二次曲面金屬幕墻褶皺優(yōu)化的橫向推位算法

張亞龍 ， 馬炫 ， 蔣曉丹

（1.衢州學院 電氣與信息工程學院，衢州 324000；2.西安理工大學 自動化與信息工程學院，西安 710048；3.西澳大學 電氣電子與計算機工程學院，澳大利亞 珀斯 00126G）

0引 言

金屬幕墻作為大型建筑外墻裝飾材料近年來被廣泛采用，具有保護建筑物、防腐蝕、隔噪聲及美觀的作用。曲面造型的金屬幕墻其生產(chǎn)工藝比較復雜，首先是將三維曲面按照一定美觀需求分割成若干個較小的曲面塊，每個曲面塊再由平面金屬板材經(jīng)過塑性沖壓而成。拋物面、橢球面、球面等二次曲面是常用的基本曲面形式，復雜造型的曲面基本也由這幾類曲面相貫或拼合而成。

二次曲面屬于不可展曲面，也就是說由平面沖壓成曲面時，褶皺的產(chǎn)生不可避免。而錐面和柱面可以由平面在不產(chǎn)生褶皺的情況下經(jīng)過彎曲而成。國內(nèi)外對不可展曲面成型的方法和工藝有一定研究［1-7］。解決了曲面處理相關(guān)工程的部分問題。

曲面金屬幕墻由于美觀裝飾的需求，要求裝配于建筑外表面后曲面塊之間的接縫整齊均勻，對生產(chǎn)工藝特別是展開方法要求較高。通用展開算法［3］專門針對金屬曲面幕墻，沒有考慮邊心距相等的要求，不適合用于曲面金屬幕墻。等邊心距展開方法［8］考慮了曲面展開后邊界點到中心距離不變的要求，但是沒有考慮褶皺分布問題，使得曲面在沖壓成型過程中由于褶皺的密度不同，徑向（縱向）褶皺向橫向擠壓，在處理曲率不對稱曲面塊時，邊界點發(fā)生漂移，對裝配的形狀要求產(chǎn)生影響。

本文以文獻［8］為研究基礎(chǔ)，提出一種邊界點的橫向推位算法，計算曲面沖壓時產(chǎn)生的褶皺橫向移位量，給出邊界點在褶皺移位之后的橫向位置，根據(jù)橫向位置可以調(diào)整縱向位置微弱變化以滿足整體形狀要求，使得經(jīng)過沖壓移位之后的形狀剛好滿足裝配時的形狀要求。

1 橫向推位算法

1.1 問題描述

曲面幕墻展開要解決的問題是，給定曲面塊計算對應的平面形狀，使得平面形狀經(jīng)過沖壓成型后的曲面，剛好滿足曲面裝配要求的接縫平滑整齊要求，從而解決目前所用的手工模胎方法帶來的形狀不準確需要多次返修的不便。

計算曲面對應的平面形狀，首先確定曲面塊的大致中心位置，以作為平面塊對應的中心位置，然后計算平面形狀的邊界點相對于中心點的位置即可確定平面形狀。因為褶皺線是徑向的，我們把邊界點作為褶皺線的終點，其位置分為縱向（徑向）位置與橫向位置。這里的縱向與橫向是相對于褶皺線的縱向與橫向，不是直角坐標系里的縱向與橫向。文獻［8］解決了邊界點縱向位置，也就是邊界點離中心點之間的距離。但是沒有考慮邊界點在橫向上需要優(yōu)化。本文解決第二個問題，即邊界點在橫向的優(yōu)化位置。

1.2 邊界點的縱向與橫向初步位置

曲面中心點的確定比較簡單。實驗表明，曲面中心點無論采用幾何中心的近點還是重心的近點，對計算結(jié)果的影響微乎其微，這里不做敘述。為了上下文便于理解，首先介紹等邊心距展開方法［8］對邊界點縱向位置的計算方法，以及橫向位置的確定方式。然后介紹本文提出的橫向推位算法。

1.2.1 縱向位置計算

如圖1所示，曲面ABCD為給定曲面塊，中心點為P。過P點做曲面的法線PQ，過PQ做平面PQME與ABCD相交于P（E，E點為曲面塊的其中一個邊界點。計算P（E的曲線長度，在PQ的法平面與PQME平面的相交線上取點E′，使直線距離PE′=P（E作為E點在平面上的對應點。以PQ為軸旋轉(zhuǎn)平面PQME，依此與給定曲面邊界點相交，計算相交線的曲線長度，即邊界點與中心點P的曲線長度作為平面上邊心距，可得其他邊界點在平面上的縱向位置。

圖1 曲面展開示意圖

設(shè)給定曲面在三維空間的曲面方程為 F（ x，y，z）=0，方程在三維坐標系的偏導數(shù)（為曲面塊法線 PQ 的方向。由于P點的坐標已知，得出直線PQ的點法式方程：

則平面PQME的點法式方程為

在設(shè)定邊界點步長為固定值的基礎(chǔ)上，同樣的道理可以確定每個邊界點在平（面上的位（置。如圖1中平面PQNA 與曲面相交于曲線曲線的長度 PA′可以確定A點在展開平面的縱向位置。以此類推可以確定B點、C點以及D點的位置。然后形成如圖1中曲面ABCD的展開平面形狀 A′B′C′D′。

1.2.2 橫向位置初步計算

以E點為基準，由式（4）得出的二面角作為展開平面中各邊界點與E點的夾角，如圖1中∠EPA′、∠EPB′、∠EPC′等與作為基準點E點的夾角確定了在平面上A′點、B′點、C′點的初步橫向位置。展開過程中，計算曲面與平面相交的曲線長度時，如的長度，由于沒有通用的數(shù)學公式，計算較為復雜。可采用曲線分段擬合的方法求解，思路為：把曲線分為若干個小段，每一段用經(jīng)過兩端和中點的拋物線的長度擬合代替，各小段的擬合長度累加之和即為曲線長度。

1.3 邊界點的橫向推位算法

上述的展開過程實際上已經(jīng)確定了邊界點在平面中的橫向位置，但是沒有考慮褶皺均勻化之后邊界點在橫向的移位。在得出橫向移位的量度之后，可以根據(jù)曲面裝配時的邊心距要求，適當調(diào)整縱向長度以滿足曲面裝配形狀要求，縱向長度的調(diào)整不是本文的研究問題，這里不做敘述。下面給出邊界點橫向移位量的計算方法。

如圖2給定曲面塊ABCD，以邊界點E的橫向推位計算為例，其他邊界點的計算以此類推。

圖2 橫向推位算法示意圖

計算DX在空間曲線上的積分，兩積分之差即為E點橫向移位量，即E點的橫向移位量為

移位的方向為沿圓周的曲線方向，而不是切線方向。SE值的正負決定了移位朝E點的左邊還是右邊。褶皺均勻化使得邊界點由褶皺密度大的地方向褶皺密度小的方向移位。

2 計算實例

給定拋物面如圖3，已知拋物面方程為

其中：a=100，b=100，p=0.01，h=100。 經(jīng)緯線分割后取 3 塊曲面如圖中陰影部分。3塊曲面的參數(shù)如表1。其中曲面塊1的展開圖如圖4。

圖3 拋物面曲面塊

表1 曲面塊參數(shù)

圖4顯示的曲面塊1的平面展開形狀似乎與曲面塊的三維視圖變化不大，這是由于所取的曲面塊相對于整個曲面相對較小，曲率表現(xiàn)不明顯。但在64位的計算機中計算精度非常高，可以滿足剛性金屬鈑金裝配時，接縫之間的精確預留距離，達到美觀精致的效果。實際工程的曲面塊劃分的相對大小有可能更大或更小，當更大時曲率表現(xiàn)明顯，展開結(jié)果與曲面的三維輪廓區(qū)別較大。

圖5（a）為曲面塊1展開的褶皺分布示意圖，其中徑向陰影線為褶皺線；圖5（b）為經(jīng)過褶皺橫向推位后的褶皺分布對照圖。可以看出褶皺經(jīng)過橫向推位后分布均勻，為曲面塊的沖壓成型過程帶來了方便，可以直接沖壓，經(jīng)過自然延展后形成裝配所需的形狀及尺寸。

圖4 曲面塊1展開圖

圖5 褶皺優(yōu)化對照圖

3結(jié) 語

二次曲面幕墻平面展開的褶皺橫向推位算法考慮了金屬板材在沖壓時，褶皺向密度小的方向橫向推擠的形變因素；以及給出了移位量的計算方法，使得曲面在沖壓成型時，褶皺可以均勻分布，簡化了對沖壓工藝的要求。結(jié)合等邊心距展開方法［8］，橫向推位算法已經(jīng)開發(fā)成計算機應用系統(tǒng)，在實際生產(chǎn)中應用效果良好。一方面代替了以前的手工模胎方法，使得生產(chǎn)效率大大提高。另一方面在解決精確計算的基礎(chǔ)上，簡化了沖壓工藝，極大地提高了產(chǎn)品質(zhì)量。

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