三維空間屬性插值方法的研究

陳鵬　鄧飛　劉思廷

摘要：論文對三維空間屬性建模的插值方法進行研究，主要以反距離加權插值算法和基于B樣條函數(shù)插值算法作為研究對象，從三維空間的角度，詳細的介紹了兩種插值方法的基本原理，實現(xiàn)了在三維空間中的屬性插值，并通過體繪制和切片的形式來顯示插值效果，通過對插值效果的分析比較來說明兩種插值算法的優(yōu)勢和缺點。

關鍵詞：屬性插值；反距離加權；B樣條；控制點網(wǎng)格

中圖分類號：TP39 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2015）07-0235-05

Abstract： Modeling for three-dimensional space attribute interpolation method are studied， mainly by the inverse distance weighted interpolation algorithm and the interpolation algorithm based on b-spline function as the research object， from the Angle of three dimensional space， detailed introduces the basic principle of two kinds of interpolation methods， realized in attribute interpolation in 3D space， and through the volume rendering and sliced to display in the form of interpolation effect， through the analysis of interpolation effect compared to illustrate both the advantages and disadvantages of the interpolation algorithm.

Key words： attribute interpolation； inverse distance weighted； B-spline； control point grid

現(xiàn)在三維建模絕大多數(shù)是對真三維空間中實體進行幾何形態(tài)的建模，而對實體內(nèi)部屬性的建模還有一定的欠缺，然而三維空間的屬性建模是非常重要的，它是三維建模重要的組成部分，所以對于它的研究是具有一定的意義的。三維空間屬性參數(shù)的建模就是求解空間內(nèi)部物理、化學屬性參數(shù)的模型。而對三維空間中的屬性進行插值則是用來求解屬性值的一種很普遍的方法。由于在三維空間中不可能對每一個數(shù)據(jù)點進行測量，只能得到一定數(shù)量的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)可以反映出部分或者全部的空間特征，利用這些已知數(shù)據(jù)進行插值，據(jù)此預測未知數(shù)據(jù)的屬性特征。測量到的三維空間數(shù)據(jù)往往是分布不均勻的離散數(shù)據(jù)，為了方便進行插值與繪制，對數(shù)據(jù)進行網(wǎng)格化是有必要的。所謂網(wǎng)格化是指通過一定的插值方法，將稀疏的、不規(guī)則分布的數(shù)據(jù)插值加密為規(guī)則分布的數(shù)據(jù)，以適合繪圖的需要[1]?？臻g插值的方法有很多，常見的有反距離加權插值算法，克里金（kriging）插值法[2]，自然鄰近點插值法[3]，泰森多邊形插值法[4]，樣條函數(shù)插值法等插值方法。

傳統(tǒng)的二維空間插值數(shù)據(jù)點為xy坐標加上屬性值p，即[x，y，p]，本文主要是以反距離加權插值算法和B樣條函數(shù)插值算法作為研究對象，在傳統(tǒng)二維空間插值的基礎上，對兩種算法進行修改，使其能在三維空間中實現(xiàn)插值，此時數(shù)據(jù)點變?yōu)閤yz坐標加上屬性值p，即[x，y，z，p]，同時分析兩種算法的插值效果，對比兩種算法的優(yōu)點和不足。

1 反距離加權插值算法

從圖（1）可以看出，當[μ]小于2時數(shù)據(jù)效果很集中，當[μ]大于2時會細致很多。IDW是一種常用的空間插值方法，這種方法簡單易行，插值效率高，在已知離散數(shù)據(jù)點分布均勻的情況下插值效果最好。當插值數(shù)據(jù)較多的時候，IDW方法計算插值速度較慢，這種情況下對控制點的作用范圍進行限制，當點[（xi，yi，zi）]到某一點[x，y，z]的距離大于某一范圍就令它的權值為零，這樣可以使插值速度加快，同時又不會對效果有太大的損害，因為控制點與待插值點的距離太大對待插值點的影響就比較小。

2 基于B樣條的插值算法

上面提到在數(shù)據(jù)量較大的時候，反距離加權的效率會變低，同時它的插值效果容易受外界因素的影響，使得效果不太理想，在這樣的情況下，本文進一步的對基于B樣條函數(shù)插值方法進行了研究，B樣條插值算法效率快，且插值效果能很好的逼近散亂數(shù)據(jù)點。

基于B樣條的大規(guī)模插值方法是一種比較有效的大規(guī)模插值方法，該方法無法保證插值曲面能夠完全通過所有插值控制點，只能產(chǎn)生在一定誤差范圍內(nèi)的擬合曲面。

設在三維空間中（如圖2所示），有一離散點集合[P=x，y，z，p]，在坐標系XOYOZ中有一數(shù)據(jù)體Ω，[xd，yd，zd]是其中的離散點。為了能近似的表示離散點集P，可以構造[m×n×k]個雙三次B樣條曲面片集合來逼近，m表示沿X方向?qū)ⅵ阜殖蒻等分，n表示沿Y方向?qū)ⅵ阜殖蒼等分，k表示沿Z方向?qū)ⅵ阜殖蒶等分。這個[m×n×k]個雙三次B樣條曲面片由控制點網(wǎng)格體Φ來定義，Φ為[m+3×n+3×k+3]的控制點網(wǎng)格體，均勻的覆蓋在數(shù)據(jù)體Ω中。

圖3中是使用不同規(guī)模的控制點網(wǎng)格對相同散亂數(shù)據(jù)插值的效果圖。對比兩切片（c）（d）可以明顯地觀察到，控制點網(wǎng)格越密則構造的屬性曲面越細致，越能更好地逼近散亂數(shù)據(jù)點，但是在實際使用中控制點網(wǎng)格也不可以太密，首先高密度的控制點網(wǎng)格增大了計算復雜度，同時當網(wǎng)格控制點的密度達到一定程度后，會造成屬性插值曲面嚴重畸變[7]。

如圖4所示，是使用層次 B 樣條方法對前面離散數(shù)據(jù)的插值結果對比圖，從切片（c）（d）的圖中可以看出在采用了層次 B 樣條后所得到的屬性曲面既有良好的光滑程度，又有很高的逼近程度。另外對于不均勻的散亂數(shù)據(jù)使用層次 B 樣條方法可以在數(shù)據(jù)點稀疏的地方保持屬性曲面的大體趨勢，又能夠在數(shù)據(jù)點密集的地方更好地逼近散亂數(shù)據(jù)，因而具有廣泛的應用領域。

如圖5所示，分別為反距離加權插值和層次B樣條插值的效果圖，根據(jù)圖（c）（d）切片效果，可以看到層次B樣條插值效果明顯比反距離插值效果要更光滑一些。反距離加權插值的概念簡單，易于在計算機中實現(xiàn)，但是它受觀察點的影響太大，如圖（c）所示，會出現(xiàn)圍繞觀察點位置的“牛眼”，而層次B樣條插值雖然在概念上要復雜一點，但是它同樣易于實現(xiàn)，且所需的信息量不大，同時能保證產(chǎn)生高精度的近似擬合屬性曲面，誤差范圍很小。同時對兩種算法的實現(xiàn)程序效率作對比，在用層次B樣條插值和反距離加權插值對相同的大規(guī)模三維數(shù)據(jù)點進行插值的情況下，層次B樣條插值的效率會更快一些。

3 結束語

論文研究了關于在三維空間中利用反距離加權插值算法和基于B樣條插值算法進行屬性插值建模的原理和方法，并且對兩種

算法都予以了實現(xiàn)。根據(jù)三維數(shù)據(jù)屬性插值處理的結果可知，B樣條插值在插值效果上比反距離插值算法更加的光滑，而且在效率上，B樣條插值也會更快一些。同時，在B樣條的基礎上進一步的擴展，實現(xiàn)了層次B樣條，從插值結果可知，層次B樣條比B樣條具有更好地近似度和逼近程度。

參考文獻：

[1] 劉兆平，楊進，武煒.地球物理數(shù)據(jù)網(wǎng)格化方法的選取[J].物探與化探，2010，34（1）：93-97.

[2] 靳國棟，劉衍聰，牛文杰.距離加權反比差值法和克里金插值法的比較[J].長春工業(yè)大學報，2003，

24（3）：53-57.

[3] 張偉，覃慶炎，簡興祥.自然鄰點插值算法及其在二維不規(guī)則數(shù)據(jù)網(wǎng)格化中的應用[J].物探化探計算技術，2011，33（3）：291-295.

[4] 李翠平，李仲學，余東明.基于泰森多邊形法的空間品位插值[J].遼寧工程技術大學學報，2007，26（4）：488-491.

[5] 劉湘南.GIS空間分析原理與方法[M].北京：科學出版社，2005.

[6] Prautzsch H，Boehm W，Paluszny M.Bézier and B-spline techniques[M].Springer，2002.

[7] Lee S，Wolberg G，Shin S Y.Scattered data interpolation with multilevel B-splines[J]. Visualization and Computer Graphics，IEEE Transactions on，1997，3（3）：228-244.

[8] 蔣勇，李玉梅.基于三次B樣條的曲線逼近算法及其收斂性[J].計算機工程與設計，2013，34（6）：2009-2014.