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    基于背景值和初始值改進(jìn)的灰色預(yù)測(cè)模型

    2015-05-06 01:43:16劉俊峰夏愛(ài)生夏軍劍
    關(guān)鍵詞:響應(yīng)函數(shù)原煤灰色

    劉俊峰,夏愛(ài)生,夏軍劍

    (軍事交通學(xué)院基礎(chǔ)部,天津300161)

    GM(1,1)模型(灰色預(yù)測(cè)模型)[1]自 20 世紀(jì)80年代提出以來(lái),由于其所具備的所需樣本少、計(jì)算簡(jiǎn)單、可檢驗(yàn)等特點(diǎn),現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于國(guó)民經(jīng)濟(jì)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等各個(gè)領(lǐng)域,并成功解決了大量實(shí)際問(wèn)題。但GM(1,1)模型本身存在一定的局限性,主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面:一是背景值的構(gòu)造,由于發(fā)展系數(shù)a和灰色作用量b對(duì)模型的預(yù)測(cè)精度有深刻的影響,而a、b的取值與背景值的構(gòu)造方法有關(guān)聯(lián),當(dāng)a的預(yù)測(cè)值比較大時(shí),傳統(tǒng)的預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)誤差相對(duì)來(lái)說(shuō)較大[2];二是初始值的確定,傳統(tǒng)的灰色預(yù)測(cè)對(duì)于參數(shù)C的處理方法是曲線X(1)(t)過(guò)點(diǎn)(1,X(1)(1)),代入通解可以解出 C值,這樣做雖然可以使模型的計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單,但由于最優(yōu)的擬合曲線并不一定經(jīng)過(guò)歷史數(shù)據(jù)中的某一點(diǎn),從而不能保證模擬序列和原始序列的最優(yōu)擬合:這些因素導(dǎo)致了傳統(tǒng)預(yù)測(cè)模型相對(duì)不穩(wěn)定?;谶@種情況,本文提出了一種改進(jìn)的GM(1,1)模型,并結(jié)合實(shí)例進(jìn)行預(yù)測(cè)。

    1 灰色預(yù)測(cè)模型原理

    令 X(0)為 n元序列,X(0)={X(0)(1),X(0)(2),…,X(0)(n)},X(1)為 X(0)一次累加生成,X(1)={X(1)(1),X(1)(2),…,X(1)(n)}。

    于是X(1)的GM(1,1)白化形式的微分方程為

    假設(shè)擬合曲線X(1)(t)過(guò)累加序列的第一個(gè)點(diǎn),即當(dāng)t=1時(shí),^X(1)(t)=X(1)(1)代入式(3),離散化可得GM(1,1)的時(shí)間相應(yīng)序列:

    還原到原始序列可得灰色預(yù)測(cè)模型

    2GM(1,1)模型的改進(jìn)

    2.1 對(duì)背景值的改進(jìn)

    通過(guò)分析傳統(tǒng)的GM(1,1)模型的建模過(guò)程,發(fā)現(xiàn)發(fā)展系數(shù)a和灰色作用量b對(duì)模型的預(yù)測(cè)精度有深刻影響,a、b的取值與背景值的構(gòu)造方法有關(guān)聯(lián),傳統(tǒng)的背景值Z(k)(t)dt=(k+1)+X(1)(k))。經(jīng)過(guò)預(yù)測(cè)發(fā)現(xiàn)當(dāng)a比較小時(shí),預(yù)測(cè)的誤差偏小;當(dāng)a越大時(shí),預(yù)測(cè)誤差就越大。本文提出修改背景值的權(quán)值λ,即令

    根據(jù)微分方程解的形式,可求出權(quán)值λ,并可進(jìn)行多次迭代,以達(dá)到減小誤差的目的。對(duì)式(1)在[k,k+1]上進(jìn)行積分:

    從上式可以看出,當(dāng)a較小時(shí),λ取1/2較合理,當(dāng)a比較大時(shí),λ取1/2會(huì)導(dǎo)致預(yù)測(cè)誤差加大。

    由式(4)可得

    在預(yù)測(cè)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)矩陣B中含有待估參數(shù)a的函數(shù)λ,這里賦初始值λ=1/2,進(jìn)行最小二乘估計(jì),得到a的一次估計(jì)值a1,把a(bǔ)1代入式(5),改變矩陣B,重新進(jìn)行最小二乘估計(jì),得到a的二次估計(jì)值a2,可逐步進(jìn)行下去得出a的最優(yōu)值。

    2.2 對(duì)初始值的改進(jìn)

    對(duì)于白化微分方程式(1)的通解為式(3),傳統(tǒng)的灰色預(yù)測(cè)對(duì)于參數(shù)C的處理方法是曲線X(1)(t)過(guò)(1,X(1)(1))點(diǎn),代入通解可以解出 C值。這樣做雖然可以使模型的計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單,但由于沒(méi)有對(duì)白化方程的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,從而不能保證模擬序列和原始序列的最優(yōu)擬合。因?yàn)樽顑?yōu)的擬合曲線并不一定經(jīng)過(guò)歷史數(shù)據(jù)中的某一點(diǎn)。

    針對(duì)GM(1,1)模型檢驗(yàn)的一般方法,運(yùn)用最小二乘法原理優(yōu)化模型的時(shí)間響應(yīng)函數(shù),以X(1)序列的模擬值和X(1)序列的觀測(cè)值的殘差平方和最小為條件[3-4],確定時(shí)間響應(yīng)函數(shù)中的常數(shù)C,從而建立起相應(yīng)的最優(yōu)時(shí)間響應(yīng)函數(shù),大大提高了模型的預(yù)測(cè)精度。

    (1)白化微分方程=b的解亦稱(chēng)時(shí)間響應(yīng)函數(shù),表達(dá)式為

    (2)灰色微分方程X(0)(t)+aZ(t)=b的時(shí)間相應(yīng)序列為

    證明

    為了求C,利用最小二乘原理,構(gòu)造X(0)序列的模擬值和X(0)序列的觀測(cè)值的殘差平方和函數(shù):

    求C使得S(C)達(dá)到最小。令S'(C)=0,求得唯一駐點(diǎn):

    根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況,得知?dú)埐钇椒胶蚐(C)在此駐點(diǎn)處取最小,故

    (2)令 t=k+1,可以得到灰色微分方程X(0)(t)+aZ(t)=b的時(shí)間相應(yīng)序列為

    (3)對(duì)X(1)累減后化簡(jiǎn)可還原原始數(shù)據(jù)。

    3 實(shí)例分析與對(duì)比

    為檢驗(yàn)改進(jìn)模型的性能,以文獻(xiàn)[5]中2003—2011年我國(guó)原煤總產(chǎn)量實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為例(見(jiàn)表1),建立本文改進(jìn)的GM(1,1)模型,對(duì)2009—2011年原煤總產(chǎn)量進(jìn)行預(yù)測(cè),并與文獻(xiàn)[5]中預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比(見(jiàn)表2)。具體步驟:

    (1)對(duì)原始序列進(jìn)行累加處理,得到它的累加生成序列;

    (2)利用經(jīng)典模型預(yù)測(cè)初值,代入式(5),利用式(6)進(jìn)行預(yù)測(cè);

    (3)把預(yù)測(cè)出來(lái)的值再次代入式(5),利用式(6)進(jìn)行預(yù)測(cè),得出時(shí)間相應(yīng)式(1)的具體形式;

    (4)把C值代入式(1)中預(yù)測(cè)出2009年的原煤總產(chǎn)量,并把預(yù)測(cè)值加入到原序列,重復(fù)以上步驟,直至把2009—2011年原煤總產(chǎn)量都被預(yù)測(cè)出來(lái)。

    表1 2003—2011年我國(guó)原煤總產(chǎn)量

    表2 2008—2011年我國(guó)原煤總產(chǎn)量預(yù)測(cè)值與相對(duì)誤差值對(duì)比

    由表2可以看出,2008—2011年文獻(xiàn)[5]模型預(yù)測(cè)結(jié)果的平均誤差為1.25%;本文改進(jìn)的GM(1,1)模型預(yù)測(cè)結(jié)果的平均誤差為0.81%,而2003—2011年本文預(yù)測(cè)結(jié)果的平均誤差為0.683%??梢?jiàn)本文改進(jìn)的預(yù)測(cè)模型精度有了明顯的提高。

    4 結(jié)語(yǔ)

    在傳統(tǒng)的GM(1,1)模型中通常將背景值取為相鄰兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值,對(duì)于不同的數(shù)據(jù)勢(shì)必導(dǎo)致誤差的精度不同,當(dāng)a比較大時(shí),預(yù)測(cè)的誤差較大。另外,直接將 ^X(1)(1)=X(1)(1)作為已知條件,求解模型的時(shí)間響應(yīng)函數(shù),這些都導(dǎo)致得出的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)精度不高。本文首先對(duì)背景值進(jìn)行加權(quán)處理,從而得到精度較高的權(quán)值,同時(shí)根據(jù)最小二乘原理確定時(shí)間響應(yīng)函數(shù)中的常數(shù)C,建立起相應(yīng)的最優(yōu)時(shí)間響應(yīng)函數(shù),并通過(guò)實(shí)例表明,改進(jìn)的模型可以提高預(yù)測(cè)精度。

    [1] 鄧聚龍.灰色系統(tǒng)[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,1985:1-25.

    [2] 王葉梅,黨耀國(guó),王正新.非等間距GM(1,1)模型背景值的優(yōu)化[J].中國(guó)管理科學(xué),2008,16(4):159-161.

    [3] 王健.一類(lèi)改進(jìn)的灰色預(yù)測(cè)模型及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2013,43(9):181-185.

    [4] 陳友軍,何洪英.利用非線性規(guī)劃方法最優(yōu)化灰色預(yù)測(cè)模型[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2014,50(10):61-63.

    [5] 羅迪,馬新.基于Gauss-Legendre公式改進(jìn)的煤炭產(chǎn)量灰色預(yù)測(cè)模型研究[J].煤炭工程,2014,46(4):90-93.

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