數(shù)列高考題型解讀

石家莊市第二中學(xué) 劉英娟

數(shù)列是高考數(shù)學(xué)的主要考查內(nèi)容之一，其試題有著鮮明的特點(diǎn)，有著多層次多角度考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力的功能．

數(shù)列試題的難度分布幅度大，既有容易的基本題和難度中等的小綜合題，也有綜合性和思考性強(qiáng)的難題，試題形態(tài)多變，時(shí)常有新穎的試題入卷.考生為了在高考中取得好成績，必須復(fù)習(xí)掌握好數(shù)列這一板塊及其相關(guān)的知識(shí)和技能，了解數(shù)列試題的能力考查特點(diǎn)，提高解答這類試題的能力.為此，建議考生關(guān)注近幾年來高考數(shù)列試題的考查特點(diǎn)，下面舉例說明之．

一、等差、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和需要完全掌握

例1（.溫州市十校聯(lián)合體2014屆高三10月測(cè)試?yán)恚┮阎獢?shù)列{an}中，a1=1，

（2）數(shù)列{bn}滿足，數(shù)列{bn}的前 n 項(xiàng)和為 Tn，若不等式（-1）nλ對(duì)一切n∈N*恒成立，求λ的取值范圍.

所以（-1）nλ

即-λ<2，所以λ>-2. 因此-2<λ<3.

評(píng)注：（1）理解等比數(shù)列的概念.（2）掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.（3）能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題.（4）了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．

二、遞推數(shù)列注重創(chuàng)新

例2（.2012年廣東）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為 Sn，滿足 2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，且 a1，a2+5，a3成等差數(shù)列．

（1）求a1的值；

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

解析：（1）令 n=1得 2a1=a2-3，①

令 n=2得 2（a1+a2）=a3-7，②

又 2（a2+5）=a1+a3，③

聯(lián)立①②③解得：

a1=1，a2=5，a3=19．

（2）由2Sn=an+1-2n+1+1，

得 2Sn-1=an-2n+1（n≥2），

兩式相減得2an=an+1-an-2n，

即an+1=3an+2（nn≥2），

得 an+1+2n+1=3（an+2n），

即{an+2n}以a2+22=9為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，得an+2n=9·3n-（2n≥2），

故an=3n-2n(n≥2)，而此式對(duì)n=1時(shí)也成立，所以an=3n-2n(n∈N*)．

評(píng)注：Sn與an的關(guān)系是高考常見題型，主要根據(jù) an=Sn-Sn-1（n≥2）將和、項(xiàng)“混合式”轉(zhuǎn)化為和或項(xiàng)的“單純式”．常用構(gòu)造新數(shù)列思想，以考查學(xué)生的推理與創(chuàng)新能力．

三、數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何的綜合問題是重中之重

例3．（2010年江蘇）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知2a2=a1+a3，數(shù)列公差為d的等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（用n，d表示）；

（2）設(shè)c為實(shí)數(shù)，對(duì)滿足 m+n=3k且m≠n的任意正整數(shù)m，n，k，不等式Sm+Sn>cSk都成立，求證：c的最大值為

解析：（1）由題意知：d>0，

則當(dāng)n≥2時(shí)，

由2a2=a1+a3得

評(píng)注：本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和以及基本不等式等有關(guān)知識(shí)，考查探索、分析及論證的能力.

從以上分析可看出，數(shù)列的綜合題難度都很大，甚至很多都是試卷的壓軸題，它不僅考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想，還涉及了配方法、換元法、待定系數(shù)法、放縮法等基本數(shù)學(xué)方法.其中的高考熱點(diǎn)——探索性問題也出現(xiàn)在近年高考的數(shù)列解答題中.