucker-Prager模型來表征材料特性,材料參數(shù)為文獻(xiàn)[13]中的PBX參數(shù):E=4 GPa,K=1,v=0.4,β=20°,φ=1°,其硬化特性數(shù)據(jù)來源于單軸壓縮下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),如表1所示。因重點(diǎn)研究材料的本構(gòu)關(guān)系,故分析時(shí)只取一個(gè)單元進(jìn)行數(shù)值模擬分析,單元類型為八節(jié)點(diǎn)等參縮減積分單元C3D8R,單元尺寸為0.2 mm×0.2 mm×0.2 mm,如圖3所示。

表1 單軸壓縮下的PBX塑性硬化數(shù)據(jù)[10]

Table 1 Plastic hardening data of PBX in uniaxial compression

equivalentplasticStrainmisesstress/MPaequivalentplasticstrainmisesstress/MPaequivalentplasticstrainmisesstress/MPaequivalentplasticstrainmisesstress/MPa050．004623．03570．013434．10710．048619．46430．00048．392860．005826．07140．014233．92860．051618．03570．0006100．006426．78570．017633．92860．054216．60710．000811．42860．007228．03570．020633．92860．059213．92860．00112．32140．007628．92860．023432．67860．061612．67860．001414．10710．008229．46430．027630．35710．065011．07140．001815．53570．009230．71430．030628．7500．06888．928570．002417．32140．009631．25000．033427．32140．07187．500000．00319．10710．010431．96430．037825．17860．0766．428570．003620．71430．011232．50000．041223．21430．07965．714290．004221．78570．012433．39290．043821．78570．08225．17857

圖3 有限元單元及其節(jié)點(diǎn)符號

Fig.3 Element and node symbols of FEM

5.1 單軸壓縮數(shù)值模擬

邊界條件: 面1562、面3784、面1573和面2684不受約束,面1342固定以控制剛體位移,面5786受到與該面法向方向相同的壓縮強(qiáng)制位移,位移量為0.02 mm。加載控制方式為位移線性加載。

分析數(shù)值模擬的結(jié)果,為了便于與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相對應(yīng),選取壓縮狀態(tài)下等效應(yīng)力與等效塑性應(yīng)變曲線進(jìn)行比較,如圖4所示。由圖4可以看出,數(shù)值模擬的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合得非常好,驗(yàn)證了基于線性Drucker-Prager模型的數(shù)值模擬結(jié)果取決于塑性硬化數(shù)據(jù)的特征,這結(jié)論與理論上的彈塑性變形分析結(jié)果(38)式結(jié)論一致; 同時(shí),可以看出,該P(yáng)BX在加載過程中先后經(jīng)歷了塑性硬化與塑性軟化過程才完全破壞,其極限強(qiáng)度為34.04 MPa,此時(shí)對應(yīng)塑性應(yīng)變?yōu)?.38%,此時(shí)的總應(yīng)變?yōu)?.23%,這與大多數(shù)PBX材料在常溫下的準(zhǔn)靜態(tài)單軸壓縮實(shí)驗(yàn)結(jié)果相似; 同時(shí)可以分析出: 在極限強(qiáng)度處,即開始出現(xiàn)破壞現(xiàn)象時(shí),其應(yīng)力變化不如應(yīng)變變化敏感,即應(yīng)力變化一點(diǎn)點(diǎn),可以有明顯的塑性應(yīng)變變化,相反,塑性應(yīng)變變化一點(diǎn),應(yīng)力幾乎不變化,這對以后研究PBX材料的破壞準(zhǔn)則具有非常重要的意義。

圖4 應(yīng)力與塑性應(yīng)變關(guān)系線性的Drucker-Prager模型模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比

Fig.4 Comparison of liner Drucker-Prager model numerical and experimental results

5.2 雙軸壓縮數(shù)值模擬

邊界條件: 面1573和面2684不受約束,面1342面3784固定以控制剛體位移,面5786、面1562受到與其法向方向相同的壓縮強(qiáng)制位移,位移量為0.02 mm。加載控制方式為位移線性加載。

為了便于比較,提取模擬結(jié)果中Y方向的應(yīng)力與塑性應(yīng)變,取正,并與單軸壓縮狀態(tài)的模擬結(jié)果對照,如圖5所示?？梢钥闯?雙軸壓縮下PBX材料的極限強(qiáng)度比單軸壓縮下高,但是所能承受的應(yīng)變反而小。具體分析,提取模擬結(jié)果數(shù)據(jù)可得出,雙軸壓縮下的極限強(qiáng)度為39.45 MPa,此時(shí)對應(yīng)塑性應(yīng)變?yōu)?.69%,雙軸壓縮下的極限強(qiáng)度與單軸壓縮之比為1.16,相對應(yīng)的塑性應(yīng)變之比為0.5,這與式(48)、(50)理論分析結(jié)果一致。這驗(yàn)證了基于線性Drucker-Prager模型的彈塑性分析原理與Abaqus中線性Drucker-Prager模型是一致的。這表明線性Drucker-Prager模型能夠描述雙軸壓縮比單軸壓縮極限強(qiáng)度略高的現(xiàn)象。由于材料配方的特殊性及實(shí)驗(yàn)條件的局限性,尚缺乏該P(yáng)BX雙軸壓縮的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

圖5 雙軸壓縮與單軸壓縮數(shù)值模擬結(jié)果比較

Fig.5 Comparison of numerical simulation results for biaxial and uniaxial compression

6 結(jié) 論

(1)根據(jù)PBX材料的力學(xué)行為及其影響因素,基于線性Drucker-Prager模型,考慮了PBX材料承載過程中存在的剪脹效應(yīng),采用非相關(guān)流動勢,分析了彈性與塑性準(zhǔn)靜態(tài)加載中的變形過程,推導(dǎo)出了PBX材料彈塑性本構(gòu)模型,并給出了塑性泊松比及等效應(yīng)變系數(shù)的求解方法。本構(gòu)模型中許多參數(shù)與溫度、應(yīng)變率相關(guān),為進(jìn)一步研究溫度、應(yīng)變率等對PBX材料變形的影響提供了選擇。

(2)以單軸壓縮、雙軸壓縮狀況為算例,根據(jù)文獻(xiàn)[13]中的參數(shù)及塑性硬化數(shù)據(jù),進(jìn)行了理論分析與數(shù)值模擬。理論分析結(jié)果顯示,在參數(shù)確定下,單軸壓縮下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系取決于塑性硬化數(shù)據(jù) ,數(shù)值模擬結(jié)果上應(yīng)力應(yīng)變曲線與塑性硬化數(shù)據(jù)吻合的非常好,這證明了線性Drucker-Prager模型在PBX材料變形研究中的適用性。根據(jù)雙軸壓縮模擬結(jié)果與單軸壓縮模擬結(jié)果的比較,驗(yàn)證了彈塑性理論分析與數(shù)值模擬結(jié)果是一致的。線性Drucker-Prager模型對PBX材料的適用,則為進(jìn)一步研究PBX材料在拉壓共存等復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的力學(xué)行為提高了選擇。

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