轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)試儀的設(shè)計(jì)

謝 亮，張進(jìn)治，安艷偉，鐵小勻

(北方工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，北京100144)

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度，是剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)中重要的物理量，而且在機(jī)械制造、軍事航空、船舶建造等領(lǐng)域都有所涉及，因而，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算與測(cè)量一直是大學(xué)物理教學(xué)與實(shí)驗(yàn)中必不可少的內(nèi)容[1－2].對(duì)形狀規(guī)則、質(zhì)量均勻分布的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可直接計(jì)算得到，但是對(duì)于形狀不規(guī)則、質(zhì)量非均勻分布的剛體，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量只能通過實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到.目前常用的實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法主要有：三線擺法、扭擺法、復(fù)擺法等[3－5].經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，這些方法有的測(cè)量速度較慢，有的實(shí)驗(yàn)原理與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的理論原理聯(lián)系不緊密，有的測(cè)量手段較陳舊，學(xué)生難以學(xué)到現(xiàn)代的測(cè)量技術(shù).近年，由于計(jì)算機(jī)技術(shù)與單片機(jī)技術(shù)的發(fā)展，一些新的測(cè)量方法得以出現(xiàn)[6－7].受此啟發(fā)，筆者根據(jù)復(fù)擺測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的原理，設(shè)計(jì)了測(cè)量不規(guī)則剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的裝置，加入了現(xiàn)代化的測(cè)量手段，具有測(cè)量方便、速度快、實(shí)驗(yàn)原理與理論聯(lián)系密切、智能化程度高等優(yōu)點(diǎn).

1 裝置的測(cè)量思路

本文介紹的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)試儀利用平行軸定理進(jìn)行測(cè)量，即剛體繞某個(gè)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J等于剛體繞過質(zhì)心平行于該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jc加上剛體質(zhì)量m乘以兩軸間距離d的平方.故剛體繞通過其質(zhì)心且平行于已知轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jc＝J－md2.

2 實(shí)驗(yàn)裝置結(jié)構(gòu)

實(shí)驗(yàn)裝置結(jié)構(gòu)如圖1所示.2個(gè)同廠家同型號(hào)的廢舊物理天平的底座平行放置，底座上方的刀口處安置水平轉(zhuǎn)軸；長(zhǎng)方體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量架與物理天平游碼標(biāo)尺支架固定在一起，其中心的圓孔穿過轉(zhuǎn)軸使得整個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量架可繞轉(zhuǎn)軸自由擺動(dòng)，摩擦較??；對(duì)射式光電計(jì)數(shù)器可以測(cè)量裝置的擺動(dòng)周期，測(cè)量精度為0.001s，10個(gè)擺動(dòng)周期計(jì)數(shù)1次；傾角傳感器可以測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量架相對(duì)于水平面的傾角，測(cè)量精度為0.01°；壓力傳感器安裝于長(zhǎng)方體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量架的一個(gè)棱邊的中央，如圖1所示，可以測(cè)量施加給轉(zhuǎn)動(dòng)慣量架的壓力F，測(cè)量精度為0.01g.該壓力傳感器為電阻應(yīng)變式傳感器，只要對(duì)其施加壓力，其懸臂會(huì)發(fā)生形變導(dǎo)致其阻值發(fā)生變化，阻值的變化量經(jīng)由電橋電路轉(zhuǎn)化為電壓信號(hào)，電壓信號(hào)經(jīng)過輸出并放大，經(jīng)由單片機(jī)轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)并乘以對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)化系數(shù)，即可得到壓力的實(shí)際大小，其具體數(shù)值可由液晶顯示器顯示.故給轉(zhuǎn)動(dòng)慣量架施加壓力F時(shí)，只要用手指給壓力傳感器施加外力即可.測(cè)量得到的周期、角度、壓力的具體數(shù)據(jù)經(jīng)51單片機(jī)收集由LCD1602液晶顯示屏顯示.

測(cè)量時(shí)首先測(cè)出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量架空載時(shí)繞水平轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1，再將被測(cè)剛體放入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量架內(nèi)，測(cè)出剛體的重心位置Zc以及總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2，根據(jù)平行軸定理即可得到剛體繞通過其重心且平行于水平轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jc.需要說明的是，J1，J2和Jc的具體測(cè)量結(jié)果都經(jīng)過單片機(jī)處理并由液晶顯示屏顯示.

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置結(jié)構(gòu)圖

3 測(cè)量原理

實(shí)驗(yàn)裝置測(cè)量原理圖如圖2所示，H為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量架的高度，D為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量架的重心位置，ZD為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量架重心距基線的高度，C為剛體的重心位置，ZC為剛體重心距基線的高度，a為F的作用點(diǎn)至轉(zhuǎn)軸的距離.

3.1 剛體重力的測(cè)量

為了提高測(cè)量精度，采用2個(gè)稱重傳感器進(jìn)行測(cè)量.若剛體的重力為GC，2個(gè)稱重傳感器測(cè)出的值為G1和G2，則：GC＝G1＋G2.

3.2 剛體Z方向重心位置的測(cè)量

首先不放剛體.調(diào)節(jié)物理天平底座上的水準(zhǔn)儀使儀器處于水平位置，并使得轉(zhuǎn)軸3處于水平位置，調(diào)節(jié)平衡螺母使得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量架左右對(duì)稱，傾角傳感器示數(shù)為零.讓轉(zhuǎn)動(dòng)慣量架在外力F1的作用下發(fā)生微小偏轉(zhuǎn)，偏轉(zhuǎn)角為θ1，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量架的重力為GD.由力矩平衡原理可知F1acosθ1＝GD(H－ZD)sinθ1，得到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量架重心距底基線的高度ZD為

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置測(cè)量原理圖

將剛體放入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量架內(nèi).為提高測(cè)量精度，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量架底部設(shè)有剛體定位裝置(4個(gè)對(duì)稱放置的輕質(zhì)雙面吸盤)，確保剛體在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量架內(nèi)不會(huì)晃動(dòng).為保證轉(zhuǎn)動(dòng)慣量架偏轉(zhuǎn)角為零，需要再次調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量架上的平衡螺母，必要時(shí)可以通過調(diào)節(jié)吸盤的位置來調(diào)整剛體重心的具體位置，使得傾角傳感器示數(shù)為零.給轉(zhuǎn)動(dòng)慣量架施加外力F2使其發(fā)生微小偏轉(zhuǎn)，偏轉(zhuǎn)角為θ2，根據(jù)力矩平衡原理可得剛體Z方向重心位置為

其中，GD為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量架的重力，GC為剛體的重力，H為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量架的高度.

3.3 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量

對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量架，由復(fù)擺的擺動(dòng)方程

得到擺動(dòng)周期

若測(cè)得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量架的擺動(dòng)周期即可得到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量架的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

放入剛體后整個(gè)擺動(dòng)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2，擺動(dòng)周期可表示為

整個(gè)擺動(dòng)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

剛體繞通過其重心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JC，根據(jù)平行軸定理得：

4 實(shí)際測(cè)量舉例

測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量架的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量數(shù)據(jù)如表1所示，其中H＝244.76mm，GD＝1733.2g，a＝120.51mm.

表1 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量架的測(cè)量數(shù)據(jù)

對(duì)ZD和T1進(jìn)行了5次測(cè)量，每次的測(cè)量條件不同，屬于不等精度測(cè)量.所以，ZD的最終結(jié)果應(yīng)該用加權(quán)平均法來計(jì)算.設(shè)每次測(cè)量值為ZD1，ZD2，ZD3，ZD4和ZD5，其對(duì)應(yīng)的權(quán)分別為P1，P2，P3，P4和P5.我們認(rèn)為如同不確定傳遞公式符合標(biāo)準(zhǔn)偏差傳遞公式一樣，實(shí)驗(yàn)結(jié)果用不確定度評(píng)定后，加權(quán)平均法仍然適用，只需在加權(quán)平均公式中將標(biāo)準(zhǔn)偏差換為不確定度即可[8－10].首先需要計(jì)算測(cè)量值ZDi的不確定度.由式(1)可知ZDi是間接測(cè)量量，其不確定度取決于測(cè)量值H，F(xiàn)1，a，GD和θ1.于是，根據(jù)間接測(cè)量量的不確定度公式

可求得ZDi的不確定度UZDi，取權(quán)，則ZD的加權(quán)平均值為

加權(quán)不確定度為

為了驗(yàn)證該裝置測(cè)量數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，測(cè)量了鋁制圓柱體繞其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，圓柱體的質(zhì)量m＝1.3572kg，半徑R＝40.00mm，長(zhǎng)L＝100.00mm.測(cè)得數(shù)據(jù)如表2所示.

表2 鋁制圓柱形剛體的測(cè)量數(shù)據(jù)

同樣對(duì)于ZC和T2進(jìn)行5次測(cè)量，也屬于不等精度測(cè)量.根據(jù)(7)～(8)公式計(jì)算得到，ZC的加權(quán)平均值為將代入式(4)得到整個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)繞O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量將J2，J1和J′代入式(5)可得鋁制圓柱體繞其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JC＝1.105×10－3kg·m2.

根據(jù)質(zhì)量均勻分布的圓柱形剛體繞重心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算公式可得到JC的理論值：

于是，測(cè)量結(jié)果的相對(duì)偏差為

5 結(jié)束語

根據(jù)復(fù)擺測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的原理，設(shè)計(jì)了測(cè)量不規(guī)則剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的裝置，采用了傳感器測(cè)量技術(shù)(比如壓力傳感器、對(duì)射式光電計(jì)數(shù)器、傾角傳感器等)，具有測(cè)量方便、速度快、實(shí)驗(yàn)原理與理論聯(lián)系密切、智能化程度高等優(yōu)點(diǎn).該裝置充分利用了物理天平的底座和游碼標(biāo)尺支架，設(shè)計(jì)巧妙.

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