Brussel模型的混沌控制

馬莉(蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電子電氣工程系，甘肅 蘭州 730060)

Brussel模型的混沌控制

馬莉
(蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電子電氣工程系，甘肅 蘭州 730060)

對(duì)化學(xué)反應(yīng)中的Brussel模型的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究，針對(duì)其混沌現(xiàn)象，用線性反饋方法和多變量注入反饋控制法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制，數(shù)值仿真結(jié)果顯示，這兩種控制方法都能將系統(tǒng)混沌有效地抑制到周期軌道。相圖和狀態(tài)歷程圖顯示了系統(tǒng)隨著被控參數(shù)的變化，最終被控制在周期軌道的情形。全局分岔圖揭示了系統(tǒng)隨著被控參數(shù)的變化，存在的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，倍化分岔、叉式分岔、倍化分岔序列最終通向混沌的過(guò)程。

Brussel模型；化學(xué)反應(yīng)；混沌；混沌控制；數(shù)值模擬；分岔；相圖

0 引 言

化學(xué)Brussel模型是化學(xué)反應(yīng)中出現(xiàn)湍流現(xiàn)象的典型模型之一,布魯塞爾模型(Brusselator)是由Lefever和Prigogine于1965年提出的。研究該模型有助于更好地觀察諸如酶促反應(yīng)和糖、酵解循環(huán)以及包含膜結(jié)合酶的反應(yīng)。反應(yīng)過(guò)程中產(chǎn)生的中間元素起著催化作用，且兩種元素呈周期性變化，其結(jié)果不同于一般的化學(xué)反應(yīng)最終達(dá)到一個(gè)平穩(wěn)，而是兩種元素長(zhǎng)時(shí)間停留在一個(gè)時(shí)間上振動(dòng)(oscillation)，空間上又有擴(kuò)散的過(guò)程。

近年來(lái)對(duì)于化工領(lǐng)域中的動(dòng)力學(xué)行為研究取得了長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展，許多學(xué)者在此領(lǐng)域做了大量的工作，用數(shù)值仿真的方法研究化學(xué)反應(yīng)中的動(dòng)力學(xué)行為也被許多學(xué)者采用，對(duì)于Brussel模型的動(dòng)力學(xué)行為及混沌控制，有學(xué)者分析了該模型的不穩(wěn)定性[1]和HOPY分支[2]，有學(xué)者研究了該模型的動(dòng)力學(xué)行為[3]。而對(duì)于控制理論和控制方法的研究也取得了很大成績(jī)[4-8]，本文運(yùn)用線性反饋方法和多變量注入反饋控制法對(duì)Brussel模型進(jìn)行控制，數(shù)值仿真結(jié)果顯示，相圖和全局分岔圖均顯示系統(tǒng)能被有效的抑制到周期軌道。

1 Brussel模型

在考慮定態(tài)解的時(shí)候，Brussel模型可轉(zhuǎn)為眾所周知的非線性方程。 Brussel模型的方程描述為：

(1)

其中A=0.4，B=1.2，a=0.12，ω=0.9時(shí)出現(xiàn)混沌。數(shù)值仿真中混沌態(tài)時(shí)的相圖和時(shí)間歷程圖，分別如圖1和圖2所示。

圖1 系統(tǒng)混沌態(tài)時(shí)的相軌跡圖 圖2 系統(tǒng)混沌態(tài)時(shí)的狀態(tài)歷程圖

2 使用線性反饋方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制

對(duì)于非線性化學(xué)動(dòng)力學(xué)模型Brussel，當(dāng)僅對(duì)一個(gè)輸出變量進(jìn)行線性反饋控制時(shí)，原方程變?yōu)槿缦滦问剑?/p>

(2)

圖3 線性反饋控制全局分岔圖

當(dāng)取給定的值A(chǔ)=0.4，B=1.2，a=0.12，ω=0.9時(shí)，不斷調(diào)整控制參數(shù)K的值，數(shù)值仿真出全局分岔圖，如圖3所示，從圖3中看出，系統(tǒng)在控制參數(shù)K∈(0.015,0.03)范圍時(shí)，系統(tǒng)被控制到穩(wěn)定的周期2狀態(tài)。隨著控制參數(shù)K的不斷減小，系統(tǒng)發(fā)生倍化分岔，然后通過(guò)倍化分岔序列，最終通向混沌。

給K設(shè)定值，當(dāng)連續(xù)變化K值時(shí)，這種控制能成功的將混沌系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)到周期軌道。圖4為K=0.012時(shí)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的相軌跡圖。系統(tǒng)的混沌態(tài)雖然受到明顯的控制，但系統(tǒng)依然重復(fù)出現(xiàn)在周期4軌道上。繼續(xù)對(duì)K進(jìn)行調(diào)整，當(dāng)K=0.018時(shí)，系統(tǒng)的周期規(guī)律更加明顯，系統(tǒng)被控制在穩(wěn)定的周期2軌道上，如圖6所示。圖5，圖7，分別是系統(tǒng)在周期4軌道和周期2軌道上的狀態(tài)歷程圖，從這些圖的變化中，可以很清楚地看到系統(tǒng)處在不同狀態(tài)時(shí)，狀態(tài)歷程的變化。

圖4 K=0.012的相圖 圖5 K=0.012的狀態(tài)歷程圖

圖6 K=0.018的相圖 圖7 K=0.018的狀態(tài)歷程圖

3 用多變量注入反饋控制法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制

對(duì)于非線性化學(xué)動(dòng)力學(xué)Brussel模型，加入多變量注入反饋控制，原方程變?yōu)槿缦滦问?/p>

(3)

由于多變量反饋控制法只需加入小的反饋系數(shù)，令K1=K2=0.01時(shí)，當(dāng)變量進(jìn)行變化到E1=E2=0.009 6時(shí)，系統(tǒng)被成功的控制在周期2軌道上。圖8形象的描述了系統(tǒng)處于周期2軌道的相軌跡，圖9為此種狀態(tài)下的狀態(tài)歷程圖。令K1=K2的值不變，重新對(duì)E1=E2的值進(jìn)行調(diào)整，當(dāng)變量變化到E1=E2=0.014 4時(shí)，系統(tǒng)得到了有效的控制，呈現(xiàn)出不同于前一次周期2軌道，如圖10所示。這種情況說(shuō)明多變量注入反饋控制方法取得了一定的效果，但還需要進(jìn)一步調(diào)整參數(shù)，使它得到更好的控制。圖11為這種情況下的狀態(tài)歷程圖。令K1=K2的值不變，再次重新對(duì)E1=E2的值進(jìn)行新的調(diào)整，當(dāng)變量變化到E1=E2=0.019 2時(shí)，系統(tǒng)被成功的控制在單周期軌道上，圖12為此種狀態(tài)下的狀態(tài)歷程圖。令E1=E2=0.1時(shí)，對(duì)K1=K2進(jìn)行控制，系統(tǒng)單周期出現(xiàn)圓環(huán)形式，如圖14所示，圖15為在這種情況下的狀態(tài)歷程圖。

隨著控制量值的不斷變化，按照預(yù)期的計(jì)劃，將系統(tǒng)控制到了周期軌道上，這說(shuō)明線性多變量注入反饋控制方法對(duì)系統(tǒng)能夠進(jìn)行有效的控制。K1=K2，E1=E2的值在不同的范圍內(nèi)變化，系統(tǒng)將會(huì)被控制在不同的周期軌道上，說(shuō)明該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為對(duì)于參數(shù)的依賴性很強(qiáng)。

分別討論不同參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響，對(duì)有效的控制系統(tǒng)有很好的作用。設(shè)定E1=E2=0.1時(shí)，隨K1=K2值的不斷變化，系統(tǒng)狀態(tài)呈現(xiàn)豐富的變化形式，變化的分岔全局圖，如圖16所示。當(dāng)K1=K2∈[0.075,0.085]時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)單周期運(yùn)行軌跡。當(dāng)K1=K2=0.075時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生倍化分岔，由單周期軌道演變?yōu)?周期軌道。當(dāng)K1=K2∈[0,0.05]時(shí)，系統(tǒng)一直處于周期2的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。當(dāng)K1=K2=0.05時(shí)，發(fā)生叉式分岔，系統(tǒng)盡管依然呈現(xiàn)周期2運(yùn)行狀態(tài)，但是運(yùn)行軌跡發(fā)生變化。設(shè)定K1=K2=0.001，E1=E2，隨著E1值的不斷變化，數(shù)值仿真系統(tǒng)的全局分岔圖，如圖17所示。當(dāng)K1=K2∈[0.019 2,0.024],系統(tǒng)呈現(xiàn)周期2軌道，當(dāng)K1=K2=0.019 2附近時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生形式多樣的分岔，主要有倍化分岔和叉式分岔。之后系統(tǒng)不斷的經(jīng)過(guò)倍化分岔的序列，最終通向混沌狀態(tài)。

圖8 周期二相圖 圖9 周期二狀態(tài)歷程圖

圖10 周期二另一種相圖 圖11 周期二另一種狀態(tài)歷程圖

圖12 單周期相圖 圖13 單周期狀態(tài)歷程圖

圖14 單周期另一種相圖 圖15 單周期另一種狀態(tài)歷程圖

圖16 E1=E2=0.1，K1=K2控制的全局分岔圖 圖17 K1=K2=0.001，E1=E2控制的全局分岔圖

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)Brussel模型的混沌狀態(tài)，分別運(yùn)用線性反饋方法和多變量注入反饋控制法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制，數(shù)值仿真結(jié)果顯示，這兩種控制方法都能將系統(tǒng)很好的控制到周期軌道。在運(yùn)用線性反饋控制法時(shí)，全局分岔圖顯示，系統(tǒng)隨著線性反饋控制參數(shù)K的不斷減小，被控系統(tǒng)發(fā)生倍化分岔，經(jīng)由倍化分岔序列最終通向混沌。相圖和狀態(tài)歷程圖分別顯示了周期四和周期二時(shí)的情形。在采用多變量注入反饋控制法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制時(shí)，令K1=K2的值不變，對(duì)E1=E2的值進(jìn)行設(shè)置，系統(tǒng)被控制到周期二軌道和單周期軌道，并分別給出了周期二和單周期軌道時(shí)的相圖和狀態(tài)歷程圖。隨后用全局分岔圖顯示了系統(tǒng)隨參數(shù)K1=K2、E1=E2變化的情形，當(dāng)E1=E2恒定，隨著K1=K2的不斷減小，系統(tǒng)發(fā)生了倍化分岔，叉式分岔等分岔現(xiàn)象；當(dāng)K1=K2恒定，隨著E1=E2的不斷減小，系統(tǒng)存在倍化分岔、叉式分岔現(xiàn)象，但系統(tǒng)最終通過(guò)倍化分岔序列通向混沌。本文工作揭示了線性反饋控制法和多變量注入反饋控制法對(duì)Brussel模型有效的控制，為Brussel模型在實(shí)際工程應(yīng)用中的混沌控制提供了理論依據(jù)，為探索Brussel模型混沌抑制的其它方法奠定了理論基礎(chǔ)。

[1] PENG RU, WANG MING XIN. On steady-state solutions of the brusselator-type system[J]. Nonlinear Analysis , 2009 , 71 : 1389-1394 .

[2] LI BO, WANG MINGXIN．Diffusion-driven instability and hopf bifurcation in the brusselator system[J]．Applied Mathematics and Mechanics,2008,29(6):749-756.

[3] PENG R, WANG M X. Pattern formation in the brusselator system[ J] . Journal of Mathem Atical Analysis and Applications , 2005, 309(1) : 151-166.

[4] 謝軍，黃禹，龔時(shí)華，等．帶階躍擾動(dòng)的無(wú)靜差控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)[J]. 電氣自動(dòng)化，2013,35(2):1-3.

[5] 賈美美，張國(guó)山，牛弘．基于改善關(guān)聯(lián)性Buck變換器的混沌控制[J]. 物理學(xué)報(bào)，2013,71(13):116-123.

[6] YI F Q，WEI J J，SHI J P． Diffusion-driven instability and bifurcation in the lengyel-epstein system[J]. Nonlinear Analysis: RWA，2008，9( 3): 1038-1051.

[7] 祁汭晗．現(xiàn)代控制理論的MATLAB實(shí)現(xiàn)[J]. 電氣自動(dòng)化，2012,34(4):5-7.

[8] 王躍鋼，文超斌，楊家勝，等．基于無(wú)模型方法的混沌系統(tǒng)自適應(yīng)控制[J]. 物理學(xué)報(bào)，2013,71(10):73-79.

Chaos Control of Brussel Model

MA Li
(Department of Electronic and Electrical Engineering, Lanzhou Petrochemical College of Vocational Technology, Lanzhou Gansu 730060, China)

Dynamic behaviors of the Brussel model in chemical reaction are studied in this paper. Linear feedback and multi-variable injection feedback are used to control the chaos of the system. Numerical simulation results show that, both of the two control methods can effectively suppress system chaos onto the periodic orbit. The phase diagram and state historic plot show how the system is finally controlled to the periodic orbit while the controlled parameters change. The global bifurcation diagram reveals how these complex dynamic phenomena of the system occur when the controlled parameters change, and how the sequence of doubling bifurcation-forked bifurcation-doubling bifurcation is finally passed to chaos.

Brussel model; chemical reaction; chaos; chaos control; numerical simulation; bifurcation; phase diagram

蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院教育教學(xué)研究課題項(xiàng)目(JY2014-26)

10.3969/j.issn.1000-3886.2015.05.006

O322

A

1000-3886(2015)05-0017-02

馬莉(1982-)，女，甘肅永昌人，講師，碩士，2008年畢業(yè)于蘭州交通大學(xué)，主要從事非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為分析與控制及過(guò)程自動(dòng)化相關(guān)領(lǐng)域的研究教學(xué)工作。

定稿日期: 2014-10-12