利用移動(dòng)最小二乘法進(jìn)行點(diǎn)云變形分析的研究

呂志鵬，伍吉倉(cāng),2，鄭二龍

(1.同濟(jì)大學(xué)測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海 200092； 2.現(xiàn)代工程測(cè)量國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092)

?

利用移動(dòng)最小二乘法進(jìn)行點(diǎn)云變形分析的研究

呂志鵬1，伍吉倉(cāng)1,2，鄭二龍1

(1.同濟(jì)大學(xué)測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海 200092； 2.現(xiàn)代工程測(cè)量國(guó)家測(cè)繪地理信息局
重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092)

三維激光掃描儀能夠高精度快速翔實(shí)地獲得變形體的空間信息，同時(shí)諸多變形體的變形情況也需要完整的描述和分析。為此，本文通過(guò)三維激光掃描儀獲取變形體變形前后的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，并利用移動(dòng)最小二乘法進(jìn)行均勻格網(wǎng)擬合內(nèi)插來(lái)提取變形信息。通過(guò)模擬簡(jiǎn)支梁加載試驗(yàn)和上述方法進(jìn)行變形分析，并與TS30高精度測(cè)量機(jī)器人的測(cè)量結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明兩者精度相當(dāng)，能夠探測(cè)到毫米級(jí)變形。

三維激光掃描儀；點(diǎn)云；移動(dòng)最小二乘法；變形分析；TS30

一、引 言

對(duì)各種建筑物、構(gòu)筑物及山體滑坡等自然災(zāi)害頻發(fā)區(qū)的變形監(jiān)測(cè)是測(cè)繪領(lǐng)域的一項(xiàng)重要任務(wù)。從傳統(tǒng)的大地測(cè)量技術(shù)到GNSS技術(shù)，變形監(jiān)測(cè)的理論和方法已得到了廣泛而深入的研究。然而，這些觀測(cè)技術(shù)本質(zhì)上屬于基于點(diǎn)的測(cè)量方式，也就是說(shuō)將變形體的變形特征用一些特征點(diǎn)進(jìn)行離散化，然后通過(guò)測(cè)量這些特征點(diǎn)的空間位置變化來(lái)反演變形體的變形情況。它們的缺陷在于：一方面用有限的特征點(diǎn)反演變形體變形情況是否可靠仍值得商榷；另一方面由于對(duì)特征點(diǎn)的高度依賴性，一旦特征點(diǎn)被破壞將影響變形監(jiān)測(cè)成果的連續(xù)性。三維激光掃描儀的出現(xiàn)則改變了傳統(tǒng)變形監(jiān)測(cè)作業(yè)模式，它是一種“面”測(cè)量設(shè)備，能夠高精度、高分辨率、高效率地以非接觸的方式獲得變形體表面的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，能夠?qū)ψ冃误w的變形情況進(jìn)行全面的描述。利用三維激光掃描儀獲取的點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行變形分析已經(jīng)取得了一些成果[1-7]。這些方法主要是利用點(diǎn)云數(shù)據(jù)擬合特征點(diǎn)、線來(lái)進(jìn)行變形分析，應(yīng)用范圍具有局限性，不能達(dá)到對(duì)變形體的變形情況進(jìn)行全面分析的目的。為此，本文利用移動(dòng)最小二乘法擬合內(nèi)插均勻格網(wǎng)來(lái)進(jìn)行變形分析，以實(shí)現(xiàn)對(duì)變形體變形特征的整體把握。

二、移動(dòng)最小二乘法

變形體空間變形中一類重要的情況就是沿著垂直方向的變形，分析該類變形需要根據(jù)點(diǎn)云數(shù)據(jù)擬合二維曲面，移動(dòng)最小二乘法即可以利用不規(guī)則的空間數(shù)據(jù)建立連續(xù)的二維曲面函數(shù)[8-12]。因此，可利用移動(dòng)最小二乘法進(jìn)行點(diǎn)云數(shù)據(jù)的均勻格網(wǎng)擬合內(nèi)插。對(duì)于三維激光掃描儀采集到的點(diǎn)云數(shù)據(jù)可以構(gòu)造如下二維曲面函數(shù)，即

(1)

(2)

(3)

故有

(4)

其中

將式(4)代入式(1)可得

(5)

(6)

二維高斯函數(shù)圖像如圖1和圖2所示，二維高斯函數(shù)滿足上述權(quán)函數(shù)的緊支性要求。在圖2中可以清晰地看到若干同心圓，并且同心圓所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值隨其半徑的增大而減小。同時(shí)，在同心圓外側(cè)圖像原色趨于深藍(lán)色，其函數(shù)值趨近于0。

圖1 二維高斯函數(shù)圖像(h=1)

圖2 二維高斯函數(shù)圖像俯視圖

應(yīng)用移動(dòng)最小二乘法進(jìn)行點(diǎn)云變形分析的一般流程如下：

1) 將變形前后的點(diǎn)云覆蓋范圍在水平面上進(jìn)行相同的格網(wǎng)化。

2) 對(duì)于變形前后點(diǎn)云的每個(gè)格網(wǎng)點(diǎn)有：①根據(jù)權(quán)函數(shù)的影響域確定擬合點(diǎn)集；②根據(jù)式(4)和式(5)計(jì)算格網(wǎng)點(diǎn)的函數(shù)值。

3) 將變形前后對(duì)應(yīng)格網(wǎng)點(diǎn)的函數(shù)值相減獲得變形量。

三、試驗(yàn)結(jié)果分析

本次試驗(yàn)通過(guò)不銹鋼扁管(規(guī)格2200 mm×80 mm×30 mm)中部受壓模擬簡(jiǎn)支梁的加載變形過(guò)程(如圖3所示)。利用FARO Focus3D掃描儀在不銹鋼扁管受壓前后掃描其上頂面和正對(duì)掃描儀側(cè)面的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，掃描采用最高分辨率和最優(yōu)掃描質(zhì)量。同時(shí)在不銹鋼扁管正對(duì)掃描儀側(cè)面粘貼15個(gè)平面靶紙。在不銹鋼扁管懸掛重物前后用Lecia TS30測(cè)量機(jī)器人(測(cè)角精度：0.5″，測(cè)距精度：0.6 mm+1×10-6D)測(cè)量15個(gè)平面靶紙的中心坐標(biāo)，獲取不銹鋼扁管加載后的變形曲線。

圖3 扁管中部受壓試驗(yàn)

圖3是不銹鋼扁管中部受壓試驗(yàn)實(shí)物圖。不銹鋼扁管中部1.8 m的范圍(第一個(gè)到最后一個(gè)平面靶紙中心的距離)懸空。在試驗(yàn)過(guò)程中首先在空載條件下掃描點(diǎn)云數(shù)據(jù)，然后在0.90 m處懸掛重物再進(jìn)行掃描。掃描前后提取的不銹鋼扁管頂部點(diǎn)云如圖4和圖5所示。

圖4 受壓前扁管頂部點(diǎn)云

圖5 受壓后扁管頂部點(diǎn)云

在不銹鋼扁管伸展方向的0、0.15 m、0.30 m、0.45 m、0.60 m、0.75 m、0.825 m、0.90 m、0.975 m、1.05 m、1.20 m、1.35 m、1.50 m、1.65 m、1.80 m處粘貼平面靶紙。在加載前后用TS30分別測(cè)量15個(gè)平面靶紙的中心坐標(biāo)。測(cè)量過(guò)程中建立獨(dú)立坐標(biāo)系，坐標(biāo)成果及變形量見(jiàn)表1。由表1可知，不銹鋼扁管的變形基本呈現(xiàn)對(duì)稱的特性，在加載點(diǎn)8號(hào)點(diǎn)處呈現(xiàn)出最大的變形量為15.5 mm，在兩端變形量最小，約為1.7 mm。

在利用移動(dòng)最小二乘法進(jìn)行均勻格網(wǎng)內(nèi)插時(shí)，需要將受壓前后扁管頂部點(diǎn)云從儀器坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到變形體坐標(biāo)系下。如圖6所示，oxyz為儀器坐標(biāo)系，o′x′y′z′為變形體坐標(biāo)系。實(shí)際上可以認(rèn)為儀器坐標(biāo)系的z軸和變形體坐標(biāo)系的z′軸指向相同。因而，兩個(gè)坐標(biāo)系之間變換可以簡(jiǎn)化為儀器坐標(biāo)系繞著z軸的旋轉(zhuǎn)和整體平移[15]。故有

表1 扁管受壓前后平面靶紙中心坐標(biāo)及其變化

圖6 儀器坐標(biāo)系和變形體坐標(biāo)系關(guān)系

(7)

式中，(x,y,z)為儀器坐標(biāo)系下坐標(biāo)；(x′,y′,z′)為變形體坐標(biāo)系下的坐標(biāo)；(x0,y0,z0)為變形體坐標(biāo)系的原點(diǎn)在儀器坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，其確定了3個(gè)平移參數(shù)；γ為儀器坐標(biāo)系繞z軸的旋轉(zhuǎn)角度。

提取出0和1.80 m處的平面靶紙的中心坐標(biāo)，據(jù)此確定出儀器坐標(biāo)系和變形體坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)角度為-0.025 1 rad，然后根據(jù)0處的擬合中心坐標(biāo)及已知平面靶標(biāo)內(nèi)圓的半徑為0.015 m確定平移向量為(0.900 5, -1.139 4, 0.550 9)。據(jù)此將不銹鋼扁管的頂部點(diǎn)云從儀器坐標(biāo)系變換到變形體坐標(biāo)系。

由上面的分析可知，不銹鋼扁管頂面的有效點(diǎn)云范圍是變形體坐標(biāo)系x′o′y′面1.80 m×0.08 m范圍內(nèi)的點(diǎn)云。因此，首先將原始扁管頂部點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波降噪[16-17]并稀釋，得到加載前的點(diǎn)云數(shù)為13 489個(gè)，加載后的點(diǎn)云個(gè)數(shù)為14 392個(gè)；其次將點(diǎn)云根據(jù)式(7)從儀器坐標(biāo)系變換到變形體坐標(biāo)系；然后分別沿x′軸和y′軸方向每隔0.005 m獲得節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)形成均勻格網(wǎng)；最后用移動(dòng)最小二乘法(式(6)中，h=0.005 m，采用1階完備多項(xiàng)式)內(nèi)插加載前后的均勻格網(wǎng)，按上節(jié)的方法獲得扁管表面垂直向的變形量，如圖7所示。

圖7 內(nèi)插均勻格網(wǎng)法變形圖

由圖7可知，不銹鋼扁管在受壓過(guò)程中整體上呈現(xiàn)對(duì)稱的變形特征。在中間的變形量最大，約為15 mm，在兩端的變形量最小，約為2 mm，這與TS30獲得的變形數(shù)據(jù)相吻合。同時(shí)可以看到，圖7中部區(qū)域呈現(xiàn)出微小的下深上淺特點(diǎn)，這與受壓時(shí)扁管頂面前后受力不均勻有關(guān)。在變形圖上邊緣處存在明顯的與整體不一致的變形趨勢(shì)，主要是因?yàn)檫@部分點(diǎn)云質(zhì)量不高，受到了掃描過(guò)程中邊緣效應(yīng)的影響，特別是在右側(cè)上邊緣尤其嚴(yán)重。從圖3可以看出扁管后面偏右處是一黑色的椅子，激光束在掃描到扁管邊緣時(shí)，一部分返回到掃描儀而另一部分照射到反射特性并不明顯的椅子上造成較大邊緣效應(yīng)誤差。

如圖8所示，獲取均勻格網(wǎng)在點(diǎn)(0, 0)、(0.15, 0)、(0.30, 0)、(0.45, 0)、(0.60, 0)、(0.75, 0)、(0.825, 0)、(0.90, 0)、(0.975, 0)、(1.05, 0)、(1.20, 0)、(1.35, 0)、(1.50, 0)、(1.65, 0)、(1.80, 0)處扁管在垂直方向的變形量，將其與TS30獲得的平面靶紙中心z坐標(biāo)變化進(jìn)行比較，兩者的變形趨勢(shì)整體一致，最大互差為0.9 mm，互差的均方差為0.4 mm，說(shuō)明兩者具有良好的一致性。

四、結(jié)束語(yǔ)

三維激光掃描儀是一種“面”測(cè)量設(shè)備，能夠高精度、高密度、高速度地獲取變形體表面的空間信息，詳細(xì)描述變形體表面細(xì)部特征。本文應(yīng)用移動(dòng)最小二乘法擬合內(nèi)插均勻格網(wǎng)獲取變形量并形成變形面，更加詳細(xì)地描述了變形體的變形情況。同時(shí)，通過(guò)與TS30高精度測(cè)量機(jī)器人獲取的變形結(jié)果進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)，兩種方法的變形量互差均方差僅為0.4 mm，具有良好的一致性。因而可以說(shuō)，利用三維激光掃描儀探測(cè)毫米級(jí)變形具有可行性。三維激光掃描儀在高精度獲取變形體的整體變形趨勢(shì)方面應(yīng)用前景廣闊。

圖8 變形量對(duì)比圖

[1] 徐進(jìn)軍, 王海城, 羅喻真, 等.基于三維激光掃描的滑坡變形監(jiān)測(cè)與數(shù)據(jù)處理[J].巖土力學(xué), 2010, 31(7): 2188-2191.

[2] 戴華陽(yáng), 廉旭剛, 陳炎, 等.三維激光掃描技術(shù)在采動(dòng)區(qū)房屋變形監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用[J].測(cè)繪通報(bào), 2011(11): 44-46.

[3] 王延亮, 夏國(guó)芳, 胡春梅.利用三維激光掃描技術(shù)進(jìn)行工業(yè)設(shè)備三維重建及變形分析[J].測(cè)繪通報(bào), 2012(2): 94-96.

[4] 黃曉陽(yáng), 欒元重, 閆勇, 等.基于三維激光掃描測(cè)量技術(shù)的井架變形觀測(cè)[J].工程勘察, 2012, 40(4): 66-69.

[5] 劉云廣.基于地面三維激光掃描的變形監(jiān)測(cè)點(diǎn)分析[J].北京建筑工程學(xué)院學(xué)報(bào), 2013, 29(2): 43-48.

[6] 吳侃, 黃承亮, 陳冉麗.三維激光掃描技術(shù)在建筑物變形監(jiān)測(cè)的應(yīng)用[J].遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版, 2011, 30(2): 205-208.

[7] 畢俊, 馮琰, 顧星曄, 等.三維激光掃描技術(shù)在地鐵隧道收斂變形監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用研究[C]∥地理信息與物聯(lián)網(wǎng)論壇暨江蘇省測(cè)繪學(xué)會(huì) 2010 年學(xué)術(shù)年會(huì)論文集.南京：江蘇省測(cè)繪學(xué)會(huì)，2010.

[8] LANCASTER P, SALKAUSKAS K.Surfaces Generated by Moving Least Squares Methods[J].Mathematics of Computation, 1981, 37(155): 141-158.

[9] MAISURADZE G G, THOMPSON D L, WAGNER A F, et al.Interpolating Moving Least-squares Methods forFitting Potential Energy Surfaces: Detailed Analysis of One-dimensional Applications[J].The Journal of Chemical Physics, 2003, 119(19): 10002-10014.

[10] SCHAEFER S, MCPHAIL T, WARREN J.Image Deformation Using Moving Least Squares[J].ACM Transactions on Graphics (TOG)， 2006, 25(3): 533-540.

[11] AHN S H, YOO J, LEE B G, et al.3D Surface Reconstruction from Scattered Data Using Moving Least Square Method[C]∥ International Conference on Image Analysis and Processing.2005, 719-726.

[12] 曾清紅, 盧德唐.基于移動(dòng)最小二乘法的曲線曲面擬合[J].工程圖學(xué)學(xué)報(bào), 2004, 25(1): 84-89.

[13] LEVIN D.The Approximation Power of Moving Least-squares[J].Mathematics of Computation, 1998， 67(224): 1517-1531.

[14] PAULY M.Point Primitives for Interactive Modeling and Processing of 3D Geometry[M].[S.l.]: Hartung-Gorre, 2003.

[15] 施一民.現(xiàn)代大地控制測(cè)量[M].北京：測(cè)繪出版社，2003.

[16] TOMASI C, MANDUCHI R.Bilateral Filtering for Gray and Color Images[C]∥Sixth International Conference on Computer Vision.[S.l.]: IEEE, 1998: 839-846.

[17] FLEISHMAN S, DRORI I, COHEN-OR D.Bilateral Mesh Denoising[J].ACM Transactions on Graphics (TOG), 2003, 22(3): 950-953.

[18] 鄧念武，朱杰兵.全站儀在隧洞三維變形監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用研究[J].巖土力學(xué)，2003，24：158-161.

[19] 姜衛(wèi)平，劉鴻飛，劉萬(wàn)科，等.西龍池上水庫(kù)GPS變形監(jiān)測(cè)系統(tǒng)研究及實(shí)現(xiàn)[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版, 2012,37(8): 949-952.

On Point Cloud Deformation Analysis Using Moving Least Squares Method

LV Zhipeng，WU Jicang，ZHENG Erlong

呂志鵬，伍吉倉(cāng)，鄭二龍.利用移動(dòng)最小二乘法進(jìn)行點(diǎn)云變形分析的研究[J].測(cè)繪通報(bào)，2015(7)：32-35.

10.13474/j.cnki.11-2246.2015.0205

2014-05-08

中美國(guó)際合作項(xiàng)目(2010DFB20190)；國(guó)家自然科學(xué)基金(41074019)

呂志鵬(1988—)，男，碩士生，主要研究方向?yàn)榫芄こ虦y(cè)量與變形監(jiān)測(cè)。E-mail: lvzhipeng2007@gmail.com

P237

：B

：0494-0911(2015)07-0032-04