利用小孔光闌調(diào)節(jié)邁克耳孫干涉儀的成像分析及驗(yàn)證

劉益岑，何思雨，趙建君

(軍械工程學(xué)院a.學(xué)員2旅；b.基礎(chǔ)部，河北 石家莊050003)

小孔光闌法是利用平面鏡反射成像原理，通過調(diào)節(jié)平面鏡M2背面的3個(gè)螺絲使像點(diǎn)重合達(dá)到平面鏡M1與M2大致相互垂直，M1和M2′大致平行的初調(diào)目的[1－4].在多數(shù)參考書中給出的判定方法是2組像點(diǎn)重合[1－3]或2組像的主點(diǎn)(最亮的點(diǎn))重合即可.但在實(shí)驗(yàn)過程中經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)2組像點(diǎn)數(shù)目并不完全相同，有時(shí)主點(diǎn)難以分辨，導(dǎo)致了實(shí)驗(yàn)者無所適從.教師在指導(dǎo)過程中根據(jù)經(jīng)驗(yàn)給出了一些調(diào)節(jié)方法，學(xué)生雖然完成了實(shí)驗(yàn)，但并沒有真正搞清楚此現(xiàn)象根源何在.

本文利用小孔光闌法調(diào)節(jié)邁克耳孫干涉儀的光路進(jìn)行深入分析，研究在不同介質(zhì)中發(fā)生反射、折射的能量分配與傳播以及成像情況，并通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證.

1 利用小孔光闌法調(diào)節(jié)邁克耳孫干涉儀的光學(xué)分析

利用小孔光闌法調(diào)節(jié)邁克耳孫干涉儀的光路如圖1所示.從光源S發(fā)出的光束，在分光板G1的上表面N發(fā)生1次反射和折射，在分光板G1的下表面M上被分成光束3和光束4.光束3射出G1后投向平面鏡M1，反射回來再穿過G1板；光束4經(jīng)過補(bǔ)償板投向平面鏡M2，反射回來再通過補(bǔ)償板G2，在分光板G1的下表面M反射.從分光板G1向M2望去，通?？煽吹?排等距離分布的光斑組.

圖1 利用小孔光闌法調(diào)節(jié)邁克耳孫干涉儀的光路圖

由圖1可以看出，光源S最終會(huì)在望遠(yuǎn)鏡中共形成8個(gè)像點(diǎn).其中，像點(diǎn)P11，P12，P13和P14為1組，是由平面鏡M1的反射光所形成的；像點(diǎn)P21，P22，P23和P24為1組，是由平面鏡M2的反射光所形成的.但在多數(shù)教科書中只提到2組共6個(gè)或7個(gè)像點(diǎn)，原因就在于各像點(diǎn)對(duì)應(yīng)的能量不同.能量高的光斑能用肉眼觀察，并且所分得能量越高的光斑亮度越大，但如果像點(diǎn)能量低于人眼感光強(qiáng)度則不能被觀察到.但隨著儀器的使用時(shí)間增加，一些關(guān)鍵器件(如半反鏡)的老化導(dǎo)致了與預(yù)期現(xiàn)象不一致的現(xiàn)象出現(xiàn).

2 像點(diǎn)分析

假設(shè)平面反射鏡M1和動(dòng)反射鏡M2均沒有光的能量損耗.根據(jù)入射光、反射光和折射光的能量關(guān)系和菲涅爾公式，忽略介質(zhì)的吸收，計(jì)算可得鈉黃光在玻璃的上表面的反射率和透過率.分光板G1和補(bǔ)償板G2所用的材料相同，設(shè)從光源S發(fā)出的光束的光強(qiáng)為I，分光板G1的前反射面N和補(bǔ)償板G2兩表面的反射率為x(x＜1)，透過率為1－x；分光板G1的半反射面M的反射率為y(y＜1)，透過率為1－y.在分光板G1的上反射面N被分為光強(qiáng)為Ix的光束1和光強(qiáng)為I(1－x)的光束2.光束2在分光板G1的下反射面M上被分成光強(qiáng)為I(1－x)y的反射光束3和光強(qiáng)為I(1－x)(1－y)的折射光束4.由圖1所示可以看出，光源S最終會(huì)在望遠(yuǎn)鏡中各形成4個(gè)像點(diǎn).其中，像點(diǎn)P11，P12，P13和P14為1組，是由平面鏡M1的反射光所形成的；像點(diǎn)P21，P22，P23和P24為1組，是由平面鏡M2的反射光所形成的.

2.1 光強(qiáng)分析

下面分別討論各像點(diǎn)對(duì)應(yīng)光強(qiáng)分布.

像點(diǎn)P11：光線1通過平面鏡M1反射后，光路返回G1板內(nèi)，一部分光在G1板內(nèi)發(fā)生2次反射于G1板M面的點(diǎn)a處透射出，最終到達(dá)屏E形成了像點(diǎn)P11.像點(diǎn)P11的光強(qiáng)可以表示為

像點(diǎn)P12：主要由2部分光疊加而成.一部分是光線1通過平面鏡M1反射后到G1板內(nèi)，一部分光直接在G1板M面的點(diǎn)b處透射出，最終到達(dá)屏E形成的像點(diǎn)，其光強(qiáng)表示為Ix(1－x)(1－y)；另一部分是由光線3通過平面鏡M1反射后，光路返回到G1板內(nèi)，一部分光在G1板內(nèi)發(fā)生2次反射后于G1板M面的點(diǎn)b處透射出，最終到達(dá)屏E形成了像點(diǎn)，其光強(qiáng)表示為Ix(1－y)(1－x)3y2.這2部分是像點(diǎn)的P12主要組成，像點(diǎn)P12的光強(qiáng)表示為

像點(diǎn)P13：光線3通過平面鏡M1反射后，光路返回到G1板內(nèi)，一部分光直接在G1板M面的點(diǎn)c處透射出，最終到達(dá)屏E形成了像點(diǎn)P13.像點(diǎn)P13的光強(qiáng)表示為

像點(diǎn)P14：光線3在G1板內(nèi)反射2次后于G1板N面的點(diǎn)d′處透射出，光路通過平面鏡M1反射后返回G1板內(nèi)，一部分光直接在G1板M面的點(diǎn)d處透射出，最終到達(dá)屏E形成了像點(diǎn)P14.像點(diǎn)P14光強(qiáng)表示為

像點(diǎn)P21：光線4經(jīng)過補(bǔ)償板G2透射向動(dòng)反射鏡M2，光路反射回來再通過補(bǔ)償板G2后，一部分光返回到G1板內(nèi)，發(fā)生3次反射后于G1板N面的點(diǎn)a′處透射出，最終到達(dá)屏E形成了P21.像點(diǎn)P21的光強(qiáng)表示為

像點(diǎn)P22：光線4經(jīng)過補(bǔ)償板G2透射向動(dòng)反射鏡M2，光路反射回來再通過補(bǔ)償板G2后，一部分光返回到G1板內(nèi)，發(fā)生2次反射后于G1板N面的點(diǎn)b，處透射出，最終到達(dá)屏E形成了像點(diǎn)P22.像點(diǎn)P22的光強(qiáng)表示為

像點(diǎn)P23：光線4經(jīng)過補(bǔ)償板G2透射向動(dòng)反射鏡M2，光路反射回來再通過補(bǔ)償板G2后，一部分光在G1板M面的點(diǎn)c處直接反射到達(dá)屏E形成了像點(diǎn)P23.像點(diǎn)P23的光強(qiáng)表示為

像點(diǎn)P24：光線3在G1板內(nèi)發(fā)生2次反射，一部分光經(jīng)過補(bǔ)償板G2透射向動(dòng)反射鏡M2，光路反射回來再通過補(bǔ)償板G2后，最終在G1板N面的點(diǎn)d處直接反射到達(dá)光屏E形成了像點(diǎn)P24.像點(diǎn)P24的光強(qiáng)表示為

2.2 像點(diǎn)個(gè)數(shù)分析

根據(jù)3.1中分析，圖2和圖3分別給出了在x＝0.05，0.10，0.15和y＝0.4，0.5，0.6六種情況下像點(diǎn)的相對(duì)光強(qiáng)的數(shù)值分析圖.

3.2.1 出現(xiàn)像點(diǎn)個(gè)數(shù)分析

經(jīng)分析，像點(diǎn)的個(gè)數(shù)與入射光的強(qiáng)度和反射率為x，y有關(guān)，像點(diǎn)光強(qiáng)高于人眼感光強(qiáng)度才能被觀察到.下討論幾種典型的實(shí)驗(yàn)情況.

情況一：形成2排都為4個(gè)點(diǎn)等距離光斑組.當(dāng)入射光強(qiáng)足夠大時(shí)，8個(gè)像點(diǎn)的光強(qiáng)均高于人眼的感光度能夠被觀察到.根據(jù)數(shù)值分析，8個(gè)像點(diǎn)的光強(qiáng)大小依次為IP13＞IP23＞IP12≈IP11≈IP22≈IP14≈IP24＞IP21.

情況二：形成一排為3個(gè)像點(diǎn)，另一排為4個(gè)像點(diǎn)的等距離光斑組.當(dāng)入射光強(qiáng)不足以使P21的光強(qiáng)高于人眼的感光度時(shí)，這種情況會(huì)存在7個(gè)像點(diǎn).根據(jù)數(shù)值分析，7個(gè)像點(diǎn)的光強(qiáng)大小依次為IP13＞IP23＞IP12≈IP11≈IP22≈IP14≈IP24.

圖2 像點(diǎn)的相對(duì)光強(qiáng)隨y值變化的數(shù)值分析圖

情況三：形成2排都為3個(gè)像點(diǎn)的等距離光斑組.當(dāng)入射光強(qiáng)不足以使P21和P11兩像點(diǎn)的光強(qiáng)高于人眼的感光度時(shí)，這種情況會(huì)存在6個(gè)像點(diǎn).根據(jù)數(shù)值分析，6個(gè)像點(diǎn)的光強(qiáng)大小依次為IP13＞IP23＞IP12≈IP22≈IP14≈IP24.

圖3 像點(diǎn)的相對(duì)光強(qiáng)隨x值變化的數(shù)值分析圖

情況四：形成一排為1個(gè)像點(diǎn)，另一排為2個(gè)像點(diǎn)的等距離光斑組.當(dāng)入射光強(qiáng)不足以使P21，P11，P22，P24和P14五個(gè)像點(diǎn)的光強(qiáng)低于人眼的感光度時(shí)，這種情況存在3個(gè)像點(diǎn).根據(jù)數(shù)值分析，3個(gè)像點(diǎn)的光強(qiáng)大小依次為I13＞I23＞I12.

3.2.2 主亮點(diǎn)及次亮點(diǎn)的光強(qiáng)分析

由像點(diǎn)的相對(duì)光強(qiáng)的數(shù)值分析圖可知，當(dāng)x，y取不同值時(shí)，會(huì)導(dǎo)致像點(diǎn)之間的光強(qiáng)大小發(fā)生變化.在此僅討論同一平面鏡產(chǎn)生的像點(diǎn)之間的光強(qiáng)變化.

通常情況下，當(dāng)x＝0.1時(shí)，P13與P12的光強(qiáng)在y≈0.3時(shí)基本相等，當(dāng)y＞0.3時(shí)P13與P12的光強(qiáng)差距逐漸增大，而當(dāng)y＜0.3時(shí)原主亮點(diǎn)P13的光強(qiáng)較次亮點(diǎn)P12小.因此產(chǎn)生了視覺上P13與P12光強(qiáng)相等的效果.這就解釋了在一些教科書中提到的“若1組像點(diǎn)中2個(gè)亮點(diǎn)難以區(qū)分，則右邊的亮點(diǎn)是主點(diǎn)”[4]的原因.由此可見，影響主次亮點(diǎn)光強(qiáng)對(duì)比的關(guān)鍵在于分光板G1的半反射面M的反射率，如果分光板G1的半反射面M的反射率過低時(shí)很容易出現(xiàn)主次亮點(diǎn)光強(qiáng)極為接近乃至互易的情況出現(xiàn).同時(shí)分光板G1的前反射面的反射率也對(duì)主次亮點(diǎn)光強(qiáng)對(duì)比有一定的影響，在分光板G1的前反射面的反射率低于0.1時(shí)一般不容易出現(xiàn)主次亮點(diǎn)光強(qiáng)極為接近的情況.

因此，建議在邁克耳孫干涉儀的光學(xué)器件選材的過程中充分考慮此影響，分光板和補(bǔ)償板應(yīng)選擇折射率較低的玻璃來避免主次亮點(diǎn)難以區(qū)分.

2.3 等距性分析

根據(jù)光的傳播規(guī)律，當(dāng)平面鏡 M1、平面鏡M2基本相互垂直并與分光板G1成45°時(shí)，可以分析出l1≈l2≈l3.假設(shè)分光板G1的厚度為h，分光板的透過率1－x，其中x＜1，θ1和θ2分別是入射角和折射角，l1為P11與P12的間距，l2為P12與P13的間距，l3為P13與P14的間距，如圖4所示，則滿足下列方程：

圖4 等距性分析原理圖

聯(lián)立求解可得，

則像點(diǎn)之間的距離與入射角θ1、G1板的厚度h、反射率x有關(guān).一般入射角很接近45°，變化范圍不大，基本上不會(huì)有太大影響.而G1板的厚度h和反射率x與選材有關(guān)，對(duì)于某一臺(tái)邁克耳孫干涉儀都可以認(rèn)為是常量，因此可以認(rèn)為同一組像點(diǎn)間距目視情況下是等間距的，

3 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象分析

3.1 情形一

3.1.1 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

形成一排為3個(gè)像點(diǎn)，另一排4個(gè)像點(diǎn)的等距離光斑組，見圖5.

圖5 7個(gè)像點(diǎn)

3.1.2 現(xiàn)象分析

實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象中有一排為4個(gè)像點(diǎn)是經(jīng)靜反射鏡M1反射透射產(chǎn)生的，4個(gè)像點(diǎn)依次是P11，P12，P13和P14.根據(jù)觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象分析，光強(qiáng)大小排列依次為P13，P12，P14，P11；另外排為3個(gè)像點(diǎn)是動(dòng)反射鏡M2反射透射產(chǎn)生的，3個(gè)像點(diǎn)依次是P22，P23，P24，P21能量太低不易觀察到；根據(jù)亮實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象分析，光強(qiáng)大小排列依次為P23，P22，P24.

根據(jù)3.2數(shù)值分析圖像可知，當(dāng)分光板G1的前反射面N反射率x≈0.1，分光板G1的半反射面M的反射率為y≈0.5時(shí)滿足實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，并驗(yàn)證了最亮的2點(diǎn)P13和P23分別為2組像的主點(diǎn).

3.2 情形二

3.2.1 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

形成2排都為4個(gè)點(diǎn)等距離光班組(圖6).

3.2.2 現(xiàn)象分析

實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象中靠上一排的像點(diǎn)是靜反射鏡M1反射透射產(chǎn)生的，4個(gè)像點(diǎn)依次是P11，P12，P13和P14，另外排的3個(gè)像點(diǎn)是動(dòng)反射鏡M2反射透射產(chǎn)生的，4個(gè)像點(diǎn)依次是P21，P22，P23和P24.在這種情形下，P12和P13亮度非常相近，該像點(diǎn)組的主點(diǎn)很難分辨.

圖6 8個(gè)像點(diǎn)

根據(jù)3.2數(shù)值分析圖像可知，分光板G1前反射面N的反射率x對(duì)像點(diǎn)P12的光強(qiáng)影響較大，且x越大，I12越大.當(dāng)分光板G1的前反射面N和補(bǔ)償板G2兩表面的反射率x≈0.2，分光板G1的半反射面M的反射率為y≈0.35時(shí)滿足實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，根據(jù)3.2.2中的結(jié)論，當(dāng)x＝0.15，y≈0.35時(shí)，P12與P13光強(qiáng)基本一致，因此可推斷出，P13仍然為主點(diǎn)，是因?yàn)榘敕寸R鍍膜層老化導(dǎo)致透過率增強(qiáng)而成的.

4 結(jié) 論

在利用小孔光闌法調(diào)節(jié)邁克耳孫干涉儀實(shí)驗(yàn)中，像點(diǎn)的個(gè)數(shù)與入射光的強(qiáng)度和反射率x和y有關(guān)，反射率x對(duì)像點(diǎn)P12的光強(qiáng)影響較大，且x越大，I12越大.由此可見，影響主次亮點(diǎn)光強(qiáng)對(duì)比的關(guān)鍵在于分光板G1的半反射面M的反射率，如果分光板G1的半反射面M的反射率過低時(shí)很容易出現(xiàn)主次亮點(diǎn)光強(qiáng)極為接近乃至互易的情況出現(xiàn).同時(shí)分光板G1的前反射面的反射率也對(duì)主次亮點(diǎn)光強(qiáng)對(duì)比有一定的影響，在分光板G1的前反射面的反射率低于0.1時(shí)，一般不容易出現(xiàn)主次亮點(diǎn)光強(qiáng)極為接近的情況，并提出分光板和補(bǔ)償板應(yīng)選擇折射率較低的玻璃來避免主次亮點(diǎn)難以區(qū)分的建議.本文分析出了各像點(diǎn)間距離近似相等，并得到了具體表達(dá)形式，最后通過實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象對(duì)分析結(jié)論進(jìn)行了驗(yàn)證.

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