具有初始動(dòng)量的空間機(jī)械臂零反作用軌跡跟蹤

廖志祥師鵬趙育善鄭翰清

(1北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院,北京100191)

(2上海航天控制技術(shù)研究所,上海200233)

具有初始動(dòng)量的空間機(jī)械臂零反作用軌跡跟蹤

廖志祥1師鵬1趙育善1鄭翰清2

(1北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院,北京100191)

(2上海航天控制技術(shù)研究所,上海200233)

對(duì)具有初始動(dòng)量的自由漂浮空間機(jī)械臂系統(tǒng)進(jìn)行了研究,考慮其執(zhí)行在軌任務(wù)時(shí)便已經(jīng)具有的動(dòng)量,根據(jù)系統(tǒng)的構(gòu)型參數(shù)建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,再采用拉格朗日第二類(lèi)方程建立動(dòng)力學(xué)模型。利用空間機(jī)械臂系統(tǒng)具有冗余自由度這一特性,推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程,得到了零反作用運(yùn)動(dòng)方程,消除了基座和機(jī)械臂之間的角速度耦合作用。末端運(yùn)動(dòng)軌跡用多項(xiàng)式插值函數(shù)來(lái)逼近,根據(jù)給定的機(jī)械臂末端初始和終止?fàn)顟B(tài)來(lái)規(guī)劃其運(yùn)動(dòng)軌跡,并將機(jī)械臂末端的工作空間轉(zhuǎn)換到關(guān)節(jié)空間中。根據(jù)已知的動(dòng)力學(xué)模型,設(shè)計(jì)合適的比例-微分(PD)控制率。仿真結(jié)果表明,通過(guò)選擇合適的增益反饋矩陣,機(jī)械臂末端能平穩(wěn)地跟蹤目標(biāo)軌跡,同時(shí),機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)不會(huì)對(duì)基座的姿態(tài)產(chǎn)生擾動(dòng),保證了基座姿態(tài)的穩(wěn)定性及航天器的正常運(yùn)行。

空間機(jī)械臂;軌跡跟蹤;零反運(yùn)動(dòng);比例-微分控制;多項(xiàng)式插值;航天器

1 引言

空間機(jī)械臂系統(tǒng)由大型航天器基座、若干機(jī)械臂桿件和末端抓手三大部分組成[1],在對(duì)空間站進(jìn)行維護(hù)和抓捕目標(biāo)等任務(wù)中具有無(wú)可比擬的優(yōu)越性。因此,利用空間機(jī)械臂系統(tǒng)代替航天員來(lái)完成外太空的各種任務(wù)在經(jīng)濟(jì)和安全兩方面都具有重要意義,并且這將會(huì)成為未來(lái)發(fā)展的必然趨勢(shì)[2]。

一般而言,當(dāng)空間機(jī)械臂系統(tǒng)執(zhí)行在軌服務(wù)時(shí),為節(jié)省燃料,不對(duì)基座施加控制;但是,由于外太空的特殊環(huán)境,機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)會(huì)對(duì)基座產(chǎn)生反作用力和力矩,從而改變基座的位置和姿態(tài),所以需要合理規(guī)劃?rùn)C(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)軌跡,保證機(jī)械臂沿此軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)可以實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂與基座的協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)[3]。另外,基座的姿態(tài)對(duì)于電源、通信等分系統(tǒng)有著至關(guān)重要的作用,國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者對(duì)于如何保證基座的姿態(tài)穩(wěn)定進(jìn)行了大量研究。文獻(xiàn)[4]研究了機(jī)械臂末端受到碰撞后,基座和機(jī)械臂的協(xié)調(diào)控制;文獻(xiàn)[5]提出了利用循環(huán)運(yùn)動(dòng)來(lái)調(diào)整基座姿態(tài)的方法,利用機(jī)械臂和基座的耦合關(guān)系,機(jī)械臂沿著特定軌跡循環(huán)運(yùn)動(dòng),從而慢慢地調(diào)整基座姿態(tài);文獻(xiàn)[6]提出了反作用零空間概念,用于處理自由漂浮空間機(jī)械臂系統(tǒng)的基座和機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)耦合問(wèn)題。

然而,在這些研究中,機(jī)械臂系統(tǒng)在初始時(shí)刻都被假定為靜止?fàn)顟B(tài),這在實(shí)際情況中基本上是不可能出現(xiàn)的。當(dāng)空間機(jī)械臂系統(tǒng)被送至目標(biāo)軌道并開(kāi)始正常運(yùn)行時(shí),整個(gè)系統(tǒng)便已經(jīng)具有了一定量的線(xiàn)速度和角速度。在空間機(jī)械臂執(zhí)行在軌任務(wù)之前,不可能也完全沒(méi)有必要將其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變?yōu)殪o止。因此,實(shí)際情況就是空間機(jī)械臂系統(tǒng)的線(xiàn)動(dòng)量和角動(dòng)量始終都不為零,這也是本文研究的重點(diǎn)和難點(diǎn)。有了初始動(dòng)量,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中末端執(zhí)行器的速度便不能僅用機(jī)械臂轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度表示出來(lái),基座的廣義速度也不能僅用機(jī)械臂轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度表示,還需要考慮初始動(dòng)量的影響。

2 空間機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)建模

空間機(jī)械臂系統(tǒng)如圖1所示,其中包含n個(gè)關(guān)節(jié)和n+1個(gè)剛體,為方便描述,將基座編號(hào)為0,機(jī)械臂連桿依次編號(hào)為1至n,末端用e表示,各向量和矩陣均在慣性坐標(biāo)系中表示。對(duì)本文所涉及的變量和符號(hào)說(shuō)明如下:CM為空間機(jī)械臂系統(tǒng)的質(zhì)心,ri為機(jī)械臂第i根連桿質(zhì)心的位置矢量, r0為基座質(zhì)心的位置矢量,re為機(jī)械臂末端的位置矢量,pi為關(guān)節(jié)i的位置矢量,rg為空間機(jī)械臂系統(tǒng)質(zhì)心的位置矢量,vi為機(jī)械臂第i根連桿質(zhì)心的速度,v0為基座質(zhì)心的速度,ωi為機(jī)械臂第i根連桿的角速度,ω0為基座的角速度,ki為第i根連桿旋轉(zhuǎn)軸方向的單位矢量,M為系統(tǒng)的總質(zhì)量,θ=[θ1, θ2,…,θn]T為機(jī)械臂各關(guān)節(jié)角變量,mi為機(jī)械臂第i根連桿的質(zhì)量,I0為基座相對(duì)于其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,Ii為第i根連桿相對(duì)于其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,定義矩陣~r為向量r的叉乘斜對(duì)稱(chēng)矩陣[7]。

圖1 空間機(jī)械臂系統(tǒng)Fig.1 Space manipulator system

由圖1中機(jī)械臂的構(gòu)型可以很容易得到機(jī)械臂末端執(zhí)行器的廣義速度表達(dá)式:

式中 Jb是與基座相關(guān)聯(lián)的雅可比矩陣;Jm是與機(jī)械臂相關(guān)聯(lián)的雅可比矩陣,且E表示三階單位陣,其具體表達(dá)式為

系統(tǒng)的線(xiàn)動(dòng)量P為

角動(dòng)量L為

對(duì)于處于自由漂浮模式的空間機(jī)械臂系統(tǒng),可以認(rèn)定其動(dòng)量在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持不變,若初始線(xiàn)動(dòng)量和角動(dòng)量分別為P0和L0,其動(dòng)量守恒方程為

本文采用拉格朗日方程對(duì)空間機(jī)械臂系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模。首先令˙xb=v0ω[ ]0T,求得系統(tǒng)的動(dòng)能(由于空間機(jī)械臂系統(tǒng)處于自由漂浮狀態(tài),可忽略系統(tǒng)所受萬(wàn)有引力,因此勢(shì)能為零),將系統(tǒng)的動(dòng)能代入到拉格朗日方程中,得到

式中 Hb為基座的慣量矩陣;Hbm為基座與機(jī)械臂的耦合慣量矩陣;Hm為機(jī)械臂的慣量矩陣; cb、cm為非線(xiàn)性項(xiàng);N0為基座受到的外力F0和外力矩T0,且有N0=[F0T0]T;τm為機(jī)械臂關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩;Ne為機(jī)械臂末端受到的外力Fe和外力矩Te,且有Ne=[FeTe]T。

3 具有非零初始動(dòng)量的空間機(jī)械臂零反作用運(yùn)動(dòng)

在對(duì)空間機(jī)械臂系統(tǒng)零反作用運(yùn)動(dòng)研究中,一般都設(shè)定系統(tǒng)的初始動(dòng)量為零,當(dāng)機(jī)械臂執(zhí)行任務(wù)時(shí),只需要保持基座的角速度始終為零即可,既簡(jiǎn)化了理論推導(dǎo)過(guò)程,也使得控制變得更加容易[8]。然而,這樣的設(shè)定與實(shí)際情況是不相符的,本文提出一種更加接近于實(shí)際情況的設(shè)定,即空間機(jī)械臂系統(tǒng)在執(zhí)行在軌任務(wù)之前,便已經(jīng)具有了非零的初始動(dòng)量,因此,為保持基座的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)不受機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)的影響,在機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,就要保證基座的角速度始終不變且為初始狀態(tài)。本文定義的零反作用運(yùn)動(dòng)指的是使基座姿態(tài)運(yùn)動(dòng)始終不受影響的機(jī)械臂運(yùn)動(dòng),在末端執(zhí)行器接近目標(biāo)軌跡的過(guò)程中,以及抓捕目標(biāo)完成后系統(tǒng)的穩(wěn)定等方面,零反運(yùn)動(dòng)都有著重大作用[9]。

由式(4)中的線(xiàn)動(dòng)量守恒方程可以解出:

將v0的表達(dá)式帶入到式(4)的角動(dòng)量守恒方程中:

化簡(jiǎn)為

其中

可以證明,矩陣Hs是非奇異的,因而解得基座角速度的表達(dá)式為

進(jìn)一步求得基座質(zhì)心的線(xiàn)速度為

其中

那么機(jī)械臂末端執(zhí)行器的速度

其中

從式(11)與Ps、Jg_v的表達(dá)式中可以清楚看到,當(dāng)初始動(dòng)量不為零時(shí),末端執(zhí)行器的速度不僅與關(guān)節(jié)角運(yùn)動(dòng)相關(guān),還與初始動(dòng)量和雅可比矩陣相關(guān)。

為保證機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)不對(duì)基座姿態(tài)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生擾動(dòng),即基座的角速度始終保持初始值不變,機(jī)械臂轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度應(yīng)滿(mǎn)足

式中 ω0(t0)為基座的初始角速度。因此,空間機(jī)械臂系統(tǒng)的零反作用軌跡跟蹤方程為

當(dāng)機(jī)械臂轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度滿(mǎn)足式(13)時(shí),機(jī)械臂末端執(zhí)行器既能跟蹤任務(wù)空間中的期望軌跡,同時(shí),機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)不會(huì)對(duì)基座姿態(tài)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生任何擾動(dòng),使基座始終保持期望的姿態(tài)角速度。

4 基于逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的軌跡規(guī)劃

空間機(jī)械臂系統(tǒng)所處環(huán)境的特殊性決定了其運(yùn)動(dòng)的特殊性,可以證明其動(dòng)量矩守恒方程不可積分?；谶@一特點(diǎn),推導(dǎo)出其運(yùn)動(dòng)受非完整約束,這樣軌跡規(guī)劃問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為:根據(jù)已知的初始和終止?fàn)顟B(tài),確定一條使系統(tǒng)從初始狀態(tài)運(yùn)動(dòng)到終止?fàn)顟B(tài)的軌跡[10-11]。由式(13)可知機(jī)械臂末端執(zhí)行器工作空間中的軌跡與構(gòu)型空間中的軌跡之間的關(guān)系,因此,只需要獲得末端位置的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,并以此為約束條件,就能將末端工作空間運(yùn)動(dòng)規(guī)律轉(zhuǎn)化為構(gòu)型空間的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

本文所研究的重點(diǎn)在于機(jī)械臂末端執(zhí)行器的位置,對(duì)其姿態(tài)不加要求。機(jī)械臂末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是時(shí)間的函數(shù),因此,可以采用多項(xiàng)式插值的方法來(lái)逼近末端位置的狀態(tài)?？紤]到速度和加速度的要求,并讓運(yùn)動(dòng)軌跡盡量平滑,不至于出現(xiàn)速度級(jí)的突變,將機(jī)械臂末端執(zhí)行器的位置狀態(tài)函數(shù)設(shè)為

5 已知模型的比例-微分(PD)控制器設(shè)計(jì)

為了節(jié)省燃料,在非必要的情況下,空間機(jī)械臂系統(tǒng)不會(huì)對(duì)基座位置進(jìn)行主動(dòng)控制,在抓捕目標(biāo)物體之前,機(jī)械臂末端執(zhí)行器也沒(méi)有受到外力作用,所以N0=Ne=0[12]。則系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可寫(xiě)成如下欠驅(qū)動(dòng)形式

消去方程中¨xb變量,并將方程變形得到

在得到新的動(dòng)力學(xué)方程之后,本文采用基于已知模型的PD控制方法

其中u為控制輸入,對(duì)于指定的期望u,可令

式中 KP為關(guān)節(jié)角的增益反饋矩陣;KD為關(guān)節(jié)角速度的增益反饋矩陣;r(t)為參考輸入,因此有

式中 θD為機(jī)械臂關(guān)節(jié)角的期望值,設(shè)跟蹤誤差為e=θD-θ且滿(mǎn)足

由式(18)和式(19)推導(dǎo)得出控制輸入量為

綜上各式可以得到基于已知模型的PD控制方案,選擇了合適的增益反饋矩陣KP和KD,機(jī)械臂末端抓手就能跟蹤期望的運(yùn)動(dòng)軌跡。

6 仿真分析

為驗(yàn)證可行性,本文以平面三連桿自由漂浮機(jī)械臂為模型,基座以及機(jī)械臂的物理參數(shù)如表1所示。

表1 空間機(jī)械臂系統(tǒng)慣性參數(shù)Tab.1 Inertial parameters of space manipulator system

初始時(shí)刻基座質(zhì)心位置為R0=[0 0]T,姿態(tài)角為零,只有橫向速度vx和垂直于運(yùn)動(dòng)平面的角速度ωz,且vx=0.01 m/s,ωz=0.005 rad/s,各機(jī)械臂的初始關(guān)節(jié)角為θ0=[π/3 -2π/3 π/3]T,機(jī)械臂相對(duì)于基座為靜止?fàn)顟B(tài),即˙θ=0,機(jī)械臂末端執(zhí)行器初始位置為re(t0)=[2.5 0]T。在仿真中,末端執(zhí)行器跟蹤的軌跡為圓,其軌跡方程為

假設(shè)經(jīng)過(guò)2.8 s,末端執(zhí)行器開(kāi)始與期望軌跡重合。選取合適的增益反饋矩陣,保證控制的精度和誤差達(dá)到要求,仿真時(shí)間為10 s,采樣周期為1 ms。

圖2為三個(gè)關(guān)節(jié)的實(shí)際角速度與期望角速度的對(duì)比,可以看出每個(gè)關(guān)節(jié)的實(shí)際角速度與期望角速度都非常接近,并且整個(gè)運(yùn)動(dòng)非常平滑自然,沒(méi)有出現(xiàn)劇烈震蕩的現(xiàn)象,角速度大小也始終保持在可達(dá)空間內(nèi),沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)大的角速度致使機(jī)械臂轉(zhuǎn)動(dòng)太過(guò)劇烈,最終無(wú)法維持系統(tǒng)穩(wěn)定的現(xiàn)象。

圖3為基座的角速度變化曲線(xiàn),在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,基座的角速度始終維持在初始值附近,且波動(dòng)幅度極小,即沒(méi)有對(duì)基座姿態(tài)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生擾動(dòng)。圖4為機(jī)械臂末端的實(shí)際軌跡與期望軌跡的對(duì)比,機(jī)械臂末端執(zhí)行器首先穿過(guò)目標(biāo)所在的圓軌跡,此時(shí)并沒(méi)有追蹤上目標(biāo)軌跡;在圓軌跡的左上方時(shí),滿(mǎn)足位移、速度和加速度一致的條件,這時(shí),末端執(zhí)行器就追蹤上了目標(biāo)軌跡。可以看出整個(gè)運(yùn)動(dòng)軌跡非常平滑,末端執(zhí)行器在到達(dá)目標(biāo)軌跡處后跟蹤目標(biāo)軌跡做圓周運(yùn)動(dòng),從之前的多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)過(guò)渡到圓周運(yùn)動(dòng)非常自然,而且,實(shí)際軌跡與期望軌跡的偏差很小,隨時(shí)間增長(zhǎng)逐漸趨近于期望軌跡。圖5為基座質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡,初始時(shí)刻基座只有x軸正向的速度,由于機(jī)械臂和基座之間的耦合作用,在機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,致使基座產(chǎn)生了y軸方向上的速度,因此,基座質(zhì)心產(chǎn)生了微小的y軸方向上的位移,并且其運(yùn)動(dòng)軌跡呈現(xiàn)一定的周期規(guī)律,這與末端執(zhí)行器跟蹤目標(biāo)軌跡進(jìn)行圓周運(yùn)動(dòng)的周期性一致。

圖2 關(guān)節(jié)一、二、三的實(shí)際與期望角速度Fig.2 Actual and desired angular velocity of joint 1,2,and 3

圖3 基座角速度變化曲線(xiàn)Fig.3 Angular velocity of the base

圖4 機(jī)械臂末端運(yùn)動(dòng)的期望軌跡與實(shí)際軌跡Fig.4 Desired and actual paths of manipulator′s end-effector

圖5 基座質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.5 Trajectory of the base′s centroid

此外,在整個(gè)理論推導(dǎo)過(guò)程中,對(duì)系統(tǒng)的模型沒(méi)有特殊要求,并沒(méi)有局限于二維空間中。在實(shí)際的編程仿真過(guò)程中,為精簡(jiǎn)計(jì)算,令所有剛體只有z軸方向上的角速度,并且其線(xiàn)速度在z軸方向上為零,即在二維平面內(nèi)求解,但所有的物理量,包括速度、角速度、動(dòng)量及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等參數(shù)都是在三維空間中表示的,因此本算例同樣適用于三維空間的情況。

7 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)具有初始動(dòng)量的自由漂浮空間機(jī)械臂系統(tǒng),本文提出的零反作用軌跡跟蹤算法既能使機(jī)械臂末端執(zhí)行器平穩(wěn)跟蹤目標(biāo)軌跡,又能保證基座的姿態(tài)穩(wěn)定性;并且,通過(guò)簡(jiǎn)單實(shí)用的PD控制就能實(shí)現(xiàn)其功能,為航天器的在軌任務(wù)節(jié)省了寶貴的燃料資源。在考慮了初始的動(dòng)量之后,更加符合實(shí)際情況,這對(duì)航天的在軌維修服務(wù)、抓捕失效衛(wèi)星等任務(wù)具有現(xiàn)實(shí)意義。由于軌跡規(guī)劃包含了逆運(yùn)動(dòng)學(xué)過(guò)程,導(dǎo)致在計(jì)算過(guò)程中可能會(huì)有奇異的情況發(fā)生,因此,下一步的研究重點(diǎn),就是在規(guī)劃?rùn)C(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)時(shí)如何避免奇異。

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Zero Reaction Motion Trajectory Tracking for Space Manipulator with Non-zero Initial Momentum

LIAO Zhixiang1SHI Peng1ZHAO Yushan1Zheng Hanqing2
(1 School of Astronautics,Beihang University,Beijing 100191)
(2 Shanghai Aerospace Control Technology Institute,Shanghai 200233)

The free-floating manipulator system with non-zero initial momentum was studied. The configuration parameters of the manipulator system and the Lagrange equations were used to build the dynamic model.In order to eliminate the coupling effects between the base and the manipulators in angular velocity,the zero reaction motion equation was derived by using the manipulator system redundancy.A polynomial interpolation method was used to approach the trajectory of end-effector and the trajectory was planned due to the initial and final position of end-effector which could turn workspace of end-effector into joints space.A suitable proportiondifferentiation(PD)control algorithm was designed to drive manipulators movement.Simulation results demonstrate that the end-effector can smoothly track the target and the movement of the manipulator doesn′t make any disturbance to the base′s attitude at the same time and the spacecraft also can work normally because of the stability of base.

Space manipulator;Trajectory tracking;Zero reaction motion;PD control; Polynomial interpolation;Spacecraft

10.3780/j.issn.1000-758X.2015.05.003

(編輯:車(chē)曉玲)

國(guó)家自然科學(xué)基金(11102007),國(guó)家基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)(YWF-14-YHXY-012)資助項(xiàng)目

2015-04-28。收修改稿日期:2015-07-14

廖志祥 1991年生,2015年獲北京航空航天大學(xué)飛行器設(shè)計(jì)與工程專(zhuān)業(yè)碩士學(xué)位,現(xiàn)為北京航空航天大學(xué)飛行器設(shè)計(jì)與工程專(zhuān)業(yè)碩士研究生。研究方向?yàn)榭臻g機(jī)械臂系統(tǒng)的軌跡規(guī)劃與動(dòng)力學(xué)控制。