基于諧波平衡法的微振動被動控制動力學(xué)研究

朱恩涌 魏傳鋒

(中國空間技術(shù)研究院載人航天總體部,北京100094)

基于諧波平衡法的微振動被動控制動力學(xué)研究

朱恩涌 魏傳鋒

(中國空間技術(shù)研究院載人航天總體部,北京100094)

為了探究航天器被動隔振系統(tǒng)參數(shù)對隔振效果的影響,用變形的三次多項式函數(shù)描述粘彈性隔振器的非線性剛度,用分數(shù)導(dǎo)數(shù)階算子表征隔振器的阻尼特性,建立了微重力狀態(tài)下被動隔振系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型,用諧波平衡法對動力學(xué)微分方程進行求解,計算隔振系統(tǒng)的振動傳遞率,然后探討了隔振器以及隔振對象的剛度、阻尼、質(zhì)量對隔振效果的影響。研究結(jié)果表明,隔振器非線性阻尼項對系統(tǒng)隔振效果影響很大,被隔振對象的質(zhì)量對隔振系統(tǒng)共振峰值的影響與非線性阻尼系數(shù)的大小密切相關(guān)。

隔振;動力學(xué)模型;諧波平衡法;振動傳遞率;非線性;航天器

1 引言

航天器的微重力環(huán)境將為生命學(xué)、材料學(xué)、燃燒學(xué)、基礎(chǔ)物理學(xué)等研究提供良好的研究條件[1]。但是航天員活動或散熱風(fēng)扇、各種液氣泵、控制力矩陀螺等設(shè)備的工作都會產(chǎn)生微振動激擾源,在一定頻率范圍內(nèi)會破壞微重力環(huán)境[2]。微振動具有幅值低、振動頻率較高的特點[3],工程上通常對振源和有效載荷都進行隔振控制[4]以減小其影響。采用粘彈性材料的被動隔振技術(shù)由于可靠性高,可實施性強,能有效控制高頻振動,已成為航天器隔振設(shè)計的熱點。

被動隔振系統(tǒng)動力學(xué)研究的關(guān)鍵在于建立準確的動力學(xué)模型,一些學(xué)者已經(jīng)開始了相關(guān)研究[3]。Liu等[5]不考慮非線性因素研究了隔振器參數(shù)對整星隔振系統(tǒng)隔振性能的影響。陳安華等[6]研究了隔振材料的非線性剛度對隔振效果的影響。張業(yè)偉等[7]建立了離散型隔振系統(tǒng)的非線性等效動力學(xué)模型,研究了隔振系統(tǒng)的振動傳遞率受激勵幅值的影響。但目前的研究在建立動力學(xué)模型時并不夠準確,沒有全面考慮隔振器和隔振對象的質(zhì)量、剛度和阻尼對系統(tǒng)的影響。

本文以對航天器微振動振源隔振為研究對象,在建模過程中,考慮了隔振器和隔振對象的質(zhì)量、剛度和阻尼對系統(tǒng)的影響,并嘗試用變形的三次多項式函數(shù)描述粘彈性隔振器的非線性剛度,用分數(shù)導(dǎo)數(shù)階算子表征隔振器的阻尼特性,力求建立更為準確的隔振系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型,用諧波平衡法推導(dǎo)出振動傳遞率的解析表達式。然后根據(jù)數(shù)值解探討隔振器以及隔振對象的剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)、質(zhì)量對隔振效果的影響,得出相關(guān)設(shè)計原則,為航天器被動隔振系統(tǒng)設(shè)計提供理論參考。

2 微重力下隔振系統(tǒng)動力學(xué)模型

目前,針對復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動力學(xué)分析主要有兩種方法:模態(tài)參數(shù)分析和有限元分析。有限元分析方法簡單直觀,易于操作[8],但不利于參數(shù)修改,也不能得到各參數(shù)間的解析表達式。因此本文采用模態(tài)參數(shù)進行分析,利用集中質(zhì)量法建立隔振系統(tǒng)動力學(xué)模型。將隔振系統(tǒng)簡化為由2個子結(jié)構(gòu)組成,一個為隔振對象結(jié)構(gòu)系統(tǒng),另一個為隔振器結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。假設(shè)系統(tǒng)只沿一個方向振動,建立的隔振系統(tǒng)動力學(xué)模型如圖1所示。

受粘彈性材料特性的影響,隔振器的剛度和阻尼將呈非線性。剛度為相對位移的函數(shù),其描述方式有多種。這里采用三次多項式[9]描述彈性力:Fk1=k1x+βk1x3,其中β為隔振器非線性剛度系數(shù)。采用Riemman-Liouville分數(shù)導(dǎo)數(shù)[10]所描述的分數(shù)導(dǎo)數(shù)阻尼力Fc1=c1Dq(x),

式中 q為分數(shù)導(dǎo)數(shù)算子的階數(shù),0＜q＜1。q值越小,表明阻尼的非線性越強。

在與平臺固連的坐標系下觀察,采用拉格朗日方程,建立系統(tǒng)動力學(xué)微分方程:

圖1 被動隔振系統(tǒng)動力學(xué)模型Fig.1 Passive vibration isolation system dynamic model

對式(2)進行簡化后,得到系統(tǒng)動力學(xué)微分方程:

3 振動傳遞率

系統(tǒng)的隔振性能通常用振動傳遞率T來描述[11]。T為隔振對象的振動幅值與隔振器底端振動幅值之比。若T＜1,則說明產(chǎn)生隔振效果,并且T的值越小,隔振效果越好。為了得到隔振對象的振動位移,采用諧波平衡法對式(4)進行求解。令

4 參數(shù)對振動傳遞率的影響

在隔振系統(tǒng)的設(shè)計中隔振器的剛度、質(zhì)量和阻尼是重要的設(shè)計參數(shù),因此研究三者與隔振效果評價參數(shù)振動傳遞率的之間關(guān)系是十分必要的。另外,若掌握隔振對象的參數(shù)對振動傳遞率的影響,也便于在方案設(shè)計之初就進行有針對性的設(shè)計,從而從設(shè)計上主動降低振動響應(yīng)。為此,通過改變系統(tǒng)激勵頻率,采用數(shù)值法對式(7)和(8)進行求解,并分別改變系統(tǒng)參數(shù),得到一系列數(shù)值仿真結(jié)果。

首先考察隔振器剛度的變化對系統(tǒng)隔振效果的影響。改變剛度非線性系數(shù)β,求解方程組,得到振動傳遞效率與β的關(guān)系,如圖2所示。隨著頻率增加,隔振系統(tǒng)振動傳遞率從初始值1開始逐漸增大,達到系統(tǒng)共振頻率時,產(chǎn)生共振峰,振動傳遞效率達到最大值,然后再逐漸減小。當T＜1時,隔振系統(tǒng)能產(chǎn)生有效的隔振。隨著頻率的增大,T越來越小,隔振效果也越強。這也證明了被動隔振系統(tǒng)的隔振效果僅對高頻產(chǎn)生隔振效果,而對低頻則不能產(chǎn)生隔振[1]。當β分別取不同值時,系統(tǒng)振動傳遞率并沒有發(fā)生變化。因此,非線性剛度系數(shù)β對振動傳遞率的影響可以忽略。

求解方程組還可以得到k1對T的影響,如圖3所示。從圖中可以看出,隨著k1的減小,共振峰逐漸前移,這是因為隨k1的減小,系統(tǒng)固有頻率也減小了。T＜1時,所對應(yīng)的頻率變小,說明能夠產(chǎn)生隔振的頻率范圍變大。另外,隨著k1的減小,共振峰值也變小,而且T＜1后,相同頻率對應(yīng)的振動傳遞率值也變小。因此,減小隔振器剛度有利于提高隔振效果。但是若隔振器剛度降低到一定程度之后,隔振器將呈現(xiàn)明顯的柔性特征,隔振系統(tǒng)的運動將不能只用一個自由度表征,所建立的動力學(xué)模型將不再適用。

改變隔振對象的剛度k2值,計算振動傳遞率,得到圖4所示關(guān)系。從圖中可以看出,隔振對象剛度的變化也會造成共振頻率的變化,但是由于隔振對象的剛度通常大于隔振器剛度,固有頻率對隔振對象剛度敏感度相對降低,因此共振頻率變化相對不明顯。共振峰值隨剛度的增大有所減小,但是變化也不大。

下面再分析隔振器阻尼非線性項與振動傳遞率的關(guān)系。從圖5中可以看出,隨著阻尼非線性項系數(shù)q增大,共振頻率沒有變化,共振峰的幅值明顯減小。因此,降低隔振器阻尼的非線性,有利于減小共振時的振動傳遞率。

圖2 隔振器非線性剛度系數(shù)β對振動傳遞率的影響Fig.2 Effects of vibration isolator nonlinear stiffness coefficientβto vibration transmissibility

圖3 隔振器剛度k1對振動傳遞率的影響(K1為初始剛度)Fig.3 Effects of vibration isolator stiffness k1to vibration transmissibility(K1is initial stiffness)

圖4 隔振對象剛度k2對振動傳遞率的影響(K2為初始剛度)Fig.4 Effects of vibration isolation object stiffness k2to vibration transmissibility(K2is initial stiffness)

圖5 阻尼非線性項系數(shù)q對振動傳遞率的影響Fig.5 Effects of nonlinear damping coefficient q to vibration transmissibility

改變隔振器阻尼比ξ1的值,得到不同阻尼比對應(yīng)的振動傳遞率,如圖6所示。從圖中可以看出,隨著隔振器阻尼比ξ1增大,共振峰的幅值也明顯減小。但在高頻處,阻尼增大,隔振效果反而變差。因此,與非線性阻尼系數(shù)一樣,增大隔振器阻尼比能有效抑制共振峰,但在高頻處隔振效果變差。

改變隔振對象的阻尼比ξ2的值,得到不同阻尼比對應(yīng)的振動傳遞率,如圖7所示。從圖中可以看出,隨著隔振器阻尼比ξ2增大,共振峰的幅值有所減小。因此,增大隔振對象阻尼是有利于抑制共振峰,但效果較弱。

進一步考察隔振器質(zhì)量變化對振動傳遞率的影響,如圖8所示。隨著m1的增大,共振峰明顯減小,并且共振頻率也減小。這是因為m1的減小,系統(tǒng)固有頻率降低。T＜1時所對應(yīng)的頻率變小,T＜1后相同頻率對應(yīng)的振動傳遞率值也變小。說明能夠產(chǎn)生隔振的頻率范圍變大,并且隔振效果更好。因此增加隔振器質(zhì)量,能明顯提高隔振效果。但是通常隔振器的質(zhì)量受到航天器質(zhì)量的限制,因此在設(shè)計時需要權(quán)衡考慮。

考察隔振對象質(zhì)量變化對振動傳遞率的影響,如圖9所示。隨著m2的變化,固有頻率和共振峰都有變化,但是共振峰幅值并不呈現(xiàn)單調(diào)的增加或減少。為此,進一步求解非線性阻尼項q取不同值時,不同m2系統(tǒng)振動傳遞率的共振峰值,如圖10所示。

圖6 隔振器阻尼比ξ1對振動傳遞率的影響Fig.6 Effects of vibration isolator ratio of dampingξ1to vibration transmissibility

圖7 隔振對象阻尼比ξ2對振動傳遞率的影響Fig.7 Effects of vibration isolation object ratio of dampingξ2to vibration transmissibility

圖8 隔振器質(zhì)量m1對振動傳遞率的影響(M1為初始質(zhì)量)Fig.8 Effects of vibration isolator mass m1to vibration transmissibility(M1is initial mass)

從圖10中可以看出,當q=1時,隔振器阻尼不存在非線性因素,此時,共振峰的幅值呈單調(diào)遞增的變化趨勢。當q=0.8時,共振峰的幅值呈現(xiàn)先增加而后減小的變化趨勢。當q=0.5時,共振峰的幅值呈逐漸減小的變化趨勢。因此,說明由于阻尼的非線性,造成振動傳遞率并不隨隔振對象的質(zhì)量變化而單調(diào)變化。不過從圖10中看出,即便峰值的變化與q的取值有密切關(guān)系,但是由于m2增大后,系統(tǒng)共振頻率降低,有效隔振頻率范圍增大,其對應(yīng)的振動傳遞率也減小。

圖9 隔振對象質(zhì)量m2對振動傳遞率的影響(M2為初始質(zhì)量)Fig.9 Effects of vibration isolation object mass m2to vibration transmissibility(M2is initial mass)

圖10 不同隔振對象質(zhì)量m2對應(yīng)的最大振動傳遞率Fig.10 The most vibration transmissibility among different vibration isolation object mass m2

5 結(jié)束語

本文通過建立微重力狀態(tài)下的隔振系統(tǒng)動力學(xué)模型,采用諧波平衡法推導(dǎo)了振動傳遞率計算公式,綜合考慮了隔振器和隔振對象的質(zhì)量、剛度和阻尼對系統(tǒng)的影響,得出了系統(tǒng)參數(shù)對振動傳遞率的影響,為航天器被動隔振系統(tǒng)設(shè)計提供參考。主要有以下結(jié)論:

1)隔振器的非線性剛度項對系統(tǒng)隔振效果影響不明顯,非線性阻尼項對系統(tǒng)隔振效果影響很大,增大阻尼非線性系數(shù),能有效抑制系統(tǒng)共振峰值,但在高頻處隔振效果變差。

2)隔振器的質(zhì)量和剛度對系統(tǒng)隔振效果影響明顯。增大質(zhì)量或減小剛度,均能有效提高隔振效果,擴大隔振頻率范圍。

3)增大被隔振對象的阻尼和剛度能降低共振頻率處的振動傳遞率。

4)被隔振對象質(zhì)量對隔振系統(tǒng)共振峰值的影響與非線性阻尼系數(shù)的大小密切相關(guān)。但是由于質(zhì)量增加能減小共振峰頻率,因此也有利于提高隔振效果。

[1] GRODSINSKY,CARLOS M,WHORTON MARK S.A survey of active vibration isolation systems for microgravity applications[R].Huntsville:Marshall Space Flight Center,2000.

[2] 鄧峰巖,和興鎖,張娟,等.微振動對空間實驗室微重力環(huán)境的影響研究[J].振動與沖擊,2005,24(3):103-107.

DENG FENGYAN,HE XINGSUO,ZHANG JUAN,et al.Research on the effects of microgravity vibration environment in the spacelab[J].Journal of Vibration and Shock,2005,24(3):103-107.

[3] 張振華,楊雷,龐世偉.高精度航天器微振動力學(xué)環(huán)境分析[J].航天器環(huán)境工程,2009,26(6):528-534.

ZHANG ZHENHUA,YANG LEI,PANG SHIWEI.Jitter environment analysis for micro-precision spacecraft[J].Spacecraft Environment Engineering,2009,26(6):528-534.

[4] WHORTON,MARK S.Microgravity vibration isolation for the international space station[R].Huntsville: Marshall Space Flight Center,2000.

[5] L K LIU,G T ZHENG.Parameter analysis of PAF for whole-spacecraft vibration isolation[J].Aerospace Science and Technology,2007,11(6):464-472.

[6] 陳安華,劉德順,朱萍玉.被動隔振體的非線性振動分析[J].機械工程學(xué)報,2001,37(6):99-101,105.

CHEN ANHUA,LIU DESHUN,ZHU PINGYU.Nonlinear response analysis of a passively vibration-isolated body[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2001,37(6):99-101,105.

[7] 張業(yè)偉,方勃,李松,等.整星隔振平臺的阻尼非線性對隔振性能影響的物理機理 [J].振動與沖擊, 2011,30(10):173-176.

ZHANG YEWEI,FANG BO,LI SONG,et al.Physical mechanism for effect of nonlinear damping of a whole-spacecraft vibration isolation platform on its vibration-isolation behaviors[J].Journal of Vibration and Shock,2011,30(10):173-176.

[8] ANIL K CHOPRA.Dynamics of structures:theory and applications to earthquake engineering[M].3rd ed.New Gersey:Pearson Education Inc.,2007:447-466.

[9] PELEG K.Frequency response of non-linear single degree of systems[J].International Journal of Mechanical Science,1979,21:75-84.

[10] JOSEPH P,YUEHUA G.General response of viscoe lastic systems modeled by fractional operators [J].Franklin Institute,1988,325(2):247-275.

[11] 方勃,李松,黃文虎.新型整星隔振系統(tǒng)動力學(xué)分析[J].振動工程學(xué)報,2012,25(2):193-198. FANG BO,LI SONG,HUANG WENHU.Analysis of dynamics for the new whole-spacecraft vibration isolator[J].Journal of Vibration Engineering,2012,25(2):193-198.

[12] 閆啟方,劉林超,陳哲.分數(shù)算子描述的兩級粘彈性阻尼隔振系統(tǒng)的幅頻特性分析 [J].噪聲與振動控制, 2006,26(2):7-10.

YAN QIFANG,LIU LINCHAO,CHEN ZHE.Analysis of magnitude-frequency of two-stage mounting isolation system by fractional derivate operator[J].Noise and Vibration Control,2006,26(2):7-10.

Research on Passive Control Dynamics of Micro-vibration Based on Harmonic Balance Method

ZHU Enyong WEI Chuanfeng
(Institute of Manned Space System Engineering,China Academy of Space Technology,Beijing 100094)

For investigating the effects of passive vibration isolator parameters on the vibration transmissibility,nonlinear stiffness characteristics of the vibration isolating material was described by the cubic polynomial function of its deformation,and the nonlinear damping was characterized by viscoelastic fractional derivative operator.The nonlinear dynamic model in microgravity environment of passive vibration isolator system was developed.The dynamic response characteristics were analyzed by the harmonic balance method,and the vibration transmissibility was obtained.Then the influence of stiffness,damping and mass of the isolator and isolated body on vibration isolation effect were analyzed.The results provide theoretic reference for design of spacecraft isolators.The results show that the effects of vibration isolator nonlinear damping coefficient on vibration transmissibility were obvious and the effects of vibration isolation object mass on resonance vibration peak value have a great deal to do with the vibration isolator nonlinear damping coefficient.

Isolation;Dynamic model;Harmonic balance method;Vibration transmissibility; Nonlinear;Spacecraft

10.3780/j.issn.1000-758X.2015.05.007

(編輯:高珍)

2015-03-07。收修改稿日期:2015-05-21

朱恩涌 1983年生,2010年獲武漢大學(xué)機械設(shè)計及理論專業(yè)博士學(xué)位,高級工程師。研究方向為載人航天器動力學(xué)與總體設(shè)計。