看最新高考試題 談數(shù)列求和方法

石家莊二中實驗學(xué)校 李姍姍

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)比較重要的一個知識版塊，課程標(biāo)準(zhǔn)中要求教師用大約12課時進(jìn)行教學(xué)；在每年的高考試題中，不論是選擇或填空對基礎(chǔ)知識、基本解題方法的考查，還是解答題中與其他知識交匯命題綜合考查都會涉及數(shù)列的知識，由此可見數(shù)列在高考中的地位實在是不一般。本文就解答題中最常見的一類問題——求數(shù)列的前n項和問題，結(jié)合最新高考試題對其常用解法加以分析。

一、公式法

公式法，指的是在已知數(shù)列是特殊的等差（等比）數(shù)列時，可以直接利用所學(xué)的等差（等比）數(shù)列的求和公式求解前n項和。

例1（2014年浙江卷·文）已知等差數(shù)列{an}的公差d>0，設(shè){an}的前n項和為

（1）求 d及 Sn；

（2）求 m，k（m，k∈N*）的值，使得

（a1+a2）（a1+a2+a3）=36，

即（2+d）（3+3d）=36，

化為d2+3d-10=0，

解得d=2或-5，

又公差d>0，則d=2，

（2）由（1）得，an=1+2（n-1）=2n-1，

由am+am+1+am+2+…+am+k=65得，

即（k+1）（2m+k-1）=65.

又 m，k∈N*，則（k+1）（2m+k-1）=5×13，或（k+1）（2m+k-1）=1×65，

下面分類求解：

當(dāng) k+1=5時，2m+k-1=13，

解得 k=4，m=5；

當(dāng) k+1=13時，2m+k-1=5，

解得 k=12，m=-3，故舍去；

當(dāng)k+1=1時，2m+k-1=65，

解得k=0，故舍去；

當(dāng)k+1=65時，2m+k-1=1，

解得 k=64，m=-31，故舍去；

綜上得，k=4，m=5.

二、倒序相加法

在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式時用到的就是“倒序相加法”，這種方法適用的數(shù)列要具有以下特點：數(shù)列的首末兩端等“距離”的兩項的和相等。

三、錯位相減法

該方法是推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和時用到的方法，也是高考中考查頻率最高的一種求和方法。這種方法適用于所求數(shù)列的各項是一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積的情況。使用該方法時一定要注意在兩端同時除以某項時，前提條件是該項永遠(yuǎn)不為0，在直接利用等比數(shù)列的前n項和公式時也要特別注意。

例2（2014年江西卷·理）已知首項都是 1的兩個數(shù)列 {an}，{bn}（bn≠0，n∈N+），滿足 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.

（1）令，求數(shù)列{cn}的通項公式；

（2）若 bn=3n-1，求數(shù)列{an}的前 n 項和 Sn.

解：（1）因為 anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)，

即 cn＋1－cn＝2，

所以數(shù)列{cn}是以c1＝1為首項，d＝2為公差的等差數(shù)列，故cn＝2n－1.

（2）由 bn＝3n－1，知 an＝(2n－1)3n－1，

于是數(shù)列{an}的前n項和

將兩式相減得：

所以 Sn＝(n－1)3n＋1.

四、分組求和法

當(dāng)一個數(shù)列的通項是由明顯的等差與等比構(gòu)成的時候，可以采用此種方法，將數(shù)列的項重新分組，分別利用等差（等比）數(shù)列的前n項和公式求和后再相加。

例3（2014年湖南卷·文）已知數(shù)列{an}的前n項和

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）設(shè) bn=2an+（-1）nan，求數(shù)列{bn}的前2n項和.

解：（1）當(dāng) n＝1時，a1＝S1＝1；

當(dāng)n≥2時，

故數(shù)列{an}的通項公式為an＝n.

（2）由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn.

記數(shù)列{bn}的前2n項和為T2n，

則 T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．

記 A＝21＋22＋…＋22n，

故數(shù)列{bn}的前2n項和：

數(shù)列求和問題一般出現(xiàn)在解答題的后一問，在求出數(shù)列的通項公式之后，設(shè)置利用通項公式構(gòu)造的新數(shù)列的求和問題，形式雖然各有不同，但是求和方法不外乎以上幾種。只要認(rèn)真領(lǐng)會上述幾種求和方法的要領(lǐng)，認(rèn)真分析數(shù)列前n項和形式的特點，“對癥下藥”，選對方法，解決這類問題不在話下。